【考前三个月】（江苏专用）2021高考数学 高考必会题型 专题7 解析几何 第28练 直线和圆的位置关系.doc

第28练直线和圆的位置关系题型一直线和圆的位置关系的判断问题例1已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则l与C的位置关系为_破题切入点由于不知道直线l的方程，于是需要求P点与圆C的位置关系答案相交解析将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32024×39123<0，点P(3,0)在圆内过点P的直线l一定与圆C相交题型二弦长问题例2若圆上一点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10相交的弦长为2，则圆的方程是_破题切入点将已知条件转化为直线x2y0过圆心，弦长可通过几何法表示答案(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244解析设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x2y0上，即有a2b0，又(2a)2(3b)2r2，而圆与直线xy10相交的弦长为2，故r222，依据上述方程，解得或所以，所求圆的方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.题型三直线和圆的综合性问题例3如图所示，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切，过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当2时，求直线l的方程；(3)B·B是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由破题切入点(1)由圆A与直线l1相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程(2)注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意利用几何法，以减小计算量(3)分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论解(1)设圆A的半径为R.圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连结AQ，则AQMN.2，|AQ|1.由1，得k.直线l的方程为3x4y60.所求直线l的方程为x2或3x4y60.(3)AQBP，A·B0.B·B(BA)·BB·BA·BB·B.当直线l与x轴垂直时，得P.则B，又B(1,2)，B·BB·B5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得P.B.B·BB·B5.综上所述，B·B是定值，且B·B5.总结提高(1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法：一是将直线和圆的方程联立，利用判别式的符号求解根的个数，即为直线和圆的交点个数；二是将圆心到直线的距离d和半径r相比较，当d>r时相离，dr时相切，d<r时相交(2)求圆的弦长的方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，联立直线与圆的方程消去y后得到方程两根为x1，x2，则弦长d|x1x2|；三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法较为简单1直线(13m)x(32m)y8m120(mR)与圆x2y22x6y10的交点个数为_答案2解析将含参直线方程分离变量可得m(3x2y8)x3y120，不论m取何值，直线恒过两直线的交点A(0,4)，又易知定点A在圆内，故直线必与圆恒相交2(2014·浙江改编)已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值为_答案4解析由圆的方程x2y22x2ya0可得，圆心为(1,1)，半径r.圆心到直线xy20的距离为d.由r2d2()2，得2a24，所以a4.3(2014·北京改编)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得APB90°，则m的最大值为_答案6解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90°，连结OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.4(2014·福建改编)直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“OAB的面积为”的_条件答案充分不必要解析将直线l的方程化为一般式得kxy10，所以圆O：x2y21的圆心到该直线的距离d.又弦长为2，所以SOAB··，解得k±1.因此可知“k1”是“OAB的面积为”的充分不必要条件5直线xy20与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长度为_答案2解析圆心到直线xy20的距离d1，半径r2，弦长|AB|222.6“ab”是“直线yx2与圆(xa)2(xb)22相切”的_条件答案充分不必要解析根据已知得直线与圆相切的充要条件为：|ab2|2ab或ab4，故“ab”是“直线与圆相切”的充分不必要条件7已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m_.答案5或2解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22.如果圆C1与圆C2相外切，那么有C1C2r1r2，即5，则m23m100，解得m5或m2，所以当m5或m2时，圆C1与圆C2相外切8已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长比为12，则圆C的方程为_答案x22解析圆C关于y轴对称，圆C的圆心在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2(yb)2r2.依题意，得解得圆C的方程为x22.9(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_答案解析圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.10(2014·山东)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_答案(x2)2(y1)24解析设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a2b>0，且a2()2b2，解得a2，b1.所以，所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.11已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值解(1)圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，直线方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.所以直线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上所述，过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，()2()24，解得a.12在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y212x320的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在求k的值；如果不存在，请说明理由解方法一(1)圆的方程可写成(x6)2y24，所以圆心为Q(6,0)过P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2，代入圆的方程得x2(kx2)212x320，整理得(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点A，B等价于4(k3)24×36(1k2)42(8k26k)>0，解得<k<0，即k的取值范围为(，0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程得，x1x2.又y1y2k(x1x2)4.而P(0,2)，Q(6,0)，(6，2)所以与共线等价于2(x1x2)6(y1y2)，将代入上式，解得k.由(1)知k(，0)，故不存在符合题意的常数k.方法二(1)Q(6,0)，直线AB的方程：ykx2，Q到AB的距离d<2(圆半径r2)，k(，0)(2)2(C为AB中点)，.而(6，2)，过Q与AB垂直的直线为y(x6)，解得C(，)，即(，)，k(，0)，故不存在符合题意的常数k.- 6 -