【走向高考】2021届高三数学一轮基础巩固 第6章 第4节 数列的应用（含解析）新人教B版.doc

【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第6章 第4节 数列的应用 新人教B版一、选择题1在等差数列an中，若a1，a2015为方程x210x160的两根，则a2a1008a2014()A10 B15C20D40答案B解析由题意知，a1a2015a2a20142a100810，所以a2a1008a20143a100815，故选B.2某同学在电脑中打出如下若干个圈：若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中的的个数是()A60B61C62D63答案C解析第一次出现在第1个位置；第二次出现在第(12)个位置；第三次出现在第(123)个位置；第n次出现在第(123n)个位置123n，当n62时，1953,2014195361<63，在前2014个圈中的的个数是62.点评图表问题是数列应用中重要的一种题型(1)解答表格中的数列问题，关键理清表格的行与列中数列的构成或排列形式特点，然后找到其按行(列)变化的规律，用相应的数列知识求解在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则abc的值为()120.51abCA.1B2C3D答案D解析按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，把表填好后得a，b，c，则abc.选D.在下面的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么xyz的值为()cos02sintanxyzA.1B2C3D4答案A解析注意到cos01，sin，tan1，根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表如下，所以xyz1，选A.1231(2)给出图形的数列问题，解答时，先观察图形的构成规律，再用不完全归纳法，结合数列知识解答黑白两种颜色的正六边形的面砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖_块答案4n2分析观察各图案中白色地面砖的变化规律可以发现，后一个图案总比前一个图案多4块白色地面砖解析设第n个图案中白色地面砖有an块，则a16，a210，a314，易知anan14(n2)，an是首项为6，公差为4的等差数列，an64(n1)4n2.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类如下图中的实心点个数1,5,12,22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a11，第2个五角形数记作a25，第3个五角形数记作a312，第4个五角形数记作a422，若按此规律继续下去，则a5_，若an145，则n_.答案3510解析a2a14，a3a27，a4a310，观察图形可得，数列anan1(n2，nN*)构成首项为4，公差为3的等差数列，所以a5a413，所以a535，anan13n2(n2，nN*)，应用累加法得ana14710(3n2)，所以an1(n2，nN*)，当an145时，1145，解得n10.3在ABC中，是角A、B、C成等差数列的()A充分非必要条件B充要条件C必要非充分条件D既不充分也不必要条件答案A解析2sinAsinCsin2A2cosAcosCcos2A2cos(AC)10cosBBAC2BA、B、C成等差数列但当A、B、C成等差数列时，不一定成立，如A、B、C.故是充分非必要条件故选A.4(文)设正项等比数列an的前n项之积为Tn，且T1032，则的最小值为()A2BC2D答案B解析由条件知，T10a1a2a10(a5a6)532，an>0，a5a62，·a5a6·()(a5a6)×2，等号在a5a6时成立(理)已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()AabAGBabAGCabAGD不能确定答案C解析由条件知，ab2A，abG2，AG>0，AGG2，即AGab，故选C.点评在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用5(2014·上海徐汇、金山、松江二模)函数y图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是()A.BC.D答案B解析因为y(x2)2y21(y0)，故函数的图象是以(2,0)为圆心，1为半径的半圆由圆的几何性质可知圆上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故q23，即q，而<，选B.6(2013·天津和平区质检)已知数列an中的前n项和Snn(n9)，第k项满足7ak10，则k等于()A7B8C9D10答案C解析当k2时，aksksk1k29k(k1)29(k1)2k10，由7<ak<10，得7<2k10<10，<k<10，k9.二、填空题7(2014·河南适应性考试)已知对于任意的自然数n，抛物线y(n2n)x2(2n1)x1与x轴相交于An，Bn两点，则|A1B1|A2B2|A2014B2014|_.答案解析令(n2n)x2(2n1)x10，则x1x2，x1x2，由题意得|AnBn|x2x1|，所以|AnBn|，因此|A1B1|A2B2|A2014B2014|(1)()()1.8已知双曲线an1y2anx2an1an(n2，nN*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是yx，其中数列an是以4为首项的正项数列，则数列an的通项公式是_答案an2n1解析双曲线方程为1，焦点在y轴上，又渐近线方程为yx，又a14，an4×2n12n1.9(文)已知等差数列an中，a35，a611，将此等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10则此数阵中第2014行从左到右的第3个数是_答案4054187解析设an的公差为d，则a6a33d6，d2，a11，an2n1，第2014行前共有12320132027091个数，第2014行从左向右第3个数为a20270942×202709414054187.(理)正整数按下列方法分组：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：03,13，13,23，23,33，33,43，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则AnBn_.答案2n3解析由题意知，前n组共有135(2n1)n2个数，所以第n1组的最后一个数为(n1)2，第n组的第一个数为(n1)21，第n组共有2n1个数，所以根据等差数列的前n项和公式可得An(2n1)(n1)2n(2n1)，而Bnn3(n1)3，所以AnBn2n3.三、解答题10(文)(2013·洛阳统考)已知数列an中，a12，其前n项和Sn满足Sn1Sn2n1(nN*)(1)求数列an的通项公式an以及前n项和Sn；(2)令bn2log2an1，求数列的前n项和Tn.解析(1)由Sn1Sn2n1得an12n1，即an2n(n2)又a12，所以an2n(nN*)从而Sn2222n2n12.(2)因为bn2log2an12log22n12n1，所以()于是Tn()()()().(理)(2013·池州一模)已知数列an满足a11，an12(1)2an.(1)设bn，求证：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设cnan12an，求数列cn的前n项和Sn.解析(1)证明：an12·an，2·，bn12bn，数列bn是公比为2的等比数列(2)由(1)知bn是公比为2的等比数列，又b1a11，bnb1·2n12n1，2n1，ann2·2n1.(3)cn(n1)2·2n2n2·2n1(2n1)·2n，Sn3×25×227×23(2n1)·2n.2Sn3×225×23(2n1)·2n(2n1)·2n1.得，Sn3×22×222×232×2n(2n1)×2n12(2n1)·2n12(2n1)·2n1，Sn(2n1)·2n12.点评数列求和的方法(1)公式求和法(2013·浙江高考)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|a2|a3|an|.解析(1)由题意得a1·5a3(2a22)2，a110，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN或an4n6，nN.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d1，ann11.则当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|(2014·陕西长安一中、新高一中联考)已知数列an中，an4n5，等比数列bn的公比q满足qanan1(n2)，且b1a2，则|b1|b2|bn|()A14nB4n1C.D答案B解析因为qanan14，b1a23，所以bnb1qn13·(4)n1，所以|bn|3·(4)n1|3·4n1，即|bn|是公比为4的等比数列，所以|b1|b2|bn|4n1，故选B.(2)分组求和法数列(1)n1n的前2 015项的和S2 015为()A2 015B1 008C2 014D1 008答案D解析S2 01512342 0142 015(12)(34)(2 0132 014)2 0151 0072 0151 008.(2014·包头模拟)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项和Sn.分析第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解解析(1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.(3)裂项相消法(2014·三门峡模拟)已知数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则项数n为()A11B99C120D121答案C解析an，Sna1a2an(1)()()1.令110，得n120.等差数列an的各项均为正数，a13，前n项和为Sn，bn为等比数列，b11，且b2S264，b3S3960.(1)求an与bn；(2)求.分析(1)根据数列中基本量的运算求an与bn的表达式；(2)求的表达式，利用裂项相消法求和解析(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an3(n1)d，bnqn1，依题意有，解得，或(舍去)故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)Sn35(2n1)n(n2)，.(4)倒序相加法设f(x)，若Sf()f()f()，则S_.答案1006解析f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.Sf()f()f()，Sf()f()f()，得，2Sf()f()f()f()f()f()2012，S1006.(5)错位相减法已知数列an的前n项和为Sn且ann·3n，则Sn_.答案解析Sn32·323·33n·3n3Sn322·333·34(n1)·3nn·3n1.，得2Sn332333nn·3n1n·3n1，Sn.一般地，an是等差数列，bn是等比数列(公差d0，公比q1)，cnanbn，求数列cn前n项的和用“乘公比、错位相减法”第一步，将数列cn写成cnan·bn，其中an为等差数列，bn为等比数列，公比为q.第二步，写出Sna1b1a2b2anbn.第三步，乘公比q得，qSna1b2a2b3anbn1.第四步，错位相减，用等比数列求和公式求和得(q1)Sn.第五步，等式两边同除以q1得Sn.第六步，检查解题过程，看求和公式是否用错，符号是否正确，化简有无错误(2014·湖南安化综合训练)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn，an,1成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若a2bn，设cn，求数列cn的前n项和Tn.解析(1)由题意，知2anSn1，an>0.当n1时，2a1a11，a11；当n2时，Sn2an1，Sn12an11，两式相减，得an2an2an1(n2)，整理得2(n2)数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，则an1×2n12n1.(2)由(1)及题意知a2bn22n2，bn22n，cn，Tn，Tn，得Tn4()4×2(1)2，Tn4.(6)特殊数列求和如果f(ab)f(a)·f(b)(a，bR)且f(1)2，则等于()A2011B2012C2013D2014答案D解析令an，b1，f(n1)f(n)·f(1)，f(1)2，2×10072014.已知数列an的通项公式为anlog2(nN)，设其前n项和为Sn，则使Sn<5成立的自然数n()A有最大值63B有最小值63C有最大值32D有最小值32答案B解析Sna1a2a3anlog2log2log2log2log2log2<5，<，64<n2，n>62，nmin63.一、选择题11(2014·河北衡水一模)已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A.BC.D不存在答案A解析由已知an>0，a7a62a5，设an的公比为q，则a6qa6，q2q20，q>0，q2，4a1，a·qmn216a，mn24，mn6，(mn)，等号在，即n2m4时成立12(2014·吉林长春第二中学统练)已知an为等差数列，若a1a5a98，则cos(a3a7)的值为()A.BC.D答案D解析数列an为等差数列，a1a5a93a58，a5，a3a72a5，cos(a3a7)coscoscos.13已知函数f(x)x2bx的图象在点A(1，f(1)处的切线l与直线3xy20平行，若数列的前n项和为Sn，则S2016的值为()A.BC.D答案D解析由于f (x)2xb，据题意则有f (1)2b3，故b1，即f(x)x2x，从而，其前n项和Sn(1)()()1，故S2016.14(文)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A8B9C10 D11答案D解析由程序框图可知，S12222k2k11，由S<2014得，2k1<2015，k9.1222291023，S的值加上29后，变为S1023<2014，此时k的值增加1变为k10，再执行一次循环体后，S10232102047，k10111，此时不满足S<2014，输出k的值11后结束点评这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S2014，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序(理)(2014·湖北十大名校联考)已知an()n，把数列an的各项排列成如下的三角形形状，a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)()A()93B()92C()94D()112答案A解析前9行一共有1351781个数，而A(10,12)表示第10行的第12个数，n93，即A(10,12)a93()93.15两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是2，且a<b，则双曲线1的离心率e等于()A.BC.D答案D解析ab7，a·b12，b>a>0，a3，b4.e.二、填空题16(2014·安徽安庆二模)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标依次对应数列an(nN*)的前12项(如下表所示)，按如此规律下去，则a2011a2012a2013_.答案1007解析由a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84可知，这个数列的规律是奇数项为1，1,2，2,3，3，偶数项为1,2,3，故a2011a20135035041，a20121006，故a2011a2012a20131007.三、解答题17(2013·湖北)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由解析(1)设数列an的公比为q，则a10，q0，由条件易知q1.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3×(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2013，则1(2)n2013，即(2)n2012.当n为偶数时，(2)n>0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2012，即2n2012，则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k518(文)(2014·成都七中模拟)设函数f(x)(x>0)，数列an满足a11，anf()，nN*，且n2.(1)求数列an的通项公式；(2)对nN*，设Sn，若Sn恒成立，求实数t的取值范围解析(1)由anf()可得，anan1，nN*，n2.所以an是等差数列又因为a11，所以an1(n1)×，nN*.(2)Sn，nN*.因为an，所以an1，所以()所以Sn()，nN*.Snt(nN*)恒成立令g(n)(nN*)，g(n)2n36(nN*)令p2n3，则p5，pN*.g(n)p6(nN*)，易知p5时，g(n)min.所以t，即t的取值范围是(，(理)(2014·四川资阳模拟)已知数列an的前n项和Sn满足：Snann3.(1)求证：数列an1是等比数列；(2)令cnlog3(a11)log3(a21)log3(an1)，对任意nN*，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解析(1)当n1时，S1a1a12，解得a14.当n2时，由Snann3得Sn1an1n4，两式相减，得SnSn1anan11，即an3an12，则an13(an11)，故数列an1是以a113为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)知an13n，cnlog3(a11)log3(a21)log3(an1)12n，所以2()，则2(1)()()2(1)，由对任意nN*都成立，得2(1)，即m6(1)对任意nN*都成立，当n1时，6(1)取最小值3，m3.又mN*，所以m的值为1,2,3.- 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