2022年高考数学 黄金易错点专题汇编 专题11 空间向量.doc

2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题11 空间向量1如图11-1，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90°，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。2如图11-7，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。（1）求证EF平面PAB；（2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。3.如图11-14，已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC、PEF都是正三角形，PFAB。（1）证明：PC平面PAB；（2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；（3）若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求ABC的边长。4如图11-19，在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点（1）证明：ACSB；（2）求二面角N-CM-B的大小。（3）求点B到平面CMN的距离。5在如图的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点 (1)求证：AB平面DEG；(2)求证：BDEG；(3)求二面角CDFE的余弦值6如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD. (1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值7如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60°. (1)求证：AC平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论【错解分析】上述错解中有两个错误：（1）的坐标应用B的坐标减P的坐标，=（0，2，-1）；CD=ED，PE=BE，又F为PB中点，EFPB ，又在RtPBC中，CF=PB，在RtPDB中，DF=PB，CF=DF，EFCD，又ABCD，EFAB，EF平面PAB；（2）由已知PDCD，PDAD，又ADCD，所以建立如图11-8所示的空间直角坐标系，设BC=a，4【错误解答】 因为平面SAC平面ABC，SC平面ABC，C为坐标原点，CB、CS为y轴、z轴建立空间坐标系。【错解分析】坐标系建立错误，实质是对二面垂直的性质不熟悉所致，SC与平面ABC不垂直。【正确解答】 取AC中点O，连续OS、OB，SA=SC，AB=BC，ACSO，ACOB，又平面SAC平面ABC，SOAC，SO平面ABC，SOBO。以OA、OB、OC分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如下图。（3）由（1）、（2）得为平面CMN的一个法向量。点B到平面CMN的距离d= (2)证明：EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE，又AEEB， 6 解：(1)证明：因为DAB60°，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)7 设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则即易错起源1、求异面直线所成的角 例1如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD，垂足为E。（1）求证BDA1C；（2）求二面角A1-BD-C1的大小；（3）求异面直线AD与BC1所成角的大小。【错误解答】第（3）问，由已知AD、DC、DD1两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A（2，0，0）、D（0，0，0）、B（2，2，0）C1（0，2，）（-2，0，0）=（-2，0，）。cos=AD与BC1所成的角为arccos.（2）如图，（3）在平面ABCD中，过A作BFAD，交DA的延长线于F，由AD=2，CD=2，得AC=4，DAE=60°，AE=1，在RtAEB中，AB=2，AE=1，BAE=60°，在RtAFB中AB=2，BAF=60°，BF=，AF=1，DF=2+1=3，B的坐标为（3，0）由利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为（a，0，0），xoz面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解。 易错起源2、求直线与平面所成的角 例2如图在三棱锥PABC中，ABBC，AB=BC=KPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC。（1）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？【错误解答】（1）POOC，POOB，又AB=BC，O为AC的中点，BOOC，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线x、y、z求直线与平面所成角的公式为：sin=,其中a为直线上某线段所确定的一个向量，n为平面的一个法向量，这个公式很容易记错，关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为n应过直线上某个点，如例4中n应过C点，这是错误的，这里n是平面的任意一个法向量，再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。易错起源3、求二面角的大小 例3在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，如图11-12。 （1）证明：AB平面VAD；（2）求二面角A-VD-B的大小。利用空间向量求二面角，先求两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角，二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补，具体是哪一种，一般有两种判断方法：（1）根据图形判断二面角是锐角还是钝角；（2）根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目，还是传统方法（如三垂线定理作出二面角的平面角）简单，或传统方法与空间向量相结合来解。易错起源4、求距离例4如图11-18，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点且BF平面ACE。 （1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。 (3) （0，2，-2）, D到平面ACE的距离d= 立体几何中的距离以点到面的距离最为重要利用空间和量求点到面的距离关键是对公式d=的理解和记忆，其中a为过该点且与平面相交的线段确定的向量，n为平面的任意一个法向量，这个任意给解题带来了很大的方便。当然有些题目用空间向量来解可能没有传统方法简单。 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和BB1的中点，则CM与D1N夹角的正弦值为 （ ） 2. 矩形ABCD的两边AB=3，AD=4，PA平面ABCD，且PA=，则二面角A-BD-P的度数为 （ ）A30° B45° C60° D75°3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OMA是AC和MN的公垂线B垂直于AC，但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD与AC、MN都不垂直4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AB1BC1，则平面DBC1积与平面CBC1所成的角为 （ ）A30° B45° C60° D90°5空间四点A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)的位置关系为()A共线B共面C不共面 D无法确定6.如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若a，b，c则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcC.abc Dabc7设空间四点O，A，B，P满足t，其中0<t<1，则有()A点P在线段AB上B点P在线段AB的延长线上C点P在线段BA的延长线上D点P不一定在直线AB上8已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A. B.C. D.9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a10已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)则以，为边的平行四边形的面积为_11已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；·()0；向量与向量的夹角是60°；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是_12已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A、B、C、D共面13设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定，应满足的条件，使ab与z轴垂直14.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90°，D、E分别为AB、BB的中点 (1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值15、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90°，BC=AC=2，AA1=4，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为ABD、A1B1D的重心。（1）求证：MNBC；（2）若二面角C-AB-D的大小为arctan,求点C1到平面A1B1D的距离；（3）若点C在ABD上的射影正好为M，试判断点C1在A1B1D的射影是否为N？并说明理由。16、四棱锥P=ABCD中，ABCD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。（1）求证BM平面PAD； （2）在PAD内找一点N，使MN平面PBD；（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值。17、在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在底面上的射影在线段AC上，底面ABC是以B为直角的等腰三角形，M为AC的中点，又AB=AA1=a（1）求证：BMAA1；（2）若A1C平面BMC1，求证：三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱。18、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，（1）求证：PA底面ABCD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积；（3）对于向量a=（x1,y1,z1）.b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)定义一种运算：（a×b）·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1试计算（）的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并同此猜想这一运算（）的绝对值的几何意义。19如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC30°，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC4，EA3，FC1. (1)证明：EMBF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值20如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M. (1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值1.答案： B 解析：以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则M（2，0，1）、N（2，2，1）、C（0，2，0）、D1（0，0，2），=（2，-2，2），CM与D1N所成角的正弦值为，选B8解析：a、b、c三向量共面，所以存在实数m、n，使得cmanb.即.答案：D答案：7480，即2.当，满足2时，可使ab与z轴垂直设平面A1B1D的法向量为n3(x,y,z)，则有n3=(1，1，1)，设C1到平面A1B1D的距离为d，则d=（3）答案：设PC与平面PBD所成的角为，=(2，2，-2)，=(-1，-,-)，sin=，直线PC与平面PAD所成角的正弦值为. =(0，0，c)，底面ABC 三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱 (2)由(1)知(，3,3)，(，1,1)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，由n·0，n·0，得令y1，得z2，x，n(，1,2)，由已知EA平面ABC，25