一二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构ppt课件.ppt
“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。一、二阶常系数线性非齐次微分一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念与结构方程解的概念与结构第六章微分方程初步第六章微分方程初步第五节二阶常系数线性非齐次微分方程第五节二阶常系数线性非齐次微分方程二、二阶常系数线性非齐次微分方程二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法的解法“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构形如形如y + py + qy = f (x) 的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程，的方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程，“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。二阶常系数线性非齐次方程的解的结构二阶常系数线性非齐次方程的解的结构1 自由项自由项 f (x) 为多项式为多项式 Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = Pn(x),其中其中 Pn(x) 为为 x 的的 n 次多项式次多项式. ),(*xQxynk 当原方程当原方程 中中 y 项的系数项的系数 q 0 时时， k 取取 0；当当 q = 0，但但 p 0 时时，k 取取 1；当当 p = 0， q = 0 时，时，k 取取 2. 因为方程中因为方程中 p、q 均为均为常数且多项式的导数仍为多项式，常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设所以可设 式的式的特解为特解为其中其中 Qn(x) 与与 Pn(x) 是同次多项式，是同次多项式，“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例 5求方程求方程 y - - 2y + y = x2 的一个特解的一个特解.解解因为自由项因为自由项 f (x) = x2 是是 x 的二次多项式，的二次多项式，,2*CBxAxy 则则,2*BAxy ,2*Ay 代入原方程后，有代入原方程后，有.)22()4(22xCBAxBAAx 且且 y 的系数的系数 q = 1 0，取，取 k = 0 . 所以设特解为所以设特解为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。比较两端比较两端 x 同次幂的系数，有同次幂的系数，有 . 022, 04, 1CBABAA解得解得A = 1，B = 4，C = 6.故所求特解为故所求特解为. 642* xxy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例 6求方程求方程 y + + y = x3 x + + 1 的一个特解的一个特解.解解因为自由项因为自由项 f (x) = x3 x + + 1 是一个是一个 x 的三的三次多项式，次多项式，).(*23DCxBxAxxy 则则,234*23DCxBxAxy ,2612*2CBxAxy 代入原方程后，有代入原方程后，有)2()26()312(423DCxCBxBAAx . 13 xx且且 y 的系数的系数 q = 0， p = 1 0，取取 k = 1.所以设方程的特解为所以设方程的特解为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。比较两端比较两端 x 同次幂的系数：同次幂的系数： . 12, 126, 0312, 14DCCBBAA解得解得. 4,25, 1,41 DCBA故所求特解为故所求特解为.4254123* xxxxy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2 自由项自由项 f (x) 为为 Aea ax 型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = Aea ax，其中其中 a a，A 均为常数均为常数.由于由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，数函数，其中其中 B 为待定常数，为待定常数，.e*xkBxya a 当当 a a 不是不是 式所对应的线性齐式所对应的线性齐次方程的特征方程次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时的根时，取取 k = 0；当当 a a 是其特征方程单根时是其特征方程单根时，取取 k = 1； 当当 a a 是其特征是其特征方程重根时方程重根时，取取 k = 2.因此，我们可以设因此，我们可以设 的特解的特解“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例 7求方程求方程 y + + y + y = 2e2x 的通解的通解.解解a a = = 2 它不是特征方程它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，的根，取取 k = 0，,e2*xBy 则则,e2*2xBy ,e4*2xBy 代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为.e72*2xy 所以，设特解为所以，设特解为.B72 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例 8求方程求方程 y + + 2y - - 3y = ex 的特解的特解.解解a a = = 1 是特征方程是特征方程 r2 + 2r - - 3 = 0 的单根，的单根，取取 k = 1，,e*xBxy 则则,ee*xxBxBy ,ee2*xxBxBy 代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为.e41*xxy 所以，设特解为所以，设特解为,41 B“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3 自由项自由项 f (x) 为为 ea ax (Acos w wx + Bsin w wx)型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = ea ax (Acos w wx + Bsin w wx)，其中其中 a a，A ，B 均为常数均为常数.由于由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，为指数函数， 正弦函数与余弦函数的导数也总是正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，余弦函数与正弦函数，因此因此, 我们可以设我们可以设 有特解有特解).sincos(e*xDxCxyxkw ww wa a 其中其中 C，D 为待定常数为待定常数.取取 k = 0， 是根时是根时，取取 k = 1，代入代入 式，求得式，求得 C 及及 D. 当当 a a + w wi 不是不是 式所对式所对应的齐次方程的特征方程的根时应的齐次方程的特征方程的根时，“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例 9求方程求方程 y + + 3y - - y = ex cos 2x 的一个特解的一个特解.解解自由项自由项 f (x) = ex cos 2x 为为 ea ax( (Acosw wx + Bsinw wx) ) 型的函数，型的函数，),2sin2cos(e*xDxCyx 则则,2sin)2(2cos)2(e*xCDxDCyx .2sin)34(2cos)34(e*xDCxCDyx 且且 a a + + w wi = 1 + + 2i，它不是对应的，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + + 3r 1 = 0 的根，的根，取取 k = 0，所以设特解为，所以设特解为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。代入原方程，得代入原方程，得.2cos2sin)10(2cos)10(xxCDxCD 比较两端比较两端 cos 2x 与与 sin 2x 的系数，得的系数，得 . 010, 110CDCD解此方程组，得解此方程组，得.10110,1011 DC故所求特解为故所求特解为. 2sin101102cos1011e* xxyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例 10求方程求方程 y + + y = sin x 的一个特解的一个特解.解解自由项自由项 f (x) = sin x 为为 ea ax(Acosw wx + Bsinw wx) 型的函数，型的函数，且且 a a = 0，w w = 1，).sincos(*xDxCxy 则则),sincos(sincos*xCxDxxDxCy ).sincos(sin2cos2*xDxCxxCxDy 代入原方程，得代入原方程，得.sincos2sin2xxDxC 且且 a a + + w wi = i 是特征是特征方程方程 r2 + 1 = 0 的根，的根，取取 k = 1，所以，设特解为，所以，设特解为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。比较两端比较两端 sinx 与与 cosx 的系数，得的系数，得. 021 DC，故原方程的特解为故原方程的特解为.cos21*xxy 而对应齐次方程而对应齐次方程 y + + y = 0 的通解为的通解为Y = C1cosx + C2sinx.故原方程的通解为故原方程的通解为.sincoscos2121*xCxCxxYyy “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例 11方程方程 y + + 4y = x +1 + sinx 的通解的通解.解解自由项自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成可以看成 f1 (x) = x +1 和和 f2 (x) = sin x 之和，之和，y + + 4y = x +1，y + + 4y = sin x .和和方程方程 的特解易求得，的特解易求得，,sin*2xAy 设方程设方程 的特解为的特解为,cos*2xAy .sin*2xAy ,4141*1 xy的特解的特解.所以分别求方程所以分别求方程“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。代入代入，得得3Asin x = sin x. .31 A所以所以.sin31*2xy 得原方程的特解得原方程的特解.sin314141*2*1*xxyyy “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。原方程所对应的线性齐次方程为原方程所对应的线性齐次方程为 y + + 4y = 0，其通解为其通解为Y = C1cos 2x + C2sin 2x，故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin2cossin31414121*xCxCxxYyy “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。三、应用举例三、应用举例例例 12 弹簧振动问题弹簧振动问题设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体，的物体，当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，弹性恢复力大小相等，方向相反，设给物体一个初始位移设给物体一个初始位移 x0 初速初速度度 v0， 则物体便在其平衡位置附则物体便在其平衡位置附近上下振动近上下振动. 已知阻力与其速度已知阻力与其速度成正比，成正比，O 试求振动过程中位移试求振动过程中位移 x 的变化规律的变化规律.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。物体在振动过程中，受到两个力的作用：物体在振动过程中，受到两个力的作用：ma = - - kx m mv, , 其中其中 a 为加速度，为加速度，,dd22txa v 为速度，为速度，,ddtxv 解解 建立坐标系，平衡位置为原点建立坐标系，平衡位置为原点, 铅垂方向为铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移轴的正向，则物体位移 x 是时间是时间 t 的函数的函数 x = x(t).根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 F = ma，知，知 负号表示阻力负号表示阻力 f2 与速度与速度 v 方向相反，方向相反， 其中其中 m m 为为比例系数大于比例系数大于 0 ( ( 或称阻尼系数或称阻尼系数 ) )，阻力阻力 f2 与速度与速度 v 成正比，成正比， f2= m mv, , 负号表示弹性恢复力与位移负号表示弹性恢复力与位移 x 方向方向相反；相反； 其中其中 k 为为弹性系数大于弹性系数大于 0，由胡克定律知，由胡克定律知， f1= - - kx， 弹性恢弹性恢复力复力 f1 与阻力与阻力 f2，“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。,22mkmn w wm m，记记则 上则 上式方程可表示为式方程可表示为. 0dd2dd222 xtxntxw w称为振动的微分方程，称为振动的微分方程， 是一个二阶常系数线性齐次是一个二阶常系数线性齐次方程，方程，它的特征方程为它的特征方程为 r2 + 2nr + w w2 = 0， 其根为其根为.222, 1w w nnr那么，上式变为那么，上式变为.dddd22kxtxtxm m m这里这里 n，w w 为正常数，为正常数，“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。由题意列出初始条件由题意列出初始条件 ,dd,|0000 tttxxx于是，上述问题化为初值问题：于是，上述问题化为初值问题： .dd,|, 0dd2dd0002220 w wttxxxxtxntxt“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。下面分三种情况来讨论下面分三种情况来讨论1 大阻尼情形，即大阻尼情形，即 n w w . .,221w w nnr这时这时,222w w nnr是两个不相等的实根是两个不相等的实根. 所以方程的通解为所以方程的通解为.ee)(2)(12222tnntnnCCxw ww w 2 临界阻尼情形，即临界阻尼情形，即 n = w w. .这时，特征根这时，特征根 r1 = r2 = - - n，所以方程的通解为，所以方程的通解为.e )(21nttCCx “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3 小阻尼情形，即小阻尼情形，即 n w w . .这时，特征根为共轭复数这时，特征根为共轭复数, i22nn w w所以方程的通解为所以方程的通解为).sincos(e222221tnCtnCxnt w ww w上式也可写成上式也可写成),sin(e0 w w tAxnt.arctan,212221220CCCCAn w ww w其其中中“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。对于对于 1 ， 2 情形，情形，x(t) 都不是振荡函数，都不是振荡函数，且当且当 t + 时，时， x(t) 0， 即物体随时间即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置的增大而趋于平衡位置. 对于对于 3 的情形，虽的情形，虽然物体的运动是振荡的，然物体的运动是振荡的， 但它仍随时间但它仍随时间 t 的增的增大而趋于平衡位置，大而趋于平衡位置， 总之，这一类振动问题均总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，会因阻尼的作用而停止，称为弹簧的阻尼自由称为弹簧的阻尼自由振动振动.
