2022年高中数学公式总结(文).docx

精选word文档 下载可编辑高中数学公式总结(文)高中数学常用公式及结论考前过目（文）元素与集合的关系xAxCUA,xCUAxA.包含关系ABAABBABCUBCUA3集合a1,a2,an的子集共有2个；真子集有21个；非空子集有21个.二次函数解析式的三种形式(1)一般式f(x)2axnnnbx(;(2)c0a)顶点式f(x)a(x2h);(3)f(x)a(xx1)(xx2)(a0).k(a0零点式)二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在xb处及区间的两端点处取得。2a定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是.f(x,t)man0(xL)真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假常见结论的否定形式原结论反设词是不是都是不都是大于不大于小于不小于对所有x，成立存在某x，不成立对任何x，不成立四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆（互为逆否的两命题真值相同）否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非10.充要条件（1）充分条件若pq，则p是q充分条件.（2）必要条件若qp，则p是q必要条件.注如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.1函数的单调性函数yf(x)在某区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.12奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;1若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).1对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x存在某x，成立原结论至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个p或q反设词一个也没有至少有两个至多有（n1）个至少有（n1）个p且qp且qp或qab;2第1页1若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若f(x)f(xa),则函数a2yf(x)为周期为2a的周期函数.16多项式函数P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.1函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).1(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(3)函数yf(x)和其反函数yf1(x)的图象关于直线y=x对称.1若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象.20.（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(xa)则f(x)的周期T=2a；11或f(xa)(f(x)0)，(f()x0)f(x)f(x),am2指数式与对数式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).23对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)MlogmNlogalogaMlogaN;(3)logaMnnlogaM(nR).（4）logaNNlogma24等差数列与等比数列公式及性质等差数列等比数列公式定义an1and（定义式）通项公式前n项和公式2分数指数幂(1)amn1n（a0,m,nN，且n1）.anqan1作用这是证明一个数列是等差数列或等比数列的“唯一”方法（呵呵，我怎么敢这么说）！ana1(n1)d（d=0为常数列，d0为“n”的一次函数）ana1qn1(aan)nn(n1)dsn1na122（关于“n”的二次式，常数项为0）a1(1qn)sn,(q1)1q（“q”的系数与常数项互为相反数）n性质2ana1a2n1a2a2n2（等差中项）ana1a2n1a2a2n2m,n,p,qN*amanapaqmnpq“中项”是灵活的核心！2m,n,p,qN*amanapaqmnpqs2n1(2n1)ansn,s2nsn,s3ns2n成等差数列25几个求通项公式的方法、几个求和方法已知“sn”求“an”的方法a1s1单独求，n2时ansnsn1，然后再来个“综上”。（注式子；ansnsn1其实常用来实现“sn”与“an”的互相转化，即留下“an”把“sn”消掉或反之）第2页已知“anan1f(n)”求“an”累加a1a1,a2a1f(1),a3a2f(2),，anan1f(n)；已知“anan1f(n)”求“an”叠乘；已知“anAan1B”求“an”构造等比数列anx；（其中x由假设anxA(an1x)与原式比较得到，可推出xB！）A1裂项相消求前n项和用于数列1，其中涉及的数列an是公差为d的的求和（这两年考试k=1）aann1等差数列；方法1111()。anan1danan1错位相减求前n项和用于数列anbn的求和，其中涉及的数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列；方法sa1b1a2b2a3b3anbn与（上式两边同乘以q得）qsa1b2a2b3an1bnanbn1两式相减（注意错位对齐）。26三角公式诱导公式sinsinsin(k)cos2cos“奇变偶不变，符号看向限”辅助角公式例sinx3cosx2sin(xsinxcosxsin()sincoscossincos()coscoscoscos二倍角公式sin22sincoscos2cos2sin2tantantan()1tantan12sin22cos12“降幂”公式（就是二倍角公式逆用）3)sin2x)427三角函数yAsin(x),A0,0的性质定义域R；值域奇偶性2sin(x1(1cos2x)21cos2x(1cos2x)2A,A的整数倍2一般没有，除非是周期性由2kT=2增区间减区间23x2k由2k22由sin(x)2x2k解得解得对称轴1解得0解得第3页对称中心由sin(x)2函数ytan(x)，(0)的周期T2正弦定理.abc1112R.面积定理SabsinCbcsinAcasinBsinAsinBsinC22222222222230.余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB;cab2abcosC.3在ABC中，有ABCC(AB)3平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底33向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则a/bb=ax1y2x2y10.3a与b的数量积(或内积)ab=|a|b|cos=x1x2y1y23b在a的方向上的投影|b|cos3设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).223平面两点间的距离公式dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)；3向量的垂直:ab(a0)ab=0x1x2y1y20.3O为ABC的重心OAOBOC0.2240.常用不等式（1）a,bRab2ab(当且仅当ab时取“=”号)abab(当且仅当ab时取“=”号)（2）a,bR2yy14斜率公式k2，（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2x14直线的五种方程（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).(4)截距式4两条直线的平行和垂直(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2则l1|l2k1k2,b1b2;l1l2k1k2(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,A1B1C1；l1l2A1A2B1B20；A2B2C2|Ax0By0C|4点到直线的距离d(点P(x0,y0),直线lAxByC0).22AB22222224圆的标准方程(xa)(yb)r.一般方程xyDxEyF0(DE4F0).则l1|l2x2y2n4双曲线221的渐近线方程yx.mmnykxb224直线与圆锥曲线相交，由方程，弦长公式AB(1k)(x1x2)4x1x2F(x,y)0a/ba,b/48立体几何常用定理:线面平行ba/；面面平行:abO/；线a/；aaa/,b/a,baa线垂直:；线面垂直:；面面垂直ababOlabla,lb；第4页4球的半径是R，则其体积V4R3,其表面积S4R2350.(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为51V柱体66a,外接球的半径为a.12411Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.33m5等可能性事件的概率P(A).n2225方差Dx1Ep1x2Ep2xnEpn；标准差=D.f(x0x)f(x0)ylim.xx0x0xx0xyf(xx)f(x)lim5f(x)在xa的导数f(a)lim.x0xx0x5函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).5f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）f(x0)ylim5几种常见函数的导数(1)C0（C为常数）.(2)(xn)"nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.(5)(lnx)11exxxxx；(loga)loga.(6)(e)e;(a)alna.xx""""""5导数的运算法则u"u"vuv"(v0).（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()vv25判别f(x0)是极大（小）值的方法（1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值.60.复数的相等abicdiac,bd.（a,b,c,dR）6复数zabi的模（或绝对值）|z|=|abi|=a2b62总体个体样本样本容量；抽样方法:简单随机抽样分层抽样(用于个体有明显差异时，“按比例抽取”)系统抽样；共同点每个个体被抽到的概率都相等。63线性规划画图；找到表达式（几何意义截距或斜率或距离？）取得最值的点。64程序框图前三圈后三圈亲自转一转。出门装备回2戒指、树枝（1）、远古祭祀（2）。早期1装备回复头巾、虚无宝石（优先）、艺人面罩、法师长袍、树枝（1）、鞋；早期2装备梅肯（优先）、空明杖、虚无宝石、鞋；中期1装备梅肯、振魂石、空明杖、虚无宝石、鞋；中期2装备梅肯、A杖、空明杖、虚无宝石、鞋；中期3装备跳刀、A杖、梅肯、空明杖、鞋、虚无宝石；后期1装备跳刀、A杖、梅肯、坚韧球、鞋、空明杖；后斯2装备跳刀、A杖、梅肯、刷新球、鞋；后期3装备跳刀、A杖、梅肯、飞鞋、不死盾（优先）。第5页扩展阅读高中数学公式汇总高中数学公式结论,.集合个.的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;(2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式(3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式4切线式设为此式解连不等式。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，常有以下转化形式.方程在内有且只有一个实根,等价于或。闭区间上的二次函数的最值二次函数具体如下在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，(1)当a>0时，若，则；，.(2)当a(3)在给定区间。的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是(4)在给定区间。的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是对于参数及函数若若函数1真值表真真假假1常见结论的否定形式原结论是都是大于小于对所有，成立对任何，不成立反设词不是不都是不大于不小于真假真假非假假真真或真真真假有解，则.若；若恒成立，则有解，则；若；若恒成立，则有解，则；.无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论且真假假假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个或且至少有且或个存在某，不成立存在某，成立1四种命题的相互关系(右图):1充要条件记表示条件，表示结论1充分条件若，则是充分条件.2必要条件若，则是必要条件.3充要条件若，且，则是充要条件.注如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.1函数的单调性的等价关系(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数函数.1如果函数和在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和和和是减函数.都是增函数,则在公共定义域内,和函数在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数也是增函数;如果函数是增函数；如果函数是增函数；如果函数在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数17奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数1常见函数的图像1对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;两个函数与的图象关于直线对称.20.若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.21多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.2函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称.(2)函数的图象关于直线对称.2两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数与函数的图象关于直线对称.(3)函数和的图象关于直线y=x对称.2若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象.的图象右移、上移个单位，得到曲线2几个常见的函数方程(1)正比例函数.(2)指数函数.(3)对数函数.(4)幂函数.(5)余弦函数,正弦函数，.2几个函数方程的周期(约定a>0)1，则的周期T=a；2，或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)2分数指数幂且，则的周期T=4a；(1)，且.(2)2根式的性质1.，且.2当为奇数时，；当为偶数时，29有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).p注若a0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.30.指数式与对数式的互化式:.3对数的换底公式:(,且,且,).对数恒等式(,且,).推论(,且,).32对数的四则运算法则:若a0，a1，M0，N0，则(1);(2);(3);(4)。3设函数的值域为,则，且。,记.若的定义域为,则且;若3对数换底不等式及其推广设，且，则3平均增长率的问题负增长时如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.3数列的通项公式与前n项的和的关系).(数列的前n项的和为3等差数列的通项公式；其前n项和公式为.3等比数列的通项公式；其前n项的和公式为3等比差数列:或的通项公式为.；其前n项和公式为.40.分期付款(按揭贷款)每次还款41常见三角不等式元(贷款元,次还清,每期利率为).1若，则.(2)若，则.(3).4同角三角函数的基本关系式，=，.4正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变，符号看象限，4和角与差角公式;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点的象限决定,).4二倍角公式及降幂公式.4三角函数的周期公式函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0)的周期；函数，三角函数的图像(A,为常数，且A0)的周期.五点法作图列表0/23/224正弦定理R为外接圆的半径.4余弦定理;5面积定理;.1分别表示a、b、c边上的高.4三角形内角和定理在ABC中，有.50.简单的三角方程的通解.特别地,有.5最简单的三角不等式及其解集.5实数与向量的积的运算律:设、为实数，那么(1)结合律()=();(2)第一分配律(+)=+;(3)第二分配律(+)=5向量的数量积的运算律(1)=交换律;+.(2)=;(3)+=+.5平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得=1+2不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底三点A、B、C共线的充要条件55向量平行的坐标表示设=,=，且，则(M为任意点).5与的数量积(或内积)=|。5的几何意义数量积等于的长度|与在的方向上的投影|的乘积向量在向量上的投影|5平面向量的坐标运算(1)设=,=，则+=.(2)设=,=，则-=.(3)设A，B,则.(4)设=，则=.(5)设=,=，则=.5两向量的夹角公式(=,=).60.平面两点间的距离公式=(A，B).6向量的平行与垂直设=,=，且，则|=.()=0.6线段的定比分公式设，是线段的分点,是实数，且，则6三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为、.,则ABC的重心的坐标是.6点的平移公式.注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形6“按向量平移”的几个结论1点按向量=平移后得到点上的对应点为，且的坐标为.(2)函数的图象按向量=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3)图象按向量=.平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为(4)曲线:按向量=平移后得到图象,则的方程为.(5)向量=按向量=平移后得到的向量仍然为=.6三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则1为的外心.2为的重心.3为的垂心.4为的内心.5为的的旁心.6常用不等式1(当且仅当ab时取“=”号)2(当且仅当ab时取“=”号)3466最值定理:已知(当且仅当ab时取“=”号)。都是正数，则有1若积是定值，则当时和有最小值；2若和是定值，则当时积有最大值.3已知，若则有。4已知，若则有6一元二次不等式在两根之外；如果与，如果与同号，则其解集异号，则其解集在两根之间.简言之同号两根之外，异号两根之间.；.70.含有绝对值的不等式当a>0时，有.或7无理不等式.37指数不等式与对数不等式(1)当时,.;(2)当时,.;7斜率公式、7直线的五种方程1点斜式.(直线过点，且斜率为)2斜截式(b为直线在y轴上的截距).3两点式()(、().两点式的推广无任何限制条件！(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，)5一般式(其中A、B不同时为0).直线的法向量，方向向量7两条直线的平行和垂直(1)若，;.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不为零,；,，此时直线76四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交(1)定点直线系方程经过定点的系数;经过定点的直线系方程为,其中(除直线),其中是待定的直线系方程为是待定的系数(2)共点直线系方程经过两直线,(除)，其中是待定的系数的交点的直线系方程为(3)平行直线系方程直线平行的直线系方程是中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线()，是参变量(4)垂直直线系方程与直线变量(5)直线系与线段(A0，B0)垂直的直线系方程是,是参相交。7点到直线的距离(点,直线).7或所表示的平面区域设直线，则或所表示的平面区域是若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左。7或所表示的平面区域或所表示的平面区域是两直线和所成的对顶角区域上下或左右两部分。80.圆的四种方程1圆的标准方程.2圆的一般方程(0).3圆的参数方程.4圆的直径式方程8圆系方程(1)过点,的圆系方程是(圆的直径的端点是、).,其中系数是直线的方程,是待定的(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,是待定的系数(3)过圆:与圆:的交点的圆系方程是,是待定的系数特别地，当时，就是表示当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；向两圆所引切线长相等的点的轨迹直线方程8点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若8直线与圆的位置关系，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.直线与圆的位置关系有三种():;.8两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，;.8圆的切线方程及切线长公式(1)已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。过圆外一点的切线方程可设为漏掉平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要(2)已知圆过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆的切线方程为.(3)过圆外一点的切线长为8椭圆的离心率，过焦点且垂直于长轴的弦长为.8椭圆，；。88椭圆的的内外部1点在椭圆的内部.2点在椭圆的外部.8椭圆的切线方程(1)椭圆上一点处的切线方程是.2过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.3椭圆与直线相切的条件是.90.双曲线的离心率，过焦点且垂直于实轴的弦长为，。9双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.9双曲线的方程与渐近线方程的关系(1若双曲线方程为渐近线方程.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为，焦点在x轴上，焦点在y轴上.(4)焦点到渐近线的距离总是。9双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.2过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.3双曲线与直线相切的条件是.9抛物线的焦半径公式抛物线，.(其中为x轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到FC的角)过焦点弦长.(其中为倾斜角)9抛物线上的动点可设为P或P，其中.9二次函数的图象是抛物线1顶点坐标为；2焦点的坐标为；3准线方程是.9以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。9抛物线的切线方程(1)抛物线上一点处的切线方程是.2过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.3抛物线9两个常见的曲线系方程(1)过曲线,与直线相切的条件是.的交点的曲线系方程是(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆;当时,表示双曲线.100.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或弦端点A角，为直线的斜率，由方程消去y得到.，,为直线的倾斜10圆锥曲线的两类对称问题1曲线关于点成中心对称的曲线是.2曲线关于直线成轴对称的曲线是.特别地，曲线关于原点成中心对称的曲线是.曲线关于直线轴对称的曲线是.曲线关于直线轴对称的曲线是.曲线关于直线轴对称的曲线是.曲线关于直线轴对称的曲线是.10动点M到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数，若的轨迹为抛物线；若，M的轨迹为双曲线。，M的轨迹为椭圆；若，M103证明直线与直线的平行的思考途径1转化为判定共面二直线无交点；2转化为二直线同与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5转化为面面平行.104证明直线与平面的平行的思考途径1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行.105证明平面与平面平行的思考途径1转化为判定二平面无公共点；2转化为线面平行；3转化为线面垂直.106证明直线与直线的垂直的思考途径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3转化为线与另一线的射影垂直；4转化为线与形成射影的斜线垂直.107证明直线与平面垂直的思考途径1转化为该直线与平面内任一直线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3转化为该直线与平面的一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行平面。108证明平面与平面的垂直的思考途径1转化为判断二面角是直二面角；2转化为线面垂直；(3)转化为两平面的法向量平行。10空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律=(2)加法结合律()=()(3)数乘分配律()=110.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.11共线向量定理对空间任意两个向量、()，存在实数使=三点共线.、11共面向量定理向量共线且不共线且不共线.与两个不共线的向量、共面的存在实数对,使推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使.11对空间任一点对于空间任一点若和不共线的三点A、B、C，满足，总有P、A、B、C四点共面；当时，若，则当时，平面ABC，则P、A、B、C四点共面；平面ABC，则P、A、B、C四点不共面四点共面与、共面平面ABC.11空间向量基本定理如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.11射影公式已知向量则=和轴，是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，11向量的直角坐标运算设，则(1)；(2)；(3)(R)；(4)；11设A，B，则=118空间的线线平行或垂直设，则.；.11夹角公式设，则.推论，此即三维柯西不等式.120.正棱锥的侧面与底面所成的角为，则。特别地，对于正四面体每两个面所成的角为，有。121异面直线所成角=其中12直线为异面直线与平面所成角所成角，分别表示异面直线的方向向量(为平面的法向量).12二面角的平面角根据具体图形确定是锐角或是钝角或124折叠角定理，为平面，的法向量.设AC是内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BDAD，垂足为D，设AB与(AD)所成的角为，AD与AC所成的角为12空间两点间的距离公式，AB与AC所成的角为则.若A12点，B到直线距离，则=.(点12异面直线间的距离在直线上，为直线的方向向量，=).(12点是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).到平面的距离为平面的法向量，12异面直线上两点距离公式.，是的一条斜线段.(两条异面直线a、b所成的角为，其公垂线段,).的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，130.三个向量和的平方公式131作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.132棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比13球的半径是R，则其体积,其表面积13球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方