九年级数学上册第一章一元二次方程一元二次方程根的判别式的若干应用新版苏科版.doc

一元二次方程根的判别式的若干应用 一元二次方程根的判别式是初中数学学习的的重点，是重要的基础知识，也是解数学题的重要工具，它能用于判定方程根的情况，证明二次三项式为完全平方式，利用其构造一元二次方程，进行代数恒等式或不等式的证明；与几何知识相联系时，还可以解决判断三角形的形状；解决二次函数相关问题等本文列举几种常见的题型及解法，供读者学习参考 一、不解方程判定方程根的情况 例1 关于x的方程2x2kxk30的根的情况是( ) (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定 解 (k)24×2×（k3）k28k24（k4)28 显然，不论k取何值时总有 （k4)28>0 所以，方程总有两个不相等的实数根，故选A 二、根据方程根的情况求字母系数或代数式的值 例2 判断是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2(2m1)x10有两个实数根，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由解 由题意，得 解得m，且m0 而在此范围内的非负整数不存在，故不存在符合题意的非负整数m 三、根据方程根的情况确定待定系数的取值范围 例3 k为何值时，关于x的一元二次方程x26xk70 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根 分析 由判别式定理的逆定理可知： (1)>0；(2)0；(3)<0 解(6)24·（k7）364k2884k (1)方程有两个不相等的实数根， >0，即84k>0， 解得k<2； (2)方程有两个不相等的实数根， 0，即84k0， 解得k2； (3)方程有两个不相等的实数根， <0，即84k<0， 解得k>2 四、判断二次三项式能否分解因式 例4 已知k为非正数，试判断二次三项式6x24x7k在实数范围内能否分解因式 解 假设二次三项式在实数范围内能分解因式，即 6x24x7k6（xx1）（xx2）， 则方程6x24x7k0有两个实数根， 故有（4）24×6×7k0， 解得k 因为已知的k值在此范围内，所以已知式在实数范围内能分解因式 五、确定二次三项式是完全平方式的条件 例5 已知关于x的二次三项式(m2)x2mx2是一个完全平方式，求m的值 分析 因为关于x的二次三项式(m2)x2mx2是一个完全平方式，所以关于x的方程(m2)x2mx20有两个相等的实数根， b24ac(m)24(m2)×（2）0 解得m4 六、证明方程根的情况 例6 设a、b、c互不相等且abc0，求证：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0，不可能都有两个相等的实数根 证明 假设这三个方程都有两个相等的实数根，则 14b24ac0， 24c24ab0， 34a24bc0 将这三式左右两边分别相加整理，得 a2b2c2abacbc0 再两边同乘以2后配方，得 (ab)2(bc)2(ca)20 abc 这与题设a、b、c互不相等矛盾，故假设不成立，即命题成立 七、判定三角形的形状 例7 设a、b、c是ABC的三边长，且关于x的方程c（x2n）b（x2n）2ax0(n>0)有两个相等的实数根，试判断ABC的形状 解 将原方程整理，得 (cb)x22xcnbn0 (2a)24×(cb)(cnbn)4n（a2b2c2）0 n>0 a2b2c20 即a2b2c2 故ABC是直角三角形 八、讨论方程有理根的问题 例8m为有理数，讨论后为何值时，方程x24(1m)x3m22m4k0的根总为有理数 解 4(1m)24(3m22m4k)4（m26m4k4） 要使原方程的根总为有理数，必须为完全平方式，即需代数式ym26m4k4为完全平方式，此时y的判别式10， 即1(6)24(4k4)0， 解得k故当k时，原方程的根总为有理数3