2022年阿里巴巴全球数学竞赛预选赛试题 .pdf
本次竞赛有三 道题。每道题 有a, b, c共3小 题。第一题：在下 面所有小题中 ，我们不 考虑退货。a. “ 双十 一”期间， 一家电商店铺 A有满 60返5块 的优惠券，可叠 加使用（比如 ，买120块的东西 ，用两张优惠券 ，只需付1205 2 = 110块） 。此外，电商平台全场提供满 299返60的优惠券 （可凑单） ，每单限 用一张，可与 店铺的优惠券 叠加使用 （比 如， 原价299块的一 单，最终 价格是299 - 5 4 - 60 = 219。原价不 满299则不能减去全 场折扣 60。不足 299时， 用户可以 在别家商店凑 单。 ）请 问：小明打算 在这家店铺买一 款250块 的耳机和一款600块的音箱，怎么买 最划 算?b. 现 在您开了一 家 电商店铺， 卖 与A店同款的耳机 和音箱， 标价相 同。您计划提 供满99返x的优 惠券，x为大于0、小于99的整数 。与A店不同的是，您的 优惠券每单限用 一张（比如，买250块，需 付250- x 块，而不是 250- 2x 块） 。 “双十 一”期间，电商 平台全场满299返60仍然 适用。请 问：x 至少等 于多少时，小明 在您的店铺买 耳机和音箱其中一 种会更便宜 (至 少1元)? 又请 问：x 至少等于 多少时，小明在 您的店铺既买耳机又买音箱总和 会更便宜（至少 1元）?c. 建 模题。对比单卖 和捆绑销售下的 利润期望 。假设耳机（产品1）和音箱（产品2）的 单件销售 的单位成本分别 是c1和c2（包含生 产、储存、运输 、促销等所 有成本） 。 一个 访问 店铺的客 户对两件产 品的心理价值 分别 是均匀分 布在0,u1和0,u2的区 间上随 机变量S1和S2。 假设 S1和S2相互独 立。本题有三小 问。1. 如何分别 设 定产品价格p1和 p2，以最大化每个 到访客户带来的 利润期望 。这里假 设c1u1；当且仅 当p1 S1时，客户会 购买一件产 品1；用户不买 的话不计损 失。对产品2做类似假设。 请以公式形式 给出最优价格p?1和 p?2以及对应的最 大利润期望 r?1和r?2。2. 现在假设产 品1和2捆绑销 售，成本是c12= t(c1+ c2)。因为节省了包装和运输 成 本，所以假设0 t 1。其余的 条件不 变。请以 公式形式 给出捆绑下的最优价p?12。3. 单卖 和捆绑 销售，哪个利 润更优，还是不一 定? 为什么 ?第二题：a. 附 图中有一个 无向图， 其中 圈 内数字代 表一个 地点， 边e上 数 字代表长度 Le（双 向相 同） 。一 位外卖 小哥 在起点A， 要去3个商家（ B1, B2, B3） 取餐， 送到3个对应的 地方 （C1, C2,C3） ，即B1至C1，B2至C2， B3至 C3。小哥的电 动助力 车的箱子 同时最多装下2份外卖。1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 12A3B14B3567B2891011C212C113C31415121122311111131221211请问: 小哥该怎么走最短路径？这个最短路径的长 度是多少？这里 ，A是出发点，最 后一餐（不限次序）送达地为终点。为了 简化问题，假设商家 已经备好 了外 卖，小哥取餐送 餐不用等。又假设每份外卖重量 大小一样。b. 此题与上 图无关，而是考虑一个一 般的图， 图中有很多 点和边。 外卖 小哥刚刚 取了一份 外卖，计划经过图上的边e1,e2,., em送给目的地。途中经过 每条边e的时候，以概率Pe0, 1会收到至送相同地址 的另一单外卖。 （一个 条边上收到另 两单及 以上 的概率小，暂忽略不 计。 ）假设对应边e1, e2,.,em的概率为P1, P2,., Pm。请问: 送一次外卖，小哥平均能收到几个送去相同地址 的新单（不考虑电 动车的箱子容 量 ） ？小哥收到至少一个 去相同地址的新单的概率是多 少？c. 此题延续上题， 但不再固定路径，而是对路线进行优化。 假设小哥每 送一单外卖有 固定收益r ，但是总路径长度 （途中经过的每边e的长度e之和）是成 本。总收益是r -。 （ 为了 简化，这里设成本系数为1） 。现在小哥刚刚出发，车上 只有一份 外卖，箱子最大容量仍 设为两份外卖，请问怎么走能够最大化收益？ （提示：这里不 但要考虑路径 长短，还要考虑 可能收到送至相同地址 的另一单外卖而带来的无额外成 本的收益r 。假设0 Pemin e/r, 1） 。第三题：a. 马教授的领域内有n个不 同但是等价的逻辑陈述，A1, A2,., An，现在需要证明它们 是等价的。每个学期，马教授选两个不 同的陈述Ai和Aj，以“Ai?Aj”的 证明作为研究课题，指导一位本科生完成。假设每个学期只完成一个证明 。要注意的是，在“Ai?Aj”和“Aj?Ak”被证明之后， “Ai?Ak”也已经被（自动地）证 明了，因此不 能再作为一个 新 的课题2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 让 学生去完成。 总之，如果一个 课题是 之 前若干学生已 经完成课题的直 接推 论， 则 不能作为 新课题 再发 给另一个 学生。 随着越来越多 的推出关 系被 证明， 剩下 可选的课题也 越来越少 。请问，马教 授可以最多依次 指导多少个学生 呢？为什么 ？b. H 是一个 n n的方阵，其第i 行第j 列的元素是hij，所有hij 1, - 1，并且H 的任意 不同的两 行看作向量是 相互垂直的 （即 ，它们的标准内 积为0） 。假设 H 有一个 a b的子矩阵（1 a, b n） ，子矩阵 内的元素均为1。请证 明：ab n。c. G是 一个 群。e是该群的单位元 。定义G的一个 子 集F =h G | 存在自然 数 m 1使 得 hm= e 。假 设集合F 内的元素 是有限多个的。 证明：存在一个 自然数 n 1 使得对所 有 g G和h F , 我们都 有gnh = hgn。3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -
