2022年年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一 .pdf

2009 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一1 （12 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点1,2M，它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. （）求这三条曲线的方程；（）已知动直线l过点3,0P，交抛物线于,A B两点，是否存在垂直于x 轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由. 解： （）设抛物线方程为220ypxp，将1,2M代入方程得2p24yx抛物线方程为 : （1 分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为211,0,1,0 ,FF c=1 （2 分）对于椭圆，2221221121 1422 2aMFMF2222222121232222 2132222 2aabacxy椭圆方程为：（4 分）对于双曲线，1222 22aMFMF2222222132 2222132 22 22aabcaxy双曲线方程为：（6 分）（）设AP的中点为C，l的方程为： xa ，以AP为直径的圆交l于,D E两点，DE中点为H令11113,22xyA xy C（7 分）22111111322312322DCAPxyxCHaxa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2222221112121132344-23246222 22DHDCCHxyxaaxaaaDHDEDHlx当时,为定值 ;为定值此时 的方程为：（ 12 分）2 （14 分）已知正项数列na中，16a，点1,nnnAaa在抛物线21yx上；数列nb中，点,nnBn b在过点0,1 ，以方向向量为1,2 的直线上 . （）求数列,nnab的通项公式；（） 若nnafnb, n为奇数, n为偶数，问是否存在kN，使274f kf k成立， 若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数n ， 不等式11202111111nnnnaanabbb成立，求正数 a 的取值范围 . 解： （）将点1,nnnAaa代入21yx中得11111115:21,21nnnnnnaaaadaannlyxbn直线（4 分）（）521nfnn, n为奇数, n为偶数（5 分）272742754 21 ,42735227145 ,24kkf kfkkkkkkkkkk当 为偶数时，为奇数，当 为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。（8 分）（）由11202111111nnnnaanabbb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 12121211111111123111111123111111111125123123 24241232525nnnnnabbbnfnbbbnf nbbbbnfnnnnnf nbnnn即记22min2523416161416151,144 51,31554 5015nnnnnnf nf nfnf nfa即递增，（14 分）3.（本小题满分12 分）将圆 O: 4yx22上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变 ), 得到曲线C. (1) 求 C 的方程 ; (2) 设 O 为坐标原点 , 过点)0,3(F的直线 l 与 C 交于 A、 B 两点 , N 为线段 AB 的中点 , 延长线段ON 交 C 于点 E. 求证 : ON2OE的充要条件是3|AB|. 解: (1)设点)y,x(P, 点 M 的坐标为)y,x(,由题意可知,y2y, xx(2分) 又,4yx221y4x4y4x2222. 所以 , 点 M 的轨迹 C 的方程为1y4x22. (4 分) (2)设点)y,x(A11, )y,x(B22, 点 N 的坐标为)y,x(00, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 当直线 l 与 x 轴重合时 , 线段 AB 的中点 N 就是原点 O, 不合题意 ,舍去 ; (5 分) 设直线 l: ,3myx由4y4x3myx22消去 x, 得01my32y)4m(22,4mm3y20(6 分) 4m344m34m34mm33myx2222200, 点 N 的坐标为)4mm3,4m34(22. (8 分) 若OEON2, 坐标为 , 则点 E 的为)4mm32,4m38(22, 由点 E 在曲线 C 上, 得1)4m(m12)4m(4822222, 即,032m4m244m(8m22舍去 ). 由方程得,14m1m44m16m4m12|yy |2222221又|,)yy(m|mymy|xx|2121213|yy|1m|AB|212. (10 分) 若3|AB|, 由得,34m)1m(422.8m2点 N 的坐标为)66,33(, 射线 ON 方程为 : )0 x(x22y, 由4y4x)0 x(x22y22解得36y332x点 E 的坐标为),36,332(OEON2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 综上 , OEON2的充要条件是3|AB|. (12 分) 4.（本小题满分14 分）已知函数241)x(fx)Rx(. (1) 试证函数)x(f的图象关于点)41,21(对称 ; (2) 若数列an的通项公式为)m,2, 1n,Nm()mn(fan, 求数列an的前 m 项和;Sm(3) 设数列bn满足: 31b1, n2n1nbbb. 设1b11b11b1Tn21n. 若(2)中的nS满足对任意不小于2 的正整数n, nnTS恒成立 , 试求 m 的最大值 . 解 : (1)设点)y,x(P000是函数)x(f的图象上任意一点, 其关于点)41,21(的对称点为)y,x(P. 由412yy212xx00得.y21y,x1x00所以 , 点 P 的坐标为P)y21,x1(00. (2 分) 由点)y,x(P000在函数)x(f的图象上 , 得241y0 x0. ,)24(244244241)x1(f00000 xxxxx1024121y210 x0,)24(2400 xx点 P)y21,x1(00在函数)x(f的图象上 . 函数)x(f的图象关于点)41,21(对称 . (4 分) (2)由(1)可知 , 21)x1(f)x(f, 所以) 1mk1(21)mk1 (f)mk(f, 即,21aa, 21)mkm(f)mk(fkmk(6 分) 由m1m321maaaaaS, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 得,aaaaaSm13m2m1mm由 , 得,612m61221ma221)1m(S2mm).1m3(121Sm(8 分) (3) ,31b1)1b(bbbbnnn2n1n, 对任意的0b,Nnn. 由、 , 得,1b1b1)1b(b1b1nnnn1n即1nnnb1b11b1. 1n1n11nn3221nb13b1b1)b1b1()b1b1()b1b1(T.(10分) ,bb, 0bbbn1n2nn1n数列bn是单调递增数列. nT关于 n 递增 . 当2n, 且Nn时, 2nTT. ,8152) 194(94b,94) 131(31b,31b321.5275b13TT12n(12 分) ,5275Sm即,5275) 1m3(121,394639238mm 的最大值为6. (14分) 5 （12 分）E、F是椭圆2224xy的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点Pl，过点E的直线交椭圆于A、B两点 . （1）当AEAF时，求AEF的面积；（2）当3AB时，求AFBF的大小；（3）求EPF的最大值 . 解： （1）2241282AEFmnSmnmn（2）因484AEAFABAFBFBEBF，MFEOyABPx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 则5.AFBF（1）设(22, )(0)Ptt()tanEPFtanEPMFPM2213 223 22222 23()(1)663ttttttt，当6t时，3303tanEPFEPF6 （ 14 分）已知数列na中，113a，当2n时，其前n项和nS满足2221nnnSaS，（2）求nS的表达式及2limnnnaS的值；（3）求数列na的通项公式；（4）设3311(21)(21)nbnn，求证：当nN且2n时，nnab. 解： （1）2111121122(2)21nnnnnnnnnnnSaSSSSS SnSSS所以1nS是等差数列 .则121nSn. 222limlim2212lim1nnnnnnnaSSS. （2）当2n时，12112212141nnnaSSnnn，综上，21132214nnann. （3）令11,2121abnn，当2n时，有103ba（1）法 1：等价于求证33111121212121nnnn. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 当2n时，110,213n令231,0,3fxxxx23313232 (1)2 (1)2 (1)02223fxxxxxxx，则fx在1(0,3递增 . 又111021213nn，所以3311()(),2121ggnn即nnab. 法（ 2）2233331111()()2121(21)(21)nnabbabannnn22()()ab ababab（2）22()()()22abababaabb() (1)(1)22baab a ab b（3）因33311111022222 3ababa，所以(1)(1)022baa ab b由（ 1） （3） （4）知nnab. 法 3：令22g bababab，则12102agbbab所以220 ,32g bmax gg amax aaaa因10,3a则210aaa a，2214323 ()3 ()0339aaa aa所以220g bababab（5）由（ 1） （2） （5）知nnab7 (本小题满分14 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 设双曲线2222byax=1( a 0, b 0 )的右顶点为 A，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于 Q 和 R 两点 . (1) 证明：无论 P 点在什么位置， 总有 |OP|2= |OQOR| ( O 为坐标原点 )；(2) 若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解： (1) 设 OP ：y = k x, 又条件可设AR: y = ab(x a ), 解得：OR= (bakab,bakkab), 同理可得OQ= (bakab,bakkab), |OQOR| =|bakabbakab+bakkabbakkab| =|bka|)k1(ba222222. 4 分设OP= ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得 : m2 =22222kabba, n2 = 222222kabbak, |OP|2 = :m2 + n2 = 22222kabba+ 222222kabbak=222222kab)k1(ba, 点 P 在双曲线上，b2 a2k2 0 . 无论 P 点在什么位置，总有|OP|2 = |OQOR| . 4 分（ 2）由条件得：222222kab)k1(ba= 4ab, 2 分即 k2 = 22a4ababb4 0 , 4b a, 得 e 4172 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -