【五年经典推荐 全程方略】2022届高三数学 专项精析精炼 2022年考点43 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用.doc

考点43 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、解答题1.（2014·安徽高考文科·21）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点， (1) 若的周长为16，求；(2) 若，求椭圆的离心率.【解题提示】（1）利用椭圆的定义求解；（2）设，用k表示利用余弦定理解得出等腰，从而得到a,c的关系式。【解析】（1）由，得，因为的周长为16，所以由椭圆定义可得，故。（2）设，则k>0,且由椭圆定义可得在中，由余弦定理可得即，化简可得，而a+k>0,故a=3k,于是有，因此,故为等腰直角三角形，从而。2.（2014·安徽高考理科·19）如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点. (1) 证明：；(2)过原点作直线（异于，）与分别交于两点。记与的面积分别为与,求的值.【解题提示】（1）设出两条直线的方程，联立抛物线方程，求出点，的坐标，利用向量证明平行关系；（2）利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解。【解析】（1）设直线的方程分别为，则由，由，同理可得，所以=，=故=，所以。（2） 由（1）知，同理可得，所以，因此,又由（1）中的=知，故3. （2014·四川高考理科·20）已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；当最小时，求点T的坐标.【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】（1）依条件，所以椭圆C的标准方程为（2）设，又设中点为，因为，所以直线的方程为：，所以，于是，所以因为，所以，三点共线，即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），所以，令（），则（当且仅当时取“”），所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或.4.（2014·四川高考文科·20）已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，当四边形是平行四边形时，求四边形的面积【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】（1）依条件，且，所以椭圆C的标准方程为.（2）设点的坐标为（，），则直线的斜率.当时，直线的斜率，直线的方程是.当时，直线的方程是，也符合的形式.设，将直线的方程与椭圆的方程联立，得.消去，得.其判别式>.所以，.因为四边形是平行四边形，所以,即.所以.解得.此时四边形的面积.5. （2014·重庆高考文科·21）如图，设椭圆的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，的面积为 .(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在设圆心在 轴上的圆,使原在轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程.(2)直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方程组求解.【解析】(1)设其中 由得从而 故 从而由得因此所以故因此，所求椭圆的标准方程为（2）如图，设圆心在 轴上的圆 与椭圆相交， 是两个交点， 是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知， 由（1）知所以 再由得由椭圆方程得即解得或当时， 重合，此时题设要求的圆不存在.当时, 过分别与垂直的直线的交点即为圆心 设 由得 而 故 圆的半径综上,存在满足题设条件的圆,其方程为6.（2014·湖北高考理科·21）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(1) 求轨迹为C的方程(2) 设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。【解题指南】（）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（）设出直线l的方程为，和（）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k（x+2）中取y=0得到，然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x00求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围 【解析】（）设点,依题意得，即化简整理得故点的轨迹的方程为。（）在点的轨迹中，记依题意，可设直线的方程为由方程组，可得 （1）当时，此时，把带入轨迹的方程，得故此时直线与轨迹恰好有一个公共点（2）当时，方程的判别式 设直线与轴的交点为，则由，令，得 （）若，由解得，或。即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点。（）若或由解得，或。即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，当时，直线与只有两个公共点，与没有公共点故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点。（）若由解得，或即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点故此时直线与轨迹恰好有三个公共点。综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点。7. (2014·湖北高考文科·T13)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程.(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.【解题指南】(1)设出M点的坐标,直接由题意列等式,整理后即可得到M的轨迹C的方程.(2)设出直线l的方程为y-1=k(x+2),和(1)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程,求出判别式,再在直线y-1=k(x+2)中取y=0得到x0=-,然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0<0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.【解析】(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.()若由解得k<-1,或k>.即当k(-,-1)0时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.()若或由解得k,或-k<0.即当k时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.()若由解得-1<k<-,或0<k<.即当k时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(1)(2)可知,当k(-,-1)0时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.8. （2014·湖南高考理科·21）（本小题满分13分）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为已知且（1）求的方程；（2）过作的不垂直于轴的弦的中点当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值【解题提示】（1）利用离心率公式和的关系解方程组就可解；（2）联立方程组，求得弦长AB，及P,Q到AB的距离，列得面积的函数，再求最小值。【解析】(1)由题意可得,且,因为,且,所以且，解得，所以椭圆方程为,双曲线的方程为.(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,则，因为为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得,因为在直线上,所以,即.则直线的方程为,联立方程组，消去y整理得， 设点, 则点,到直线AB的距离之和为,因为,在直线AB的两侧，且关于原点对称，所以，且,所以，所以四边形的面积为因为，故当时，。综上所述，四边形的面积的最小值为2.9. （2014·上海高考文科·22）在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. 求证：点被直线分隔；若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明轴为曲线E的分隔线.【解题指南】【解析】10.点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. 求证：点被直线分隔；若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.【解题指南】【解析】13