2022年锐角三角函数基础 .pdf

1 锐角三角函数第一节知识要点一、锐角三角函数定义1. 如图所示，在RtABC 中， C90 sin=ABCAAB对边斜边；sin=BACBAB对边斜边； cos=AACAAB邻边斜边；cos=BBCBAB邻边斜边； tan=ABCAAAC对边邻边；tan=BACBBBC对边邻边二、特殊角的三角函数值从两个特殊直角三角形的边的关系，推导出特殊角的三角函数值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 2 三、解直角三角形（1）解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边），解出所有未知的边和角。依据：边的关系：222abc+=角的关系：90AB?边角关系：三角函数的定义（2）仰角和俯角仰角：视线在水平线上方的角俯角：视线在水平线下方的角（3）坡角与坡度把坡面与水平面的夹角记作a，叫坡角。坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比） ，用字母i表示。tanhila=（4）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的夹角，叫方向角。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3 第二节经典例题讲解一、锐角三角函数【例 1】 【易】在RtABC中，90C3tan4A，求B三角函数值（1）sin B =（ ）A. 35B. 45C. 15D.25（2）cos B =（ ）A. 35B. 45C. 15D.25（3）tan B =（ ）A. 1 B. 43C. 34D.12【答案】（1）B （2）A （3）B 【解析】 依题意， tanBCAAC=,又3tan4A =34BCAC=设3BCx，4ACx由勾股定理得5ABx；44sin55ACxBABx=33cos55BCxBABx=44tan33ACxBBCx=【测 1】 【易】 如图，ABC，1BC，22AC =，求A的三角函数值（1）sin A =（ ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 4 A. 15B. 45C. 13D.23（2）cos A =（ ）A. 423B. 435C. 223D.23（3）tan A =（ ）A. 1 B. 23C. 24D.12【答案】（1）C （2）C （3）C【解析】 由勾股定理得223ABBCAC=+=故1sin3A =，22cos3A =，2tan4A =【例 2】 【易】 在ABC中，ABAC，且32ABBC，求B三角函数值（1）sin B =（ ）A. 34B. 64C. 74D.54（2）cos B =（ ）A. 1 B. 43C. 34D.12（3）tan B =（ ）A. 1 B. 73C. 74D.54【答案】（1）C （2）C （3）B【解析】 过 A 作 AD BC 于 DABAC2BCBDDC32ABBC32BCAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 5 34BDAB设3BDa，4ABa则7ADa=，7sin4ADBAB=3cos4BDBAB=7tan3ADBBD=【测 1】 【易】 如图，在等腰三角形ABC中，13ABACcm，24BCcm，底边上的高为AD，求B的三角函数值（1）sin B =（ ）A. 313B. 513C. 1213D.512（2）cos B =（ ）A. 313B. 513C. 1213D.512（3）tan B =（ ）A. 313B. 513C. 1213D.512【答案】（1）B （2）C （3）D【解析】 13ABACcm，24BCcm，底边上的高为AD122BCBDCDcm在RtABD中，由勾股定理，得225ADABBDcm=+=由锐角三角形函数的定义，得5sin13ADBAB=12cos13BDBAB=5tan12ADBBD=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 6 【例 3】 【易】 如图，ABC，90C?，12,15ACBC=（1）求AB的长（）A. 20B. 3 41C. 241D.5 41（2）求 sin,cosAA的值（3）求22sincosAA+=_ （4）比较sin A与cos B的大小【答案】（1）B 由勾股定理得，222215123693 41ABACBC=+=+=（2）在 ABC 中有155 41cos413 41ACAAB=124 41sin413 41BCAAB=（3）在 ABC 中有22225 4141sincos()()14141AA+=+=（4）由上题知，sincosAB【测 1】 【易】 已知AD为锐角，且8sin17A =，求tan A=( ) A. 815B. 1517C. 158D.5 41【答案】 A 由8sin17aAc=知，如果设8ax=，则17cx=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 7 结合222abc+=得15bx=8tan15aAb=【测 2】 【易】 如图，在ABC中，90C?，5AB =，3BC =，则sin A的值是（）A. 34B. 43C. 35D. 45【答案】 C 【解析】3sin5BCAAB=【测 3】 【易】 在RtABC中， C=90 ，AB=2BC ，现给出下列结论： （1）3sin2A =； （2）1cos2B =;（3）3tan3A =； （ 4） tan3B =，其中正确的结论是_（只需填上正确结论的序号）【答案】（2） （3） （4）【解析】 根据题意，C=90 ，AB=2BC 该直角三角是含30 角的直角三角形，则:1: 2:3BCAB AC =，令 BC=1， AB=2，3AC =, （1）1sin2BCAAB=（2）1cos2BCBAB=（3）3tan3BCAAC=（4） tan3ACBBC=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 8 【例 4】 【易】已知： 2cos(10 )3a +?，求锐角_a=【答案】 2cos(10 )3a +?3cos(10 )2a +?3cos302?1030a +?20a =?【测 1】 【易】tan 452cos30sin 60?【答案】 原式331222=-?3132=-+312= -【测 2】 【易】01200933.143.14(1)2cos45( 21)( 1)2p-+?-?-+ -【答案】 原式21(3.14)3.1412( 1)221p= -+?+ -213.143.142121p+=-+-+-221 1p=-+ -p=【例 5】 【易】 （1）若2(3tan3)2cos10AB-+-=，则ABC是（）A. 直角三角形B.等边三角形C. 含有 60 的任意三角形D.顶角为钝角的等腰三角形【答案】 B【解析】 2(3tan3)2cos10AB-+-=3 tan30A -=，2cos10B -= tan3A =，1cos2B = A= B=60 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 9 ABC 是等边三角形（ 2） 在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（10,0） ， 点B在第一象限内，5BO =，3sin5BOA求：（1）点B的坐标 ( ) A. ()5,3B. ()4,3C. ()3,4D. ()3,5（ 2）cosBAOD的值 ( ) A. 3 55B. 4 55C. 2 55D. 55【答案】（1）B （2）C 【解析】 如图，作BH OA，垂足为H 在Rt OHB中，5BO =，3sin5BOA，3BH =. 4OH =. 点 B 的坐标为（ 4,3）（2）10OA =，4OH =，6AH =在Rt AHB中，3BH =，3 5AB，2 5cos5AHBAOAB【测 1】 【易】如图，在RtABC中，90ABC?，CD是AB边上的中线， 若6BC =，8AC =， 则tanACDD的值为（）A. 35B. 45C. 43D. 34【答案】 D 【解析】 CD 是 AB 边上的中线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 10 CD=AD A=ACD ACB=90 ，BC=6， AC=8 63tan84BCAAC?=3tan4A?【测 2】 【中】 如图，ABC中，ABAC=，45cos ABC，点D在边BC上，6BD =，CDAB=（1） 求 AB=_ （2）求 tan_ADC?【答案】（1）过点A作 AH BC，垂足为HAB=AC 12BHHCBC设ABACCDx=6BD =6BCx=+，62xBH+=在RtAHB中，cos ABCBHAB，又45cos ABC6425xx解得：10 x =，所以 AB=10 （2）182BHHCBC1082DHCDCH=-=-=在RtAHB中，222AHBHAB ，又 AB=10 ， AH=6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 11 在Rt AHB中，tan632ADCHDHAtan3ADC?【例 6】 【易】 如图，在等腰梯形ABCD中，AD BC，2ABCD=，ACAB，4AC =，则sinDAC?（）A. 12B. 55C. 2 55D. 2 【答案】 B 【解析】 AB=CD=2 ， AC=4，AC AB 222 5BCABAC=+=AD BC DAC= ACB 25sin52 5ABACBBC=D5sin5ACD =D【测 1】 【中】 四边形ABCD，BEFM都是正方形， 设FCM， AFE， 若5sin=13， 求 tan=( ) 【答案】 由5sin=13得513FMFC，设5FMk=，13FCk=，由勾股定理得12MCk=，所以1257BCABkkk=-=，5FEFMk=，则2AEk=，在RtAFE中，22tan55AEkEFk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 12 二：解直角三角形【例 7】 【易】解直角三角形：已知RtABC 中， C=90 ，34a =，32c =，求b =( ) A. 12B. 35C. 34D. 32【答案】 C333sin422aAc=? A=60 ，9030BA? sinbBc=33sinsin30 =24bcB=?装【测 1】 【易】在 RtABC 中，36a =，30B?，90C?，解这个直角三角形【答案】 在 RtABC 中，36a =， B=30 9060AB?，cosaBc=，即363624 3coscos3032acB=124 312 322cb =?【测 2】 【易】 在 RtABC 中，90C?，30A?，4BC =，解这个直角三角形【答案】 在 RtABC 中，9060BA?3tantan303BCAAC=?44 333AC =1sin2BCAAC=8AC =【例 8】 【易】 已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30 ，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西 45 ，问该货轮继续向北航行时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 13 与灯塔 M 之间的最短距离是多少?(精确到 0.1 海里，732.13) A. 27.3B. 27.6C. 26.3D. 27【答案】 A 由题意，得20120AB =?（海里）Rt MDB中，tan45MDBDBD=装=RtAMD中，3tan303MDADMD=装=( 31)20ABADBDMD=-=-=10(31)27.3MD =-?（海里）【测 1】 【易】 已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点已知 BAC60 ，DAE45 点 D 到地面的垂直距离m23DE，求点 B 到地面的垂直距离BC=( ) A. 3B. 2 3C. 4 3D. 2【答案】 B 在Rt DAE中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 14 DAE 45 ADE DAE 458AEDE=22222( 8)( 8)16ADAEDE=+=+=4AD =，即梯子的总长为4米4ABAD=在Rt ABC中 BAC 60 ABC 3022ABAC =222224212BCABAC=-=-=122 3BCm=点 B 到地面的垂直距离2 3BCm=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 15 第三节课堂小结讲课老师备课使用第四节当堂检测由备课老师填写，作为讲课时的补充练习。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 16 第五节家庭作业【作 1】计算(1)45tan260tan60cos2(2)60cos30cos60tan30tan45sin30sin2222【作 2】已知：如图，ABC 中， ACB90 ，CD AB 于 D，AB32，BC12求： sinACD 及 AD 的长【作 3】 已知： RtABC 中， ACB90 ，CDAB 于 D 点， AB2m，BDm1，54cos A(1)用含 m 的代数式表示BC；(2)求 m 的值；【作 4】已知：如图，矩形ABCD 中， AB3，BC6，BE2EC，DM AE 于 M 点求 DM 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 17 【作 5】已知：如图，四边形ABCD 中， A45 ， C90 ， ABD75 ， DBC30 ，AB 2a求 BC 的长【作 6】已知：如图，四边形ABCD 中， A C90 ，D60 ，35ADAB3，求 BC 的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -