【志鸿优化设计】2021届高考数学一轮复习 第六章 数列考点规范练28 数列的概念与表示文.doc
考点规范练28数列的概念与表示一、非标准1.数列0,的一个通项公式为()A.an=(nN+)B.an=(nN+)C.an=(nN+)D.an=(nN+)2.若Sn为数列an的前n项和,且Sn=,则等于()A.B.C.D.303.设数列an满足:a1=2,an+1=1-,记数列an的前n项之积为Tn,则T2015的值为()A.-B.-1C.D.24.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于()A.2n-1B.C.D.5.数列an满足:a1+3a2+5a3+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(nN+),则数列an的通项公式an=. 6.已知数列an的通项公式为an=(n+2),则当an取得最大值时,n=. 7.设an是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0(n=1,2,3,),则它的通项公式an=. 8.设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1,=an+1-n2-n-,nN+.(1)求a2的值;(2)求数列an的通项公式.9.已知函数f(x)=ax2+bx(a0)的导函数f'(x)=-2x+7,数列an的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上,求数列an的通项公式及Sn的最大值.10.(2014湖南长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列an的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN+),则an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.11.已知数列an满足:a1=1,an+1=(nN+).若bn+1=(n-),b1=-,且数列bn是单调递增数列,则实数的取值范围为()A.>2B.>3C.<2D.<312.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图,他们研究过图中的1,5,12,22,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数.若按此规律继续下去,第n个五角形数an=. 13.(2014安徽合肥质检)已知数列an满足:a1=1,2n-1an=an-1(nN,n2).(1)求数列an的通项公式;(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于?14.设数列an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,nN+.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式.#一、非标准1.C解析:将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),nN+;分母为奇数列,可表示为2n-1,nN+,故选C.2.D解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=,=5×(5+1)=30.3.B解析:由a2=,a3=-1,a4=2可知,数列an是周期为3的周期数列,从而T2015=(-1)671×2×=-1.4.B解析:Sn=2an+1,当n2时,Sn-1=2an.an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n2),即(n2).又a2=,an=(n2).当n=1时,a1=1,an=Sn=2an+1=2×.5.3n解析:a1+3a2+5a3+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·+3,把n替换成n-1得,a1+3a2+5a3+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两项相减得an=3n.6.5或6解析:由题意令解得n=5或6.7.解析:(n+1)+an+1·an-n=0,(an+1+an)=0.又an+1+an>0,(n+1)an+1-nan=0,即,··=××,an=.8.解:(1)依题意,2S1=a2-1-,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)由题意2Sn=nan+1-n3-n2-n,所以当n2时,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),两式相减得,2an=nan+1-(n-1)an-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,整理得(n+1)an-nan+1=-n(n+1),即=1.又=1,故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以an=n2.9.解:f(x)=ax2+bx(a0),f'(x)=2ax+b.又f'(x)=-2x+7,a=-1,b=7.f(x)=-x2+7x.点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上,Sn=-n2+7n.当n=1时,a1=S1=6;当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6适合上式,an=-2n+8(nN+).令an=-2n+80得n4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.综上,an=-2n+8(nN+),且当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.10.D解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(nN+),Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减得,2an=3an-1(n2).又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,a1=1.数列an是首项为1,公比为的等比数列.an=.11. C解析:由已知可得+1,+1=2.又+1=20,则+1=2n,bn+1=2n(n-),bn=2n-1(n-1-)(n2).b1=-也适合上式,故bn=2n-1(n-1-)(nN+).由bn+1>bn,得2n(n-)>2n-1(n-1-),即<n+1恒成立.而n+1的最小值为2,故的取值范围为<2.12.n2-n解析:观察图象,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n2时,an=an-1+3n-2,an-an-1=3n-2.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(3n-2)+(3×2-2)+1=n2-n.13.解:(1)an=···a1=··,an=.(2)当n4时,6,an=,当n5时,10,an=.从第5项开始及其以后各项均小于.14.解:(1)当n=1时,T1=2S1-1.T1=S1=a1,a1=2a1-1.a1=1.(2)当n2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式,所以Sn=2an-2n+1(n1).当n2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,两式相减得an=2an-2an-1-2,所以an=2an-1+2(n2).所以an+2=2(an-1+2).因为a1+2=30,所以数列an+2是以3为首项,公比为2的等比数列.所以an+2=3×2n-1.所以an=3×2n-1-2,当n=1时也成立,所以an=3×2n-1-2.
