届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第讲第课时定点定值范围最值问题配套练习文北师大版.doc

第2课时定点、定值、范围、最值问题一、选择题1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4解析Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k2·4k264(1k2)0，解得1k1.答案C2(2022·石家庄模拟)P为双曲线C：1上的点，点M满足|1，且·0，那么当|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A. B. C4 D5解析由·0，得OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x±3y0，所求的距离d，应选B.答案B3椭圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，那么m的值为()A2 B2 C8 D2解析根据条件得c，那么点(，)在椭圆1(m0)上，1，可得m2.答案B4假设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx22有公共点，那么此双曲线的离心率的取值范围是()A3，) B(3，) C(1,3 D(1,3)解析依题意可知双曲线渐近线方程为y±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x20.渐近线与抛物线有交点，80，求得b28a2，c3a，e3.答案A5(2022·宝鸡一模)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，那么|AB|的最大值为()A2 B. C. D.解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，那么x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|···，当t0时，|AB|max.答案C二、填空题6双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，那么双曲线的方程为_解析由条件知双曲线的焦点为(4,0)，所以解得a2，b2，故双曲线方程为1.答案17动点P(x，y)在椭圆1上，假设A点坐标为(3,0)，|1，且·0，那么|的最小值是_解析·0，.|2|2|2|21，椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|min2，|min.答案8(2022·平顶山模拟)假设双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点，那么双曲线离心率的取值范围是_解析双曲线的渐近线方程为y±bx，那么有1，解得b23，那么e21b24，e1，1e2.答案(1,2三、解答题9.如图，椭圆E：1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得··为定值？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由解(1)由，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且·1，于是解得a2，b.所以椭圆E方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)>0，所以，x1x2，x1x2.从而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，··3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时····213，故存在常数1，使得··为定值3.10(2022·浙江卷)如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)假设任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM，由得(1a2k2)x22a2kx0.故x10，x2，因此|AM|x1x2|·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e得，所求离心率的取值范围是.11(2022·湖南师大附中月考)设双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，假设x01，那么双曲线C的离心率e的取值范围是()A. B(，)C(1，) D.解析不妨联立yx与y2x的方程，消去y得x2x，由x01知1，即1，故e22，又e1，所以1e，应选C.答案C12(2022·河南省八市质检)双曲线1(a0，b0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点假设AOB的面积为，那么抛物线的准线方程为()Ax2 Bx2 Cx1 Dx1解析因为e2，所以c2a，ba，双曲线的渐近线方程为y±x，又抛物线的准线方程为x，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A，B，在AOB中，|AB|p，点O到AB的距离为，所以·p·，所以p2，所以抛物线的准线方程为x1，应选D.答案D13(2022·合肥诊断)假设点O和点F分别为椭圆1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，那么·的最小值为_解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，依题意得左焦点F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，·x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即6·12，故最小值为6.答案614(2022·衡水中学高三联考)椭圆C：1(ab0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x4y60与圆x2(yb)2a2相切(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求AMN面积的最大值解(1)由题意，得即C：y21.(2)由题意得直线l1，l2的斜率存在且不为0.A(2,0)，设l1：xmy2，l2：xy2，由得(m24)y24my0，M.同理，N.m±1时，kMN，lMN：y.此时过定点.m±1时，lMN：x，过点.lMN恒过定点.(3)由(2)知SAMN×|yMyN|8.令t2，当且仅当m±1时取等号，SAMN，且当m±1时取等号(SAMN)max.