2022年人教版九年级数学下册第二十七章-相似重点解析试题(无超纲).docx

人教版九年级数学下册第二十七章-相似重点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，P是直角ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与ABC相似，这样的直线可以作（）A4条B3条C2条D1条2、已知，且相似比为1：2，则和的周长比为（ ）A1：4BC2：1D1：23、如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF交于点H下列结论：CF2AE；DFPBPH；DP2PHPC；PE：BC（23）：3正确的有（）A1个B2个C3个D4个4、如图在ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得到DEF，则下列说法正确的个数是（）ABC与DEF是位似图形；ABC与DEF是相似图形；ABC与DEF的周长比为1：2；ABC与DEF的面积比为4：1A1个B2个C3个D4个5、若，相似比为，则与的对应角平分线的比为（ ）A1：2B1：4C1：3D1：96、若，则为（ ）A1：2B2：1C2：3D1：37、在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C的坐标为（）A（，1）B（2，4）C（，1）或（，1）D（2，4）或（2，4）8、如图，以点O为位似中心，将DEF放大后得到ABC，已知OD=1，OA=3若DEF的面积为S，则ABC的面积为（ ）A2SB3SC4SD9S9、如图，在Rt中，在Rt中，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（ ）A4B6CD10、如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段AB为其倒立的像如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像AB的高度为5cm，线段OA的长为4cm，那么线段OA的长为（）A4cmB5cmC8cmD10cm第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知O是坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得AOB和OAD相似（不包括全等），则点D的坐标为_2、如图，在ABC中，AB5，AC4，点D在边AB上，若ACDB，则AD的长为_3、若，则_4、如果两个相似三角形对应高的比为6，那么这两个三角形的相似比是_5、如图，某同学利用标杆BE测量教学楼的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB1.2m，BC12.8m，则教学楼CD的高度是 _m三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，ABC内接于O，BAC的平分线AD交O于点D，交BC于点E，过点D作DFBC，交AB的延长线于点F（1）求证：BDEADB；（2）试判断直线DF与O的位置关系，并说明理由；（3）如图2，条件不变，若BC恰好是O的直径，且AB6，AC8，求DF的长2、如图，在中，于点E，交于点F，且（1）求证：；（2）求与的面积比3、在三角形ABC中，ACAB，CAB，点D是平面内不与B，C重合的任意一点，连接CD，将线段绕点逆时针旋转得到线段CE，连接AD，BE，DE（1）如图1，当60°时， ，并求出直线BE与直线AD所夹的劣角是多少度？（2）如图2，当90°时，若点P，Q分别是AC，AB的中点，点D在直线PQ上，求点A，D，E在同一直线上时的值4、已知：如图，ABC为锐角三角形（1）求作菱形AEDF，使得A为菱形的一个内角，点D，E，F分别边BC，AB，AC上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB=AC=10，BC=8求菱形AEDF的面积5、如图，过矩形ABCD（ADAB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE（1）判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明；（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2ACAP-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法（或平行线截线段成比例）进行分析，从而得到最后答案【详解】解：如图，过点P可作PEBC或PEAC，APEABC、PBEABC；过点P还可作PEAB，可得：EPAC90°，AAAPEACB；满足这样条件的直线的作法共有3种故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理从是解题的关键2、D【解析】【分析】根据相似三角形的性质可直接进行求解【详解】解：，且相似比为1：2，和的周长比为1：2；故选D【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键3、D【解析】【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论【详解】解：BPC是等边三角形，BPPCBC，PBCPCBBPC60°，在正方形ABCD中，ABBCCD，AADCBCD90°，ABEDCF30°，BE2AE，ADBC，FEPPBC，EFPPCB，EPFBPC，FEPEFPEPF60°，EFP是等边三角形，BECF，CF2AE，故正确；PCCD，PCD30°，PDC75°，FDP15°，DBA45°，PBD15°，FDPPBD，DFPBPC60°，DFPBPH，故正确；PDHPCD30°，DPHDPC，DPHCPD，DP2PHPC，故正确；ABE30°，A90°，AEABBC，DCF30°，DFDCBC，EFAE+DFBCBCBC，FE：BC（23）：3，EFPE，PE：BC（23）：3，故正确，综上，四个选项都正确，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理4、C【解析】【分析】由题意根据位似图形的性质，得出ABC与DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ABC与DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案【详解】解：根据位似的定义可得，与是位似图形，也就是特殊的相似图形，故正确；点D、E、F分别是、的中点，与的位似比为21，周长比为21，面积比为41，故错误，正确故选：C【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决问题的关键5、C【解析】【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答【详解】两个三角形的相似比为，这两个三角形对应角平分线的比为故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，比较简单6、A【解析】【分析】可写成的形式，解得的值，即可得到的值【详解】解：可写成故选A【点睛】本题考察了比例，多项式与单项式的除法解题的关键在于将比例的符号作为除号或分号进行处理7、D【解析】【分析】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而得出答案【详解】解：以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，C（-1，2）， 点C对应点的坐标为（-1×2，2×2）或，即（-2，4）或（2，-4）， 故选D【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握“位似图形对应点坐标变化规律是解本题关键” 8、D【解析】【分析】首先由OD=1，OA=3，求出DEF和ABC的位似比为1：3，进而得到相似比为1：3，即可根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出ABC的面积【详解】解：OD=1，OA=3，DEF和ABC的位似比为1：3，DEF和ABC的相似比为1：3，即，ABC的面积为故选：D【点睛】此题考查了位似三角形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握位似三角形的性质位似三角形的位似比等于相似比相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高的比，对应角平分线的比以及对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方9、B【解析】【分析】如图作PQAB于Q，PRBC于R由QPERPF，推出，可得PQ2PR2BQ，由PQ/BC，可得AQ：QP：APAB：BC：AC3：4：5，设PQ4x，则AQ3x，AP5x，BQ2x，可得2x3x6，求出x即可解决问题【详解】解：如图作PQAB于Q，PRBC于RPQBQBRBRP90°，四边形PQBR是矩形，QPR90°MPN，QPERPF，QPERPF，PQ2PR2BQ，PQ/BC，AQPABC，AQ：QP：APAB：BC：AC3：4：5，设PQ4x，则AQ3x，AP5x，BQ2x，2x3x6，x，AP5x6故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题10、D【解析】【分析】由AB/ AB，可得AOBAOB进而根据相似三角形的性质列出比例代入数据求解即可【详解】AB/ AB，AOBAOB， ，即 ，cm，故选D【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键二、填空题1、（0，-）或（1，-）或（，）或（，）【解析】【分析】点D在y轴上，根据AOBDOA，可得，即；当点D在过点A平行y轴的直线上，根据AOBD1AO，即；当点D2在AD上，作D2Ex轴于E，OD2AD于D2，在RtAOB中，AB=，根据OD2AAOB，即，可证D2EADOA，即，求出AE=，D2E=，当点D3在0D1上，作D3Fx轴于F，AD3OD1于D3，根据OD3ABOA，即，可证D3FOD1AO，即，求出OE=，D3F=即可【详解】解：点D在y轴上，AOBDOA，即，解得OD=，点D（0，-）；当点D在过点A平行y轴的直线上，AOBD1AO，即，解得D1A=，点D1（1，-）；当点D2在AD上，作D2Ex轴于E，OD2AD于D2，在RtAOB中，AB=，OD2AAOB，即，在RtOAD中，AD=，D2Ex轴于E，ODx轴，D2EOD，AD2E=ADO，D2EA=DOA=90°，D2EADOA，即，AE=，D2E=，OE=OA-AE=1-=，D2（，）当点D3在OD1上，作D3Fx轴于F，AD3OD1于D3，OD3ABOA，即，在RtOAD1中，0D1=，D3Fx轴于F，ODx轴，D3FOD，OD3F=QD1A，D3FO=D1AO=90°，D3FOD1AO，即，OE=，D3F=，D3（，）；AOB和OAD相似（不包括全等），则点D的坐标为（0，-）或（1，-）或（，）或（，）故答案为（0，-）或（1，-）或（，）或（，）【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握三角形相似判定与性质是解题关键2、#【解析】【分析】由，得到，根据相似三角形的性质得到对应边成比例，代入数据即可得到结果【详解】在与中，解得：【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键3、【解析】【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案【详解】解：，2x+2y=3x，故2y=x，则，故答案为：【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键4、6【解析】【分析】相似三角形的一切对应线段（包括对应高）的比等于相似比，由此可求得这两相似三角形的相似比【详解】解：两个相似三角形对应高的比为6，它们的相似比为6，故答案是：6【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形一切对应线段（包括对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比5、17.5【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理可得，再利用相似三角形的性质即可求解【详解】解：由题可知，即：，（m）.故答案为【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键三、解答题1、（1）见解析（2）相切，理由见解析（3）的长为354【解析】【分析】（1）利用平分和CBD与CAD所对的弦都为，证明角相等，进而可以证明BDEADB（2）连接OD，利用等弧证明OD平分BC ，进而通过垂径定理证明ODBC，最后利用DFBC，即可证明直线DF与O相切（3）过点作BHAD与点，连接OD，利用角相等求证BDHBCA，得到BHBA=BDBC，利用该比例式，先后在RtABC、RtBDH、RtABH中通过勾股定理求出DH、AH的长，进而得到的长，最后通过平行、等弧对等角以及角平分线性质，证明FDBFAD，利用边长的比例关系，求出与的关系，通过的长，即可求出的长【详解】（1）证明：AD平分， BAD=CAD， CBD与CAD所对的弦都为， CBD=CAD=BAD， 又BDE=ADB，CBD=BAD，BDEADB（2）解：直线DF与O相切，证明：连接OD，BAD=DAC， BD=CD， OD平分BC， ODBC， DFBC， ODDF， 故直线DF与O相切（3）解：过点作BHAD与点，连接OD，则BHD=90°， BAC所对的弦为直径， BAC=90°， BHD=BAC=90°， 又BDH与C 所对的弦都是，BDH=C， BDHBCA，BHBA=BDBC， 又， 在RtABC中，由勾股定理可得：BC=AB2+AC2=10， OB=OD=5，故BH=BDBCBA=32，在RtBDH中，DH=BD2-BH2=42， 在RtABH中，AH=AB2-BH2=32， AD=AH+DH=72，DFBC， FDB=DBC， DBC与DAC所对的弧都为CD，且平分， DBC=DAC=FAD， FDB=FAD， F=F， FDBFAD，DFAF=BFDF=BDAD=5272， AF=75DF，BF=57DF， 故AB=AF-BF=75DF-57DF=6，解得DF=354，的长为354【点睛】本题主要是考查了圆的性质、相似三角形的判定和性质，熟练通过等弧或同弧对等角，求证角相等，进而证明三角形相似，把握等弧或同弧对等角和三角形相似之间的联系，这是求解该题的关键2、（1）见解析；（2）1:3【解析】【分析】（1）由得出CDAB，由平行线的性质得FAE=FCD，AEF=CDF，即可证明AEFCDF；（2）由得出AE:CD=1:3，由相似三角形的性质得EFDF=AECD=13由得AED=90°，由三角形的面积公式得SAEF=12×EF×AE，SAFD=12×DF×AE，即可求出SAEF:SAFD【详解】（1）四边形是平行四边形， CDAB，FAE=FCD，AEF=CDF，AEFCDF；（2）AE:EB=1:2，AE:CD=AE:AB=1:3，AEFCDF，EFDF=AECD=13，BEAB，AED=90°，SAEF=12×EF×AE，SAFD=12×DF×AE，SAEF:SAFD=EF:DF=1:3【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键3、（1）1;60°（2）6+22或6-22【解析】【分析】（1）证明ADCBEC即可求得ADBE=1，延长BD,CE交于点，设ABD=，根据三角形内角和即可求得F即直线BE与直线AD所夹的劣角；（2）当点在线段上时，根据P,Q分别为AC,AB的中点，可得PQ是的中位线，进而可得DPC=APQ=45°=CDA,DCA=PCD，证明CPDCDA，设CE=a，则CD=x，设AC=2b，则AP=PC=b，代入比例式求得a=2b，进而证明CAEDAP，设AE=x，AE=3-1b，进而即可求得的值，当在线段上时，同理可得CE=2b，AD=3-1b，进而即可求得的值【详解】解：（1）在三角形ABC中，ACAB，CAB60°ABC是等边三角形AB=AC，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段CE，DAE=60°,AD=AE是等边三角形AD=AE，EAD=60°BAD=BAC-DAC=DAE-DAC=CAEBAD=CAEADCBECAD=BE，ABD=ACEADBE=1如图，延长BD,CE交于点ABD=ACE，设ABD=则FBC=ABC-ABD=60°-,FCB=ACB+ACE=60+在FBC中，F=180°-FBC-FCB=60°即直线BE与直线AD所夹的劣角是60°（2）当点在线段上时，如图，ABC，是等腰直角三角形，CDA=45°,ACB=45°P,Q分别为AC,AB的中点，PQBCAPQ=ACB=45°DPC=APQ=45°=CDA,DCA=PCDCPDCDA设CE=a，则CD=a，DE=2a，设AC=2b，则AP=PC=bCPDC=CDAC即ba=a2ba,b>0a=2bDE=2a=2bCED=45°CEA=180°-CED=135°CPD=45°DPA=180°-CPD=135°CEA=DPA又CAE=DACCAEDAP则AEAP=ACDA设AE=x，xb=2b2b+x解得x1=3-1b,x2=-3+1b（舍）AE=3-1bCEAD=2b2b+3-1b=6-22，如图，当在线段上时，同理可得CE=2b，AD=3-1bCEAD=2b3-1b=6+22综上所述的值为6-22或6+22【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，设参数法求解是解题的关键4、（1）见解析；（2）421【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分和菱形的对角线平分内角进行作图即可；（2）先根据菱形的性质和三线合一定理得到ADBC，BD=CD=12BC=4，即可利用勾股定理求出AD的长，然后证明AEOABD，得到EOBD=AOAD=12，求出EO=12BD=2则EF=4，再根据S菱形AEDF=12ADEF求解即可【详解】解：（1）如图所示，菱形AEDF为所作（2）四边形AEDF是菱形，AD是BAC的平分线，AO=DO，ADEF，EF=2EO，又AB=AC，ADBC，BD=CD=12BC=4，在RtABD中，AD=AB2-BD2=102-42=221，EFAD，AOE=ADB=90°，又EAO=BAD， AEOABD，EOBD=AOAD=12，EO=12BD=2EF=4，S菱形AEDF=12ADEF=421【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，三线合一定理，勾股定理，尺规作图作角平分线，作线段垂直平分线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解5、（1）四边形AFCE是菱形，见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由过矩形ABCD（ADAB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，易证得AOECOF，即可得EOFO，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由EFAC，可得四边形AFCE是菱形；（2）由AEPAOE90°，EAPOAE，可证得AOEAEP，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得2AE2ACAP【详解】证明：（1）四边形AFCE是菱形理由：由已知可知：AOCO，四边形ABCD是矩形，ADBC，EAOFCO，AEOCFO，在AOE和COF中，EAO=FCOAEO=CFOAO=CO，AOECOF（AAS），EOFO，四边形AFCE是平行四边形，ACEF，四边形AFCE是菱形；（2）AEPAOE90°，EAPOAE，AOEAEP，AOAEAEAP，AE2AOAP，又AC2AO，2AE2ACAP【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质注意掌握数形结合思想的应用