最新人教版九年级数学下册第二十七章-相似课时练习试题(含详细解析).docx

人教版九年级数学下册第二十七章-相似课时练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABCDEF，若，BD9，则DF的长为（）A2B4C6D82、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（ ）ABCD3、如图，点P是ABCD边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知ABCD面积为16，那么PEF的面积为（ ）A8B6C4D24、若，ab+c18，则a的值为（）A11B12C13D145、如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为（ ）ABCD6、如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（ ）A4：1BCD2：17、如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF若BE：AE1：2，AG：GD3：2，且FCD的面积为，则k的值是（）AB3CD58、如图，以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC，已知BB2OB，则ABC与ABC的面积之比（）A1：3B1：4C1：5D1：99、在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DEBC，AD：BD3：2，则ADE与四边形BCED的面积之比为（）A3：5B4：25C9：16D9：2510、若两个相似三角形的面积比为，则它们的对应边的比是（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知，且3y2z6，则xy=_2、如图，双曲线经过Rt斜边上的中点A，与BC交于点D，则_3、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，3），B（6，3），以原点O为位似中心，在同一象限内把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C对应点A，点D对应点B，则点D的坐标为 _4、如图，直线l与半径为8的O相切于点A，P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl于B，连接PA设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是_5、如图，数学兴趣小组下午测得一根长为1m的竹竿影长是0.8m，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为1.2m，地面上的影长为2.6m，请你帮算一下，树高是_m三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，ABC的边AB在x轴上，且OBOA，以AB为直径的圆过点C，若点C的坐标为（0，4），且AB=10（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C，B重合），过点P作PDBC，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与COA相似时，求点P的坐标；（3）若ACB的平分线所在的直线l交x轴于点E，过点E任作一直线l'分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由2、如图（1），点E为正方形ABCD内一点，连接CE，DE，且DEC=90°，以CE为边向右侧作等腰直角三角形ECF，ECF=90°，连接AF，BF（1）求BFE的度数；（2）如图（2），连接AE，若AEF=90°求的值3、已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点A，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作于点Q，连接AP（AP不平行x轴）（1）求抛物线的表达式（2）如图1，若，求点P的坐标（3）如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将沿AP对折，点Q的对应点为，当点落在x轴上时，求点P的坐标4、如图，中，为内部一点，且（1）求证：；（2）判断和数量关系，并说明理由5、【问题提出】已知有两个RtABC和RtA'BC'，其中CC90°，A60°，A45°（1）如图1，作线段CD，CD，分别交AB于点D，交A'B于点D，使得BCD45°，B'CD'30°，问BCD与B'CD'，ACD与ACD是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由（2）如图2，作线段AD，B'D，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若ACD与BCD、ABD与AB'D'均相似，求CAD，C'B'D的度数【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可【详解】解：ABCDEF， ，解得：DF6，故选：C【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，利用平行条件，找到线段比例式，代入对应边长求解，这是解决本题的主要思路2、B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解【详解】解：由题意得： 、A选项中的三角形三边长分别为，1，与ABC的三边对应边不成比例关系，不符合题意；B选项中的三角形三边长分别为，1，对应边成比例，符合题意；C选项中的三角形三边长分别为，3，与ABC的三边对应边不成比例关系，不符合题意；D选项中的三角形三边长分别为，2，与ABC的三边对应边不成比例关系，不符合题意；故选B【点晴】此题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理3、D【解析】【分析】根据平行线间的距离处处相等，得到，根据EF是PBC的中位线，得到PEFPBC，EF=，得到计算即可【详解】点P是ABCD边AD上的一点，且 ABCD面积为16，；E，F分别是BP，CP的中点， EFBC，EF=，PEFPBC，故选D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握中位线定理，灵活运用三角形相似的性质是解题的关键4、B【解析】【分析】设k，则可利用k分别表示a、b、c，再利用ab+c18，所以2k3k+4k18，然后解k的方程，从而得到a的值【详解】解：设k，a2k，b3k，c4k，ab+c18，2k3k+4k18，解得k6，a2×612故选：B【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质是解决问题的关键5、A【解析】【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标【详解】解：线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，端点C的坐标为：（3，3）故选：A【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键6、B【解析】【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长，就可得到一个方程，解方程即可求得【详解】根据条件可知：矩形AEFB矩形ABCD，E为AD中点，原矩形纸片长与宽的比为故选B【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键7、B【解析】【分析】过点A作AMx轴于点M，GNx轴于点N，设点 ，则AM=b，OM=a，可得DGNDAM， ，再由BE：AE1：2，AG：GD3：2，可得到， ，从而得到 ，进而得到 ，继而，再由平行四边形的性质，可得BOFDNG，从而得到 ，再由，即可求解【详解】解：如图，过点A作AMx轴于点M，GNx轴于点N，设点 ，则AM=b，OM=a，AMNG，AMy轴，DGNDAM， ， ，BE：AE1：2，AG：GD3：2， ， ， ， ，点A、G在反比例函数y（k0）的图象上， ， ， ， ， ，四边形ABCD是平行四边形，OBF=GDN，BOF=GND=90°，BOFDNG， ，即， ， ， ，解得： ， 故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键8、D【解析】【分析】直接根据题意得出位似比，根据位似比等于相似比，进而根据面积比等于相似比的平方求得面积比【详解】解答：解：以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC，BB2OB，OBOB，ABC与ABC的面积之比为：1：9故选：D【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确得出位似比是解题关键9、C【解析】【分析】根据题意先判断ADEABC，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论【详解】解：DEBC，ADEABC，AD：BD3：2，ADE与四边形BCED的面积之比为9：16.故选：C.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方10、D【解析】【分析】根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，求面积之比的算术平方根即可【详解】相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为，对应边的比为，故选：【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键二、填空题1、60【解析】【分析】由题意，把比例化简得到，然后结合3y2z6，先求出，然后求出x、y，即可得到答案【详解】解：，；故答案为：60【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质进行化简是解题的关键2、14【解析】【分析】过A作轴于点E，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得，由，得，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得，从而求得k的值【详解】如图，作轴，则，轴，点A是OB中点，解得：，反比例函数过第一象限，故答案为：14【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质，熟知“过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于”是解题的关键3、【解析】【分析】由位似图形的性质可得：这一组对应点的坐标之比为3，从而把的横坐标与纵坐标都乘以 即可得到答案.【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为CD，AB，CD在同一象限，点B的坐标为（-6，3）， 点D的坐标为即 故答案为：【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k4、4【解析】【分析】作直径AC，连接CP，得出APCPBA，利用相似三角形的性质得出y=x2，所以x-y=x-x2=-x2+x=-（x-8）2+4，当x=8时，x-y有最大值是4【详解】解：如图，作直径AC，连接CP， CPA=90°，AB是切线，CAAB，PBl，ACPB，CAP=APB，APCPBA，PA=x，PB=y，半径为8，y=x2，所以x-y=x-x2=-x2+x=-（x-8）2+4，当x=8时，x-y有最大值是4，故答案为：4【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键5、4.45【解析】【分析】在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高【详解】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，则，解得：BD0.96，树在地面的实际影子长是0.962.63.56（m），再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：，解得：x4.45，树高是4.45m故答案为：4.45【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同三、解答题1、（1）y=-14x2+32x+4；（2）(6,4)或(3,254)；（3）是，CM+CNCMCN=3520【解析】【分析】（1）根据题意，先证明AOCCOB，得到AOCO=OCOB，求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；（2）根据题意，可分为两种情况：AOCPDC或AOCCDP，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P的坐标，即可得到答案；（3）过点E作EIAC于I，EJCN于J，然后由角平分线的性质定理，得到EI=EJ，再证明MEIMNC，NEJNMC，得到1NC+1MC=1EI，然后求出EI一个定值，即可进行判断【详解】解：（1）以AB为直径的圆过点C，ACB=90°，点C的坐标为0,4，COAB，AOC=COB=90°，ACO+OCB=ACO+OAC=90°，OCB=OAC,AOCCOB，AOCO=OCOB，CO=4，AO+BO=AB=10，AO=10-OB，10-OB4=4OB，解得：OB=2或OB=8，经检验，满足题意，OB>OA，OB=8，点A为（，0），点B为（8，0）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点A、B、C三点的坐标代入，有c=44a-2b+c=064a+8b+c=0，解得：a=-14b=32c=4，抛物线的解析式为y=-14x2+32x+4；（2）根据题意，如图：当AOCPDC时，ACO=PCD，ACO+OCB=90°，PCD+OCB=90°，PCOC，点P的纵坐标为4，当y=4时，有-14x2+32x+4=4，解得：x1=6或x2=0（舍去）；P(6,4)；当AOCCDP时，过点D作DMx轴交y轴于点M，过点P作PFy轴交BC于点F，MD、PF交于点N，则PNDDMCPDCCOA，CPD=FPD，DNPN=CMDM=AOCO=24=12，PDC=90°，CPF是等腰三角形，CD=FD，CMD=FND=90°，CDM=FDN，CMDFND(AAS)，MD=DN，PN=4CM，设直线BC解析式为，把B(8,0)，C(0,4)代入解得直线BC解析式为y=-12x+4，设D(t,-12t+4)，则P(2t,-t2+3t+4)，CM=4-(-12t+4)=12t，PN=(-t2+3t+4)-(-12t+4)=-t2+72t，-t2+72t=2t，解得：t=32或t=0（舍），2t=3，-t2+3t+4=254，P(3,254)，综合上述，点P的坐标为：(6,4)或(3,254)；（3）过点E作EIAC于I，EJCN于J，如图：CE是ACB的角平分线，EI=EJ，EICN，EJCM，MEIMNC，NEJNMC，EINC=MEMN，EJMC=NEMN，EINC+EJMC=MEMN+NEMN=1，EINC+EIMC=1，1NC+1MC=1EI，ACOAEI，AIEI=AOCO=12，AC=22+42=25，AC=AI+IC=AI+EI，25-EIEI=12，解得：EI=453，经检验，符合题意，1NC+1MC=1EI=3520；1NC+1MC是一个定值【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题2、（1）BFE=45°；（2）【解析】【分析】（1）首先根据BCD=ECF=90°得到DCE=BCF，然后证明DECBFC（SAS），根据全等三角形对应角相等得到BFC=DEC=90°，即可求出BFE的度数；（2）连接AC，首先根据三角形内角和定理和周角的性质求出AEC=AED=135°，然后根据题意证明出ADE=EAC，进而得到ADECAE，根据相似三角形对应边成比例得出AECE=ADAC=22，然后由等腰直角三角形的性质得到EF=2CE，即可求出的值【详解】（1）在正方形ABCD中BCCD，BCD90°又ECF是等腰直角三角形CE=CF，ECF=90°，CFE=45°ECF-ECB=BCD-ECBDCE=BCFDECBFC（SAS）BFC=DEC=90°BFE=BFC-EFC=45°；（2）如图，连接AC，ECF是等腰直角三角形CEF=45°AEF=90°AEC=AEF+CEF=135°DEC=90°AED=360°-AEC-DEC=135°AEC=AEDDAE+ADE=180-AED=45°，DAE+EAC=45°ADE=EACADECAEAECE=ADAC=22又EF=2CEAEEF=12【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据题意证明出DECBFC3、（1）y=-x2+3x+4；（2）点P的坐标为(134,5116)或(114,7516)；（3）点P的坐标为（4，0）或(5,-6)【解析】【分析】（1）把，分别代入利用待定系数法求解即可；（2）由，可得AQPQ=AOCO=4，即AQ=4PQ，设P(m,-m2+3m+4)，可得4m2-3m=m，再解方程可得答案；（3）先求解抛物线的对称轴为：x=32, 设P(m,-m2+3m+4)(m>32)，如图，当点落在x轴上，延长QP交x轴于点H，则QHOB, 再表示PQ=m2-3m，证明RtAOQ'RtQ'HP，求解Q'H=4m-12，可得OQ'=12-3m，再在RtAOQ'中，利用勾股定理列方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：（1）把，分别代入得：-16+4b+c=0,-1-b+c=0,解得b=3,c=4,抛物线表达式为y=-x2+3x+4.（2）当时，y=4，A(0,4)，OA=4，而OC=1, AQPAOC，AQPQ=AOCO=4，即AQ=4PQ.设P(m,-m2+3m+4)，m=44-(-m2+3m+4)，即4m2-3m=m.当4(m2-3m)=m时，解得m1=0（舍去），m2=134，此时点P的坐标为(134,5116)；当4(m2-3m)=-m时，解得m1=0（舍去），m2=114，此时点P的坐标为(114,7516).综上所述，点P的坐标为(134,5116)或(114,7516).（3）由题意得：抛物线的对称轴为：x=-32×-1=32, 设P(m,-m2+3m+4)(m>32)，如图，当点落在x轴上，延长QP交x轴于点H，则QHOB,则PQ=4-(-m2+3m+4)=m2-3m.APQ沿AP对折，点Q的对应点为，AQ'P=AQP=90°，AQ'=AQ=m，PQ'=PQ=m2-3m，又AOQ'=PHQ'=90°,AQ'O+PQ'H=90°=PQ'H+Q'PH, AQ'O=Q'PH， RtAOQ'RtQ'HP，OA:Q'H=AQ':Q'P，4Q'H=mm2-3m, 解得Q'H=4m-12，OQ'=m-(4m-12)=12-3m.在RtAOQ'中，42+(12-3m)2=m2，解得m1=4，m2=5，此时点P的坐标为（4，0）或(5,-6).综上所述，点P的坐标为（4，0）或(5,-6).【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，熟练的利用相似三角形的性质与勾股定理建立方程是解本题的关键.4、（1）见解析；（2）PA=2PC，见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出PBC=PAB，进而得出结论；（2）由（1）的结论得出PAPB=PBPC=ABBC，进而得出ABBC=2，即可得出结论【详解】（1）证明：ACB=90°，AC=BC，ABC=45°=PBA+PBC，又APB=135°，PAB+PBA=45°，PBC=PAB，又APB=BPC=135°，PABPBC（2）和数量关系是PA=2PC理由如下PABPBC，PAPB=PBPC=ABBC，在RtABC中，BC=AC，AB=2BC，PAPB=PBPC=2，PA=2PB，PB=2PC，PA=2PC【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点是解题关键，综合性较强，有一定难度5、（1）相似，见详解；（2）CAD=CBD=15°；【拓展思考】可以，理由见详解.【解析】【分析】（1）由题意可知如图1中，BCD与BCD、ACD与ACD相似，理由同上；（2）由题意可知如图2中，当CAD=CBD=15°时，ACD与BCD、ABD与ABD均相似；【拓展思考】根据题意运用材料的方法结合相似三角形的判定进行分析即可.【详解】解：（1）如图1中，BCD与BCD、ACD与ACD相似，理由如下A=ACD=60°，ACD=A=45°，ACDCAD，B=BCD，BCD=B，BCDCBD（2）如图2中，当CAD=CBD=15°时，ACD与BCD、ABD与ABD均相似理由：C=C=90°，CAD=CBD=15°，ACDBCD，B=ABD=30°，DAB=A=45°，BADBAD拓展思考:可以，如下图，设,作交AB于D，作交 AB于D则ACDCAD，BCDCBD理由：A=ACD=，ACD=A=，ACDCAD，BCDCBD【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定方法，学会取特殊角解决问题