平面向量基本定理及坐标表示72847.doc

平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1、2，使a1e12e2，其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1）,b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a（x1，y1)，|a。(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A（x1，y1），B（x2，y2），则(x2x1，y2y1）,。3平面向量共线的坐标表示设a（x1，y1)，b（x2,y2），其中b0，a、b共线x1y2x2y10.选择题：设e1，e2是平面内一组基底，那么（）A若实数1，2使1e12e20，则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2（1，2为实数）C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是（）Ae1(0，0），e2（1,2）Be1（1,2)，e2(5，7）Ce1(3，5),e2（6,10）De1（2，3）,e2解析两个不共线的非零向量构成一组基底,故选B.已知平面向量a（1,1),b（1，1)，则向量ab等于(）A(2，1） B(2，1）C(1，0） D（1，2）解析a(，），b（，)，故ab(1,2）已知a（1，1）,b(1，1），c(1,2)，则c等于(）AabB.abCabDab解析设cab,（1，2）（1，1）（1，1)，cab。已知向量a(1,2），b(1,0），c(3，4)若为实数,（ab）c,则等于（）A.B.C1D2解析ab（1，2)，c(3，4),且（ab）c，,已知a（5，2），b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()A。B。C。D。解析由已知3ca2b（5,2）(8,6）(13，4)，c。已知向量（k，12)，(4，5),(k,10)，且A，B,C三点共线,则k的值是（）A B. C. D。解析（4k，7)，(2k，2),A，B，C三点共线，,共线，2×(4k）7×（2k），解得k已知点A（1,3),B(4，1)，则与向量A同方向的单位向量为（)A。B。C.D。解析AOO（4，1)（1,3)(3，4）,与A同方向的单位向量为。已知点A（1,5)和向量a（2，3)，若3a,则点B的坐标为(）A（7，4） B（7,14)C（5，4) D（5，14)解析设点B的坐标为（x，y）,则（x1，y5），由3a,得解得已知向量a（1,2），b(3，m）,mR,则“m6”是“a（ab）"的(）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析由题意得ab(2，2m），由a（ab）,得1×（2m）2×2，m6，则“m6”是“a(ab）"的充要条件，故选A已知在ABCD中,(2，8）,（3，4）,则（）A(1，12) B（1，12）C(1,12） D(1，12)解析四边形ABCD是平行四边形,（1,12）在ABC中,点D在BC边上，且2，rs,则rs等于()A。B。C3D0解析2，(），则rs0已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上,且2,则向量()A.B。C。D。解析如图，2，（)在ABC中，点P在BC上,且2，点Q是AC的中点，若(4,3),（1,5)，则等于（）A（2,7） B（6，21）C（2，7) D（6，21)解析33(2）63（6,30)（12，9)（6，21）在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点,若，则等于（）A。B。C.D。解析()22，。填空题:已知平面向量a(1,2）,b（2，m），且ab，则2a3b_。解析由a（1,2),b（2,m），且ab,得1×m2×(2)，即m4。从而b（2,4)，那么2a3b2(1，2)3（2，4）(4，8)已知向量a(x，1），b(2，y）,若ab（1,1),则xy_。解析（x，1)(2，y）(1,1)，解得xy3。已知向量a（1，2），b（0,1），设uakb，v2ab，若uv，则实数k的值为()A1BC.D1解析u（1,2）k(0,1）（1，2k),v（2，4)（0，1)（2，3），又uv,1×32（2k）,得k已知向量a（1，2)，b（x，1)，ua2b，v2ab，且uv,则实数x的值为_解析a（1，2)，b（x,1)，ua2b，v2ab，u(1，2）2（x,1)（2x1,4)，v2（1,2)(x，1)（2x,3）又uv，3（2x1）4（2x)0，即10x5,解得x.若三点A(1，5),B(a，2）,C（2，1）共线,则实数a的值为_解析（a1，3)，（3，4),根据题意，4（a1）3×（3），即4a5,a在ABCD中，AC为一条对角线,(2，4），（1,3),则向量的坐标为_解析,(1,1）,（3，5）已知ABCD的顶点A（1，2）,B（3,1）,C（5，6)，则顶点D的坐标为_解析设D（x，y)，则由,得（4，1）（5x,6y)，即解得已知梯形ABCD,其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A（1,2),B（2，1)，C（4，2）,则点D的坐标为_解析在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2。设点D的坐标为（x,y），则(4，2）（x，y)（4x，2y)，（2，1）（1,2)(1，1），(4x，2y）2（1，1)，即(4x，2y）(2，2），解得故点D的坐标为(2,4）如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解析：设k,kR。kk（)k()(1k）,且m,1km，解得k,m.在ABCD中,e1，e2,，则_（用e1，e2表示）解析如图，2（)e2(e2e1）e1e2如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_解析（)ab若三点A（2,2），B（a,0），C（0，b）（ab0）共线，则的值为_解析（a2，2），（2，b2),则（a2)（b2）40,即ab2a2b0，.设（2，4），（a，2）,(b，0）,a>0,b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_解析由题意得(a2，2）,（b2,4），又,（a2,2)（b2，4)，即整理得2ab2,（2ab）（)（3）(32)（当且仅当ba时，等号成立）已知A（7，1）,B(1,4），直线yax与线段AB交于点C，且2,则实数a_。解析设C（x，y）,则（x7,y1），（1x,4y)，2，解得C（3，3）又C在直线yax上,3a·3，a2。已知向量（1，3)，（2，1),（k1，k2），若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析若点A，B，C能构成三角形,则向量，不共线（2，1)（1，3）（1，2)，（k1,k2）（1,3)（k，k1),1×（k1）2k0，解得k1。设0，向量a（sin2，cos)，b（cos，1)，若ab,则tan_。解析ab,sin2×1cos20，2sincoscos20，0,cos0,2sincos，tan解答题:已知A(1，1），B（3，1），C（a，b)(1）若A，B,C三点共线,求a，b的关系式；（2）若2，求点C的坐标解析(1)由已知得（2,2），(a1，b1），A，B，C三点共线,，2（b1）2（a1)0，即ab2.(2）2,（a1，b1）2（2,2）解得点C的坐标为(5，3)已知点O为坐标原点,A（0，2），B(4，6）,t1t2。（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；(2）求证:当t11时，不论t2为何实数，A,B，M三点共线(1）解t1t2t1(0，2)t2(4，4）(4t2，2t14t2）当点M在第二或第三象限时,有故所求的充要条件为t20且t12t20。(2）证明当t11时，由（1）知(4t2,4t22）（4，4），(4t2，4t2）t2(4，4）t2,与共线，又有公共点A，A,B，M三点共线能力提升题组已知向量a（2,3)，b（1，2），若（manb)(a2b）,则等于（）A2B2CD。解析由题意得manb(2mn，3m2n），a2b(4，1）,(manb）(a2b），（2mn)4（3m2n）0,已知|1,|,·0，点C在AOB内，且与的夹角为30°，设mn(m，nR），则的值为（)A2 B。C3 D4解析·0，,以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系，(1,0)，（0，），mn(m，n)tan 30°，m3n，即3如图,在OAB中，P为线段AB上的一点，xy,且B2P,则(）Ax，yBx，yCx，yDx,y解析由题意知OOB，又B2P，OOBO(OO）OO,x，y.已知点A(1,2），B（2,8），则的坐标为_解析设点C，D的坐标分别为（x1，y1)，（x2,y2）由题意得（x11，y12），(3，6)，（1x2，2y2),（3,6),，有和解得和点C，D的坐标分别为(0，4)，（2,0），从而(2，4)已知向量a(1，1），b(1，1），c（cos,sin）（R)，实数m，n满足manbc，则（m3)2n2的最大值为_解析由manbc,可得故（mn）2（mn）22,即m2n21,故点M（m，n）在单位圆上,则点P（3，0）到点M的距离的最大值为OP1314，故(m3）2n2的最大值为4216.已知ABC和点M满足0。若存在实数m,使得m成立，则m_。解析0,M为ABC的重心如图所示，连接AM并延长交BC于D,则D为BC的中点.又(）,（)，即3，m3。如图所示，A,B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_解析由题意得，k（k0），又|k1,1k0。又B，A，D三点共线,（1）,mnkk（1）,mk，nk（1），mnk，从而mn(1,0)9