【最高考】2021届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第1讲 集合与简单逻辑用语.doc

专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语 1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值，还是因变量的取值，还是曲线上的点， 集合中元素的“三性”既是解题的突破口，也是检验所得字母取值(或范围)是否保留的依据2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3. 已知集合A、B，当AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n1，2n1，2n2；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5. 命题逻辑联结词“或”“且”“非”与集合论中的“并”“交”“补”运算要进行类比理解，掌握解这类题的一般步骤与解题格式6. 学习本节内容，要侧重于语言(集合语言、数学符号语言)的转化，要强化数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法在数学中的应用1. 已知A、B是非空集合，定义A×Bx|xAB且xAB若AxR|y，By|y3x，xR，则A×B_. 答案：(，3)解析：A(，03，)，B(0，)，AB(，)，AB3，) A×B(，3)2. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_答案：12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题如图，设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的人数有15x，只喜爱乒乓球的人数有10x，由此可得(15x)(10x)x830，解得x3，所以15x12，即所求人数为12.3. 已知条件p：aMx|x2x<0，条件q：aNx|x|<2则p是q的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案：充分不必要解析：M(0，1) N(2，2)4. 已知p：4<xa<4，q：(x2)(3x)>0，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是_答案：1，6解析：p：a4<x<a4，q：2<x<3，若p是q的充分条件，则q是p的充分条件，所以即1a6.题型一 集合的关系与运算例1 已知集合Ax|x23x100，集合Bx|p1x2p1若BA，求实数p的取值范围解：由x23x100，得2x5. A2，5 当B时，即p12p1p2.由BA得2p1且2p15，得3p3. 2p3. 当B时，即p1>2p1p2.BA成立综上得p3.点评：从以上解答应看到：解决有关AB，ABA，ABB或AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题设全集是实数集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a<0(1) 当a4时，分别求AB和AB；(2) 若(RA)BB，求实数a的取值范围解：(1) 由2x27x30，得x3， A.当a4时，解x24<0，得2<x<2， Bx|2<x<2 AB，ABx|2<x3(2) RA，当(RA)BB时，BRA. 当B时，即a0时，满足BRA； 当B时，即a<0时， Bx|<x<，要使BRA，须，解得a<0.综上，可得实数a的取值范围是a.题型二 数形结合与分类讨论思想在集合问题中的应用例2 已知集合A，B(x，y)|ykx3若AB，求实数k的取值范围解： 集合A表示直线y3x2上除去点(1，1)外所有点的集合，集合B表示直线ykx3上所有点的集合，AB，所以两直线平行或直线ykx3过点(1，1)，所以k2或k3.已知an是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，设集合A，B.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：(1) 若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2) AB至多有一个元素；(3) 当a10时，一定有AB解：(1) 正确；在等差数列an中，Sn，则(a1an)，这表明点的坐标适合方程y(xa1)，于是点均在直线yxa1上(2) 正确；设(x，y)AB，则(x，y)中的坐标x、y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1xa4(*)，当a10时，方程(*)无解，此时AB；当a10时，方程(*)只有一个解x，此时，方程组也只有一解故上述方程组至多有一解 AB至多有一个元素(3) 不正确；取a11，d1，对一切的xN*，有ana1(n1)dn>0， >0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a110 如果AB，那么据(2)的结论，AB中至多有一个元素(x0，y0)，而x00，y00，这样的(x0，y0)A，产生矛盾，故a11，d1时AB，所以a10时，一定有AB是不正确的题型三 集合与逻辑知识应用的拓展例3 设集合A，Bx | x 1|a，则“a1”是“AB”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案：充分不必要解析：由题意得A：1<x<1，B：1a<x<a1， 由a1.A：1<x<1.B：0<x<2.则ABx|0<x<1成立，即充分性成立 反之：AB，不一定推得a1，如a可能为.综合得“a1”是“AB”的充分不必要条件 设U为全集，A、B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案：充要解析：若存在集合C使得AC，BUC，则可以推出AB；若AB，由韦恩图可知，一定存在CA，满足AC，BUC，故“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的充要条件题型四 充要条件的探求与证明例4 已知数列an的前n项和为Snpnq(p0，p1)，求数列an为等比数列的充要条件解：数列an为等比数列，则a1pq，n2，anSnSn1(p1)pn1.由于p0，p1， n2时，数列an是公比为p，首项为p1的等比数列， pqp1， q1.由上面探求的过程可知，数列an为等比数列的充要条件即为q1. 已知p：12x8；q：不等式x2mx40恒成立，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围解：p：12x8，即0x3， p是q的必要条件， p是q的充分条件， 不等式x2mx40对x(0，3)恒成立， mx对x(0，3)恒成立 x24，当且仅当x2时等号成立， m4.1. (2013·湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件答案：充分不必要2. (2014·福建卷)命题“x0，)，x3x0”的否定是_答案： x0，)，x3x<03. (2014·四川卷)已知集合Ax|x2x20，集合B为整数集，则AB_答案：1，0，1，24. 已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，则m_，n_答案：11解析： AxR|x2|<3x|5<x<1，又AB(1，n)，画数轴可知m1，n1. 5. (2013·上海卷)设常数aR，集合Ax|(x1)(xa)0，Bx|xa1若ABR，则a的取值范围为_答案：(，2解析：若a1，则A(，1a，)，Ba1，)，ABR，a11，则1a2；若a1，ABR成立，a1，则A(，a1，)，ABR成立综上a2.6. (2013·福建卷)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足；() Tf(x)|xS；() 对任意x1，x2S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)那么称这两个集合“保序同构”现给出以下3对集合： AN，BN*； Ax|1x3，Bx|8x10； Ax|0<x<1，BR.其中，“保序同构”的集合对的是_(写出所有“保序同构”的集合对的序号)答案：解析：对取f(x)x1，xN*，所以BN*，AN是“保序同构”；同理对取f(x)x(1x3)；对取f(x)tan，所以应填.(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知命题：“xx|1<x<1，使等式x2xm0成立”是真命题(1) 求实数m的取值集合M; (2) 设不等式(xa)(xa2)<0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围解：(1) 由题意知，方程x2xm0在(1，1)上有解，即m的取值范围为函数yx2x在(1，1)上的值域，易得M.(3分)(2) 因为xN是xM的必要条件，所以mN，当a1时，解集N为空集，不满足题意；(5分)当a>1时，a>2a，此时集合Nx|2a<x<a，则解得a>；(9分)当a<1时，a<2a，此时集合Nx|a<x<2a，则解得a<.(13分)综上，a>或a<.(14分)1. 设集合A1，2，3，4，5，6，B4，5，6，7，则满足SA且SB的集合S的个数为_答案：56解析：集合A的所有子集共有2664个，其中不含4，5，6，7的子集有238个，所以集合S共有56个2. 设不等式x22axa20的解集为M，如果M 1，4，求实数a的取值范围解： M 1，4有三种情况：其一是M，此时0；其二是M，此时0，分三种情况计算a的取值范围设f(x)x22axa2，有(2a)2(4a8)4(a2a2) 当0时，1a2，M 1，4成立； 当0时，a1或2，当a1时，M11，4，当a2时，M21，4； 当0时，a1或a2.设方程f(x)0的两根为x1，x2，且x1x2，那么Mx1，x2，M1，4 1x1x24即解得2a.综上，实数a的取值范围是.3. 已知a>0，函数f(x)axbx2.(1) 当b>0时，若xR，都有f(x)1，证明：0<a2；(2) 当b>1时，证明：x0，1，|f(x)|1的充要条件是b1a2.证明：(1) axbx21对xR恒成立，又b0， a24b0， 0a2.(2) 必要性：x0，1，|f(x)|1恒成立， bx2ax1且bx2ax1，显然x0时成立，对x(0，1时，abx且abx，函数f(x)bx在x(0，1上单调增，f(x)最大值f(1)b1.函数g(x)bx在上单调减，在上单调增，函数g(x)的最小值为g2， b1a2，故必要性成立；充分性：f(x)axbx2b，×1×1，f(x)max1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)0，f(1)ab，f(x)的最小值从f(0)0，f(1)ab中取最小的，又ab1， 1f(x)1，故充分性成立综上，命题得证4. 命题甲：方程x2mx10有两个相异负根；命题乙：方程4x24(m2)x10无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围解：使命题甲成立的条件是m2. 集合Am|m>2使命题乙成立的条件是216(m2)216<0， 1m3. 集合Bm|1<m<3若命题甲、乙有且只有一个成立，则有： mARB； mRAB.若为，则有ARBm|m>2m|m1或m3m|m3；若为，则有BRAm|1<m<3m|m2m|1<m2综合、可知所求m的取值范围是m|1<m2或m3- 6 -