【走向高考】2021届高三数学一轮阶段性测试题5 平面向量（含解析）北师大版.doc

阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1AC为平行四边形ABCD的一条对角线，(2,4)，(1,3)，则()A(2,4)B(3,7)C(1,1)D(1，1)答案D解析因为(2,4)，(1,3)，所以(1，1)，即(1，1)选D2(2014·广东高考)已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)答案B解析本题考查向量的坐标运算ba(3,1)(1,2)(2，1)，选C3已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则等于()A2B2CD答案A解析由题意知，故()2.4已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，则|abc|等于()A0B2CD3答案B解析由题意得，abc，且|c|，|abc|2c|2.5已知a(3，2)，b(1,0)向量ab与a2b垂直，则实数的值为()ABCD答案C解析向量ab与a2b垂直，则(ab)(a2b)0，又因为a(3，2)，b(1,0)，故(31，2)(1，2)0，即3140，解得.6(2014·四川高考)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A2B1C1D2答案D解析本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式cmab(m4,2m2)，a·c5m8，b·c8m20.由两向量的夹角相等可得，即为，解得m2.7(2015·皖南八校联考)已知D是ABC所在平面内一点，且满足()·()0，则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形答案A解析()·()()·0，所以··，所以acosBbcosA，利用余弦定理化简得a2b2，即ab，所以ABC是等腰三角形8(2015·保定调研)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2x0成立的实数x的取值集合为()A1BC0D0，1答案A解析，x2x0，即x2(1x)，x2(1x)1，即x0或x1(x0舍去)，x1.9设向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0<<<，若|2ab|a2b|，则等于()ABCD答案A解析由|2ab|a2b|知3|a|23|b|28a·b0.而|a|1，|b|1，故a·b0，即cos()0，由于0<<<，故<<0，故，选A10ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且20，|，则·等于 ()ABC3D2答案C解析由20，得0，所以，即O是BC的中点，所以BC为外接圆的直径，BC2，则BAC90°，因为|，所以ABO为正三角形，所以ABO60°，ACB30°，且|AC|，所以·|·|·cos30°2××3，选C第卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11(文)若A、B、C、D四点共线，且满足(3a,2a)(a0)，(2，t)，则t_.答案解析因为A、B、C、D四点共线，所以3at4a0，又a0，所以t.(理)已知向量a(1sin，1)，b(，1sin)，若aB则锐角_.答案45°解析因为ab，所以(1sin)×(1sin)1×0，得cos2，cos±，锐角为45°.12已知向量a(cos，sin)，向量b(，1)，则|2ab|的最大值、最小值分别是_答案4,0解析2ab(2cos，2sin1)，|2ab|，最大值为4，最小值为0.13(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a(2，6)，|b|，则a·b_.答案10解析此题考查向量数量积的运算a(2，6)，|a|2，a·b2××cos60°10.14(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，则·的值是_答案22解析本题考查向量的线性运算及向量的数量积由题意，所以·()·()2·2，即225·×64，解得·22.借助·表示出·是解决本题的关键所在15以下命题：若|a·b|a|·|b|，则ab；a(1,1)在b(3,4)方向上的投影为；若ABC中，a5，b8，c7，则·20；若非零向量a、b满足|ab|b|，则|2b|>|a2b|.其中所有真命题的标号是_答案解析由|a·b|a|·|b|cos<a，b>|a|·|b|，所以cos<a，b>±1，即<a，b>0或<a，b>，所以ab，所以正确a在b方向上的投影为|a|cos<a，b>，所以正确cosC，即C60°，所以·|·|cos120°5×8×()20，所以错误由|ab|b|得，a22a·b0，即2a·ba2，若|2b|>|a2b|，则有4b2>a24a·b4b2，即a24a·ba22a2a2<0，显然成立，所以正确综上真命题的标号为.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)已知向量a(3，2)，b(2,1)，c(7，4)，是否能以a，b为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量c用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由解析a(3，2)，b(2,1)3×1(2)×(2)10.a与b不共线，故一定能以a，b作为平面内的所有向量的一组基底设caub即(7，4)(3，2)(2u，u)(32u，2u)，解得ca2B17(本小题满分12分)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)(1)若A、B、C三点共线，求实数m的值；(2)若ABC为锐角，求实数m的取值范围解析(1)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)(3,1)，(2m,1m)，A、B、C三点共线，与共线，3(1m)2m，m.(2)由题设知(3，1)，(1m，m)ABC为锐角，·33mm>0m>又由(1)可知，当m时，ABC0°故m.18(本小题满分12分)A、B、C是ABC的内角，a、b、c分别是其对边，已知m(2sinB，)，n(cos2B,2cos21)，且mn，B为锐角(1)求B的大小；(2)如果b3，求ABC的面积的最大值解析(1)mn，2sinB(2cos21)()cos2B0，sin2Bcos2B0，2sin(2B)0，2Bk(kZ)，B，B为锐角，B.(2)由余弦定理，b2a2c22accosB，9a2c2ac，a2c22ac，ac9.等号在ac时成立，SABCacsinB×9×.故ABC的面积的最大值为 .19(本小题满分12分)已知向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为.(1)求|a2b|；(2)若向量a2b与tab垂直，求实数t的值解析(1)向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为，|a2b|2.(2)向量a2b与tab垂直，(a2b)·(tab)0，ta2(2t1)a·b2b20，4t(2t1)×2×1×cos20，解得t.20(本小题满分13分)如图所示，已知OCB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，B(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值解析(1)由题意知，A是BC的中点，且.由平行四边形法则，可得2，所以22ab，(2ab)b2aB(2)如题图，又因为(2ab)a(2)ab，且2ab，所以，所以.21(本小题满分14分)(文)已知向量OP(2cos(x)，1)，OQ(sin(x)，cos2x)，定义函数f(x)OP·OQ.(1)求函数f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)1，bc8，求ABC的面积S.解析(1)f(x)OP·OQ(2sinx，1)·(cosx，cos2x)sin2xcos2xsin(2x)，f(x)的最大值和最小值分别是和.(2)f(A)1，sin(2A).2A或2A.A或A.又ABC为锐角三角形，A，bc8，ABC的面积SbcsinA×8×2.(理)已知O为坐标原点，向量OA(sin，1)，OB(cos，0)，OC(sin，2)，点P满足ABBP.(1)记函数f()PB·CA，(，)，讨论函数f()的单调性，并求其值域；(2)若O，P，C三点共线，求|OAOB|的值解析(1)AB(cossin，1)，设OP(x，y)，则BP(xcos，y)由ABBP得x2cossin，y1，故OP(2cossin，1)PB(sincos，1)，CA(2sin，1)f()PB·CA(sincos，1)·(2sin，1)2sin22sincos1(sin2cos2)sin(2)，又(，)，故0<2<，当0<2，即<时，f()单调递减；当<2<，即<<时，f()单调递增，故函数f()的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(，因为sin(2)(，1，故函数f()的值域为，1)(2)OP(2cossin，1)，OC(sin，2)，由O，P，C三点共线可得(1)×(sin)2×(2cossin)，得tan.sin2.|OAOB|.- 8 -