2022年随机信号分析课后习题答案第一章习题 .pdf

1-9 已知随机变量 X 的分布函数为20,0( ),011,1XxFxkxxx求：系数 k； X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； 随机变量X 的概率密度。解：第问利用( )XFx右连续的性质k1 第问0 . 30 . 70 . 30 . 70 . 70 . 30.7PXPXFP XF第问201( )( )0XXxxdFxfxelsedx1-10已知随机变量 X的概率密度为( )()xXfxkex（拉普拉斯分布），求：系数 kX 落在区间(0,1)内的概率随机变量 X的分布函数解：第问112fxd xk第问211221xxPxXxFxFxfxd x随机变量 X 落在区间12(,xx的概率12P xXx就是曲线yfx下的曲边梯形的面积。1010101112PXPXfx dxe名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 第问102102xxexfxex00( )110022111010222xxxxxxxxF xf x dxe dxxexe dxedxxex1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001， 若每天有 1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2 的概率是多少？,(0 1)pqn=1n,p0,np=n成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2 的概率P(2)101kP kP k答案0.1P(2)11.1ke100.1np实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布np!keP Xkk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 1-12 已知随机变量(,)X Y的概率密度为(34)0,0( , )0 xyXYkexyfx y,其它求：系数 k？(, )X Y的分布函数？01,02PXX？第问方法一：联合分布函数( , )XYFx y性质：若任意四个实数1212,a ab b，满足1212,aabb，则121222111221,( , )( , )( , )( , )XYXYXYXYPaX a bY bFa bFa bFa bFa b01,02(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XYXYXYXYPXYFFFF方法二： 利用(,),XYDPx yDfu v dudv210001,02,XYPXYfx y dxdy1-13 已知随机变量(,)X Y的概率密度为101,( , )0 xyxf x y,其它求条件概率密度(| )Xfx y和(| )Yfy x？判断X 和 Y 是否独立？给出理由。先求边缘概率密度( )Xfx、( )Yfy注意上下限的选取X2, 01, 01(),00,xxXYxxdyxfxfx y dyelseelse，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 11,011 | |( ), 100011,yYXYydxyyfyfx y dxdxyelseyelse1-14 已知离散型随机变量X 的分布律为X3 6 7 P0.2 0.1 0.7 求： X 的分布函数随机变量31YX的分布律1-15 已知随机变量 X 服从标准高斯分布。求： 随机变量XYe的概率密度？随机变量ZX的概率密度？分析:( )( )( )YXfyh yfh y1122( )| ( ) |( )| ( ) |( )YXXfyhyfhyhyfhy答案: 22ln221200( )( )200yzYZeyezfyfzyelseelse1-16 已知随机变量1X和2X相互独立，概率密度分别为11121111,0()20,0 xXexfxx，22132221,0()30,0 xXexfxx求随机变量12YXX的概率密度？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解：设11221()YYXXYX任意的求反函数，求雅克比J1 12121136121210,60yyYYeyyfyyelse11111321100yyYeeyfyelse1-17 已知随机变量,X Y的联合分布律为53 2m,0,1,2,! !mneP XYnm nm n求：边缘分布律m (0,1,2,)P Xm和(0,1,2,)P Ynn？条件分布律m |P XYn和|mP Yn X？分析：3253 2m,0,1,2,! !32!mnmneP XYnm nm neemn泊松分布,0,1,2,!keP Xkkk0001!kkkkkP XkeeekekP19 （148）解：121332m!m,!nmnneP XP XYnenm21nm2,!nnP YP XYnen同理m,nP XYnP XmP Y即 X、Y 相互独立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 1-18 已知随机变量12,nXXX相互独立，概率密度分别为1122(),(),()nnfxfxfx。又随机变量1121212nnYXYXXYXXX证明：随机变量12,nY YY的联合概率密度为12112211(,)()()()Ynnnnfyyyfyfyyfyy11212121212323211211121nnnnnnnnYXYXXXYYYXXXXYYYXXXXYYYXXXX10000110001001000011000011J因为|J|1,故X121211(,)(,)nYnnfyyyfyyyyy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 已 知 随 机 变 量12,nXXX相 互 独 立 ， 概 率 密 度 分 别 为1122(),(),()nnfxfxfx1-19 已知随机变量 X服从拉普拉斯分布，其概率密度为1( ),2xXfxex求其数学期望与方差？解: 222222000000121(022222)( )XxxxXxxxxxE XxdxxdxE Xxdxxdxxdxx ee dxexdxxeefxedfxxee奇函数偶函数1-20 已知随机变量 X 可能取值为4, 1,2,3,4， 且每个值出现的概率均为1 5。 求：随机变量 X 的数学期望和方差？随机变量23YX的概率密度？ Y 的数学期望和方差？12121111221X1(,)(,)()()()nnnnnnYfyyyfyyyyyfyfyyfyy21212 ()()kkkkkkE Xx pE g Xg xpE X名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 答案: Y 3 12 27 48 P 1/5 1/5 1/5 2/5 离散型随机变量的概率密度表达式P12，1-25 式1kkkfxpxx其中,00,0 xxx为冲激函数1312272485Yfyyyyy1-22 已知两个随机变量,X Y的数学期望为1,2XYmm，方差为224,1XY，相关系数0.4XY。现定义新随机变量,V W为23VXYWXY求,V W的期望，方差以及它们的相关系数？22374.817.82XYE VE WD VD WE aXbYaE XbE YD aXbYa D Xb D YabC22446214D55251388406 1098D525E XE XXE YE YY名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - XYXYXYC0.131-23 已知随机变量,X Y满足YaXb，,a b皆为常数 。证明：2XYXCa；1010XYaa； 当0Xm且2aE XbE X时，随机变量,X Y正交。XYX YXCRmm22XYXCaXXE YE aXbambE XYE X aXbaEXbmXYXYXYC222XaXbaD YDD Xa222XYXXYXYXXCaaaa0XYR正交22XE XYaE XbmaE XbE X得证1-25 已知随机变量,X Y相互独立，分别服从参数为1和2的泊松分布。求随机变量X 的数学期望和方差？证明ZXY服从参数为12的泊松分布。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解：泊松分布0!kkeP Xkk特征函数的 定义00!kjukjuXjukXkkeQuE eeeekk由0!kxkxek(1-17 题用过 ) 可得(1)jujueeXQueee100jueXuudQudeE Xjjd ud u12222222200jueXuud Qud eE Xjjd ud u根据特征函数的 性质，X Y 相互独立，12()(1)jueZXYQuQuQue表明 Z 服从参数为12的泊松分布1-26 已知随机变量,X Y的联合特征函数为6( , )623XYQu vjujvuv求：随机变量 X 的特征函数随机变量 Y 的期望和方差解：3( )()30,XXYQuQuju名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 02( )(),2YXYQvvQjv0( )()kkkXkud QuE Xjdu42222( )( )4822YYdQvd Qjjvvdvvvjvdj222002( )( )11()2(2)YYvvd Qvd QvE YjE Yduujd1-28 已知两个独立的随机变量,XY的特征函数分别是( )XQ u和( )YQ u，求随机变量3(1) 2(4)ZXY特征函数( )ZQu？解：特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积X、Y 独立，因此有3(1)X和2(1)Y独立独立的等价条件（ 充分必要条件 ）( , )( )( )XYXYfx yfxfy1,1()() ()knknknE X YE XE Y12X12X1X2Q (u ,u )=QuQu1-29 已知二维高斯变量12(,)XX中，高斯变量12,XX的期望分别为12,m m， 方 差 分 别 为2212,， 相 关 系 数 为。 令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 1122111221211,1XmXmXmYY写出二维高斯变量12(,)XX的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开；证明12(,)Y Y相互独立，皆服从标准高斯分布。解：11221212,XmXmXX1( 0 , 1 )XN，2(0,1)XN，12X X1122121,1YXYXX系数矩阵2210111AYAX，线性变换，故Y也服从高斯分布00YXMAM110101TTYXCAC AAA0()ijCij，故1Y2Y不相关，高斯变量不相关和独立等价，1Y2Y独立1-30 已知二维高斯变量12(,)XX的两个分量相互独立， 期望皆为 0，方差皆为2。令112212YXXYXX其中0,0为常数。证明：12(,)Y Y服从二维高斯分布；求12(,)Y Y的均值和协方差矩阵；证明：12,Y Y相互独名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 立的条件为。复习：n维高斯变量的 性质1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布解：12,Y Y相互独立、二维高斯矢量因此12,Y Y互不相关只要证YC为对角证即1-31 已知三维高斯随机矢量123XXXX均值为常矢量a，方差阵为222254244B证明：121123,323XXXXXX相互独立。复习：n维高斯变量的 性质1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布1122YXYX00YXMAM222222222TYXCAC A220名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 思路：设随机矢量1121231231233YXYYXXYXXX由性质可得Y为三维高斯变量， 求得方差阵YC为对角阵TYXCACA100200110030122000333YAC1-32 已知三维高斯随机变量123(,)XXX各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。求112YXX和213YXX的联合特征函数？010000100001XXMC思路：Y是X线性变换故也服从高斯分布，求得YYMC就可以写出联合特征函数11112122213233110101XXYXXYXXYXAXXYXYAX，线性变换，故Y也服从高斯分布021012TYXYXMAMCAC A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - N 维高斯变量的联合特征函数1221122,exp2expTTTjUYYYYnU C UQE ejMU2、已知随机变量 (X,Y)的联合概率密度为(1)条件概率密度(),()f x yf y x(2)X 和 Y 是否独立？给出理由。解题思路：( , )( ),( )(),()XYf x yfxfyf x yf y x(1) 1206(2)4301( )( , )0XXYxyxy dyxxxfxfx y dyelse6(2)0101( , )0XYxyxyxyfx yelse名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 62( , )0101()43( )62010001()43XYYXXyxyfx yxyfy xxfxelsexxyxyfx yyelse同理(2) ()( ),XXXYXYfx yfxorfx yfx fyX 和 Y 不相互独立4、已知 (X1,X2,X3) 是三维高斯变量， 其期望和方差为112233000XXmXXMmXm732341212XC11223YXXYX求：(1) (X1,X2)的边缘特征函数。(2) (Y1,Y2)的联合概率密度高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布所以(X1,X2)、Y 服从高斯分布(1) 1212073034X XXECX名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 22112212764,exp2XuuuuQu u(2) 1 100173001032YYAMC12312531725YYCC2211221226171,exp1050YYYYYfyy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - 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