回扣二函数与导数-高中数学必备考试技能之回扣溯源查缺补漏(2022版)(解析版).docx

回扣2：函数与导数一知识汇总*经典提炼根本初等函数指数函数y = a x0 < a < 1(-¥, +¥) 单调递减， x < 0 时 y < 1， x > 0 时0 < y < 1函数图象过定点(0,1)a > 1(-¥, +¥) 单调递增， x < 0 时0 < y < 1， x > 0 时 y > 1对数函数y = loga x0 < a < 1在(0, +¥) 单调递减， 0 < x < 1时 y > 0 ， x > 1时 y < 0函 数 图 象 过定点(1, 0)a > 1在(0, +¥) 单调递增， 0 < x < 1时 y < 0 ， x > 1时 y > 0幂函数y = xaa> 0在在(0, +¥) 单调递增，图象过坐标原点函 数 图 象 过定点(1,1)a< 0在在(0, +¥) 单调递减导数及其应用概念与几何意义概念函数 y = f (x) 在点 x = x 处的导数 f '(x ) = lim f (x0 + Dx) - f (x0 ) 。00Dx®0Dx几何意义f '(x0 ) 为 曲 线 y = f (x) 在 点 (x0 , f (x0 ) 处 的 切 线 斜 率 ， 切 线 方 程 是y - f (x0 ) = f '(x0 )(x - x0 ) 。运算根本公式C¢ = 0 C 为常数； (xn )¢ = nxn -1(n Î N* ) ；(sin x)¢ = cos x，(cos x)¢ = -sin x ；(ex )¢ = ex，(ax )¢ = ax ln a a > 0 ，且 a ¹ 1；(ln x)¢ = 1，(log x)¢ = 1 log e a > 0 ，且 a ¹ 1xaxaæ 1 ö ' = - 1 ；ç x ÷x2èø(ln x ) ' = 1 。x运算法那么 f (x) ± g(x)¢ = f ¢(x) ± g ¢(x) ； f (x)gg(x)¢ = f ¢(x)gg(x) + f (x)gg ¢(x)，Cf (x)¢ = Cf ¢(x)；é f (x) ù¢ f ¢(x)g(x) - g ¢(x) f (x)é 1 ù¢g¢( x)êú =2(g(x) ¹ 0) ， êú = -2ë g(x) ûg (x)ë g(x) ûg (x)复合函数求导法那么 y = f (g (x)' = f '(g (x)g '(x) 。研究单调性f '(x) > 0 的各个区间为单调递增区间； f '(x) < 0 的区间为单调递减区间。函数性质极值f '(x0 ) = 0 且 f '(x) 在 x0 附近左负正右正负的 x0 为极小大值点。最值a, b上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。定积分概念f (x )在区间a, b上是连续的，用分点a = x0 < x1 < L < xi-1 < xi < L < xn = b 将区 间 a, b 等 分 成 n 个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 xi-1 , xi 上 任 取 一 点 xibn b - a i = 1, 2,L, n ， òa f (x )dx = lim ånf (xi )。n®¥ i=1根本定理如 果 f (x ) 是 a, b 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 有 F ¢(x ) = f (x ) ， 那么bòa f (x )dx = F (b )- F (a )性质bbòa kf (x )dx = k òa f (x )dx k 为常数；bbbòa éë f (x ) ± g (x )ùûdx = òa f (x )d x ± òa g (x )dx ；bcdòa f (x )dx = òa f (x )dx + òc f (x )dx 简单应用区间a, b上的连续的曲线 y = f (x) ，和直线 x = a.x = b(a ¹ b), y = 0 所围成的曲b边梯形的面积 S = òa f (x)dx 。二核心解读*方法重温1.求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根， 被开方数一定是非负数；分式中分母不为 0；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式， 不应遗漏.回扣问题1函数f(x)lg(1x)3x1的定义域是.1x>0，解析由题意，得1x<1.3x10，31，1答案32.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，要注意定义域优先的原那么.回扣问题2函数f(x)ln(x22x8)的单调增区间是.解析要使函数有意义，那么x22x8>0，解得x<2或x>4，结合二次函数、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原那么得函数的单调增区间为(4，).答案(4，)3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义 域是否关于原点对称.函数 yf(x)为奇函数，但不一定有 f(0)0 成立.回扣问题3函数f(x)lg1x2的奇偶性是.|x2|2解析由1x2>0且|x2|20，知f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称，那么f(x)lg1x2，x又 f(x)lg1x2f(x)，x函数 f(x)为奇函数.答案奇函数4.记准函数周期性的几个结论：由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)f(ax)(a>0)，那么f(x)是周期为 a 的周期函数得：(1)函数 f(x)满足 f(ax)f(x)，那么f(x)是周期 T2a 的周期函数；(a0)(2)假设f(xa)1成立，那么T2a；fx(3)假设f(xa)1(a0)成立，那么T2a；fx(4)假设f(xa)f(xa)(a0)成立，那么T2a.回扣问题4对于定义在R上的函数f(x)，假设xR，f(x2)f(x)，当x1，0时，f(x)x2x， 那么f(2 019).解析xR，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，知 f(x)的周期 T4， 所以 f(2 019)f(4×5051)f(1)，又 x1，0时，f(x)x2x，知 f(1)(1)212.f(2 019)f(1)2.答案25.理清函数奇偶性的性质.(1)f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|)；(2)f(x)是奇函数f(x)f(x)；(3)定义域含 0 的奇函数满足 f(0)0.x2回扣问题5函数h(x)(x0)为偶函数，且当x>0时，h(x)，0<x4，4假设h(t)>h(2)，那么实数 t 的取42x，x>4，值范围为.x2解析因为当x>0时，h(x)，0<x4，442x，x>4.所以函数 h(x)在(0，)上单调递减，因为函数 h(x)(x0)为偶函数，且 h(t)>h(2)， 所以 h(|t|)>h(2)，所以 0<|t|<2，t0，所以即|t|<2，t0，2<t<2，解得2<t<0 或 0<t<2.综上，所求实数 t 的取值范围为(2，0)(0，2).答案(2，0)(0，2)6.图象变换的几个注意点.(1)弄清平移变换的方向与单位长度.(2)区别翻折变换：f(x)|f(x)|与 f(x)f(|x|).(3)两个函数图象关于直线或关于某点的对称.回扣问题6函数y1xsin x的局部图象大致为()x2解析易知g(x)xsinx为奇函数，其图象关于原点(0，0)对称，x2那么y1xsin x的图象只需把 g(x)的图象向上平移一个单位长度. x2故函数 y1xsin x的图象关于(0，1)对称，只有选项 D 满足. x2答案D7.准确理解根本初等函数的定义和性质.防止如函数 yax(a>0，a1)的单调性无视对字母 a 的取值讨论或无视ax>0，对数函数 ylogax(a>0，a1)无视真数与底数的限制条件等错误的出现.回扣问题7假设函数f(x)ax(a>0且a1)在R上为减函数，那么函数yloga(|x|1)的图象可以是()解析由于f(x)ax(a>0，a1)在R上为减函数，那么0<a<1.又|x|1>0，得x>1或x<1.当x>1时，yloga(x1)是减函数，易知 D 正确.答案D8.分段函数，一定要看清楚分界点的函数值.回扣问题8假设函数f(x)2x1，x1，x2ax1，x<1在R上是增函数，那么a 的取值范围为()A.2，3B.2，)C.1，3D.1，)a1，解析由题意得21a121，解得 2a3.答案A9.易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.回扣问题9假设函数f(x)axln x1有零点，那么实数a的取值范围是.(x>0)解析令f(x)axln x10，那么alnx1，x设 g(x)ln x1x，那么g(x)ln x， x2由 g(x)0，得 x1.当 x(0，1)时，g(x)>0，g(x)单调递增， 当 x(1，)时，g(x)<0，g(x)单调递减，g(x)maxg(1)1，那么a1.答案(，110.混淆 yf(x)的图象在某点(x0，y0)处的切线与 yf(x)过某点(x0，y0)的切线，导致求解失误.回扣问题10曲线f(x)x23x2lnx 在x1 处的切线方程是.，解析由f(x)x23x2lnx，得f(x)2x32xf(1)2，f(1)1，故 f(x)在 x1 处的切线方程为 y21×(x1)，即 xy30.答案xy3011.利用导数判断函数的单调性：设函数 yf(x)在某个区间内可导，如果 f(x)>0，那么 f(x)在该区间内为增函数；如果 f(x)<0，那么 f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有 f(x)0，那么 f(x)在该区间内为常函数.注意如果f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0，增函数亦如此.回扣问题11函数f(x).11，2x22axln x，假设f(x)在区间 32上是增函数，那么实数 a 的取值范围为解析由题意知f(x)x2a11，20 在 3x上恒成立，即 2ax11，2x 在 31，2上恒成立，当x3时，x1884x，2a，即a. 333max4，答案312.对于可导函数 yf(x)，错以为 f(x0)0是函数 yf(x)在 xx0处有极值的充分条件.回扣问题12函数f(x)x3ax2bxa2在x1 处有极值10，那么f(2)等于()A.11或18B.11C.18D.17 或 18解析函数f(x)x3ax2bxa2在x1 处有极值10，又f(x)3x22axb，f(1)10，且f(1)0，1aba210，即解得32ab0，a3，或b3a4， b11.a3，而当时，函数在x1处无极值，故舍去. b3f(x)x34x211x16，f(2)18.答案Cò13.运用微积分根本定理求定积分 1 f (x)dx 的值的关键是逆用求导公式求出 f(x)的原函数，常记错根本初等0函数的求导公式，无视系数致误.0回扣问题13(1)定积分ò2(2x+ex)dx的值为.(2)直线y4x与曲线yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为.解析(1)ò2(2x+ex)dx(x2ex)|1e.00(2)联立y4x，得 x0 或 x2.yx3，2x4直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为ò2(4x-x3)dx2x4|24.00答案(1)e(2)4三新题好题*保持手感12022·绥德中学高三三模函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是A(-¥,-2)B(-¥,1)C(1,+¥)D(4,+¥)【答案】D【解析】由 x2 -2x - 8 >0 得：x(,2)(4,+)， 令 t= x2 -2x - 8 ，那么y=lnt，x(,2)时,t= x2 - 2x - 8 为减函数；x(4,+)时,t= x2 - 2x - 8 为增函数；y=lnt 为增函数，故函数 f(x)=ln( x2 - 2x - 8 )的单调递增区间是(4,+)，应选D.22022·浙江省温州中学高三三模函数f(x)=x - 2022 - 2022 - 2022x 2022 - x2是A奇函数但不是偶函数B偶函数但不是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数【答案】A20222022【解析】因为2022-x2 >0，所以-<x<，所以x-2022<0，-(x-2022)-2022-2022x2022x所以f(x)=-，所以f(x)为奇函数.2022-x22022-x2应选：A.32022·宜宾市叙州区第一中学校高三三模偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4-x)，且当xÎ(0,4时， f(x)=ln(2x)，关于 x的不等式 f2(x)+af(x)>0在区间-200, 200上有且只有 300个整数解，x那么实数a的取值范围是Aæ-ln2,-1ln6öBæ-ln2,-1ln6ùç3÷ç3úèøèûèøèCæ-1ln6,-3ln2öDæ-1ln6,-3ln2ùç34÷ç34úû【答案】D【解析】因为偶函数 f (x) 满足 f (x + 4) =f (4 -x) ,所以 f (x + 4) =f (4 -x) =f (x - 4) ,所以 f (x) 的周期为8且 f (x) 的图象关于直线 x = 4 对称,由于-200, 200 上含有 50 个周期,且 f (x) 在每个周期内都是轴对称图形, 所以关于 x 的不等式 f 2 (x) +af (x) > 0 在(0, 4上有 3 个整数解,当 x Î (0, 4时, f '(x) =1- ln 2x ,x2由 f '(x) > 0 ,得0 <x <e ,由 f '(x) < 0,得 e <x < 4,22f(x)ee所以函数在(0, ) 上单调递增,在( , 4)上单调递减,22因为 f (1) = ln 2, f (2) >f (3) >f (4) =ln 8 =3 ln 2 > 0 ,44所以当 x =k(k = 1, 2, 3, 4) 时, f (x) > 0 ,所以当a ³ 0 时, f 2 (x) +af (x) > 0 在(0, 4上有 4 个整数解,不符合题意, 所以 a < 0 ,由 f 2 (x) +af (x) > 0 可得 f (x) < 0或 f (x) >-a ,显然 f (x) < 0在(0, 4上无整数解,故而 f (x) >-a 在(0, 4上有 3 个整数解,分别为1, 2, 3,所以 -a ³f (4) =3 ln 2, -a <f (3) =ln 6 , -a <f (1) = ln 2 ,43所以-ln6<a£-3ln2.应选:D 3442022·四川省高三二模函数f(x)=x2-lnx+1的图象大致是xABCD【答案】C【解析】由题意，当 x>0时， f(x)=x2-lnx+1，那么f¢(x)=2x-1-1( x -1)(2 x2 + 2 x +1)=，xxx2x2当 x >1时， f ¢(x)>0，函数 f (x)单调递增；当0 <x <1时， f ¢(x)<0，函数 f (x)单调递减， 根据选项，可知只有 C 项符合题意.应选：C.ìln x, x > 1íï52022·河北省沧州市一中高三三模函数f(x)=ï1x +1, x £ 1î 4，g(x)=ax那么方程 g(x)=f (x)恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是Aæ0,1öBé1,1öCæ0,1ùDæ1 , e öçe÷ê4 e ÷ç4úç4÷èøëøèûèø【答案】B【解析】作出函数 f (x) 的图象,见下列图.假设g(x)与 y=lnx(x>1)相切,求导得 y¢=1,设切点为(x, y),那么y= lnx1,切线斜率为,即切线方程0x0000x为: y-lnx=1(x -x),该切线过原点,那么0-lnx=1(0 -x),解得 x =e,此时 a =1 ,显然 g (x)=1 x0000000xxee与 f (x)的图象只有一个交点,即方程 g (x )=f (x )只有一个实根;假设1 £a <1 ,直线 g (x)与 f (x)的图象在 x £ 1时无交点,在 x > 1时有 2 个交点,符合题意;4e假设0 <a <1 ,直线 g (x)与 f (x)的图象在 x £ 1时有 1 个交点,在 x > 1时有 2 个交点,不符合题意;4假设a £ 0 ,直线 g (x)与 f (x)的图象在 x £ 1时有 1 个交点,在 x > 1时无交点,不符合题意;假设a >1 ,直线 g (x)与 f (x)的图象至多有一个交点,不符合题意.e所以只有 1 £a <1 符合题意.应选:B.4e62022·甘肃省兰州一中高三三模假设x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点，那么f(x)的极小值为A-1B-2e-3C5e-3D1【答案】A【解析】由题可得f¢(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=éëx2+(a+2)x+a-1ùûex-1，因为f¢(-2)=0，所以a=-1，f(x)=(x2-x-1)ex-1，故f¢(x)=(x2+x-2)ex-1，令 f¢(x)>0，解得 x<-2或 x>1，所以 f (x)在(-¥, -2), (1, +¥)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，所以f(x)的极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1，应选A()ïì(x-2)x-ex+3,(x³ln2)72022·武威第六中学高三三模函数f(x)=í，当 x Îm, +¥) 时，f (x)îï3-2x,(x<ln2)的取值范围为(-¥,e+2，那么实数m的取值范围是Aæ-¥, 1-e ùB(-¥,1Cé1-e,1ùDln 2,1ç2úê2úèûëû【答案】C【解析】当x³ln2时，f'(x)=-(x-1)(ex-2)，令 f'(x)>0，那么ln2<x<1； f'(x)<0，那么x>1，函数 f(x)在(ln2,1)单调递增，在(1, +¥)单调递减.函数 f (x)在 x = 1处取得极大值为 f (1)=e + 2， x ³ ln2时， f (x)的取值范围为(-¥, e + 2，ln2 £ m £ 1又当 x <ln2时，令 f (x)= 3 -2x £e + 2 ，那么x ³1-e，即1-e£ x <ln2，221-e £m <ln2 2综上所述， m 的取值范围为 é1-e ,1ù.应选C.ëê2úû25 - 4x 282022·湖南省高三三模函数f(x)=+ ln(ex-1)的定义域为5【答案】(0, 225 - 4x 2【解析】因为函数 f ( x) =+ ln(ex-1)有意义，ì25 - 4x2 ³ 0,ì-5 £x £5 ,ï所以 íex -1 > 0,，解得í22îïîx>0,所以0 <x £5 ，即 f (x) 的定义域为(0, 5 故答案为： (0, 5 .222