2021_2022学年高中数学第3章推理与证明模块复习课第3课时推理与证明课后巩固提升含解析北师大版选修1_2.docx

模块复习课MOKUAIFUXIKE第3课时推理与证明课后篇巩固提升A组1.用反证法证明命题“已知a,b为实数,若a,b4,则a,b不都大于2”时,应假设()A.a,b都不大于2B.a,b都不小于2C.a,b都大于2D.a,b不都小于2答案C解析利用反证法定义,应假设a,b都大于2,故选C.2.下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的.第n行有n个数且两端的数均为(n2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,则第10行第4个数(从左往右数)为()A.B.C.D.答案C解析依题意,结合所给的数阵,归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于,第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于,第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于.3.若不等式x2+2x+a-y2-2y对任意实数x,y都成立,则实数a的取值范围是()A.a0B.a1C.a2D.a3答案C解析原不等式可化为a-x2-2x-y2-2y=2-(x+1)2+(y+1)2.因为(x+1)2+(y+1)20,所以2-(x+1)2+(y+1)22,所以使不等式恒成立的a的取值范围是a2.4.已知nN+,设平面上的n个椭圆最多能把平面分成an部分,且a1=2,a2=6,a3=14,a4=26,则an=. 答案2n2-2n+2解析观察规律可知an-an-1=(n-1)×4,利用累加法可得an=2n2-2n+2.5.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的几个值x1,x2,xn总满足f称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)=sin x在(0,)上是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是. 答案解析因为f,因为f(x)=sinx在(0,)上是凸函数,所以f(A)+f(B)+f(C)3f,即sinA+sinB+sinC3sin,所以sinA+sinB+sinC的最大值是.6.已知f(x)=x2+2x-m,如果f(1)>0是假命题,f(2)>0是真命题,那么实数m的取值范围是. 答案3,8)解析依题意,3m<8.7.给出一个“三角形”的数表如下:此表构成的规则是:第一行是0,1,2,999,以后下一行的数是上一行相邻两个数的和.问:第四行的数中能被999整除的数是哪一项?解首先找出第四行数的构成规律.通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关,具体关系可以从上表看出:如果用an表示第四行的第n个数,那么an=8n+4.现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数.注意到第四行中最大的数是7980<999×8,所以k=4.由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3996,它是第四行的第(3996-4)÷8=499(项),即a499=3996.8.(1)已知a>2,b>2,求证:a+b<ab;(2)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a>b,用反证法证明:cos B>0.证明(1)因为a>2,b>2,所以0<,0<,可得a+b>0,ab>0,又因为=1,所以a+b<ab.(2)假设cosB0,又因为B是三角形的内角,所以B,因为a>b,可得A>B,则A>,所以A+B>,与A+B<矛盾,即假设不成立,因此cosB>0成立.B组1.用数学归纳法证明“+>1”时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项为()A.B.C.D.答案D解析当n=k时,左边为+,当n=k+1时,左边为+,所以增加的项为+-+=.故选D.2.(1)已知p3+q3=2,求证:p+q2.用反证法证明时,可假设p+q2;(2)若a,bR,|a|+|b|<1,求证:方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)的假设正确,(2)的假设错误C.(1)与(2)的假设都正确D.(1)的假设错误,(2)的假设正确答案D解析(1)的结论的否定应该是p+q>2,故错;(2)的否定是方程的两根至少有一个大于或等于1,故(2)正确.3.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题,甲和丁均说自己不会证明;乙说:丙会证明;丙说:丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题,且只有一人说了真话.据此可以判定能证明此题的人是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案A解析由题设知,丁和丙的说法矛盾,他们有一人说了真话,则甲、乙说了假话,又四名同学中只有一人会证明此题,甲会证明,乙、丙、丁都不会证明.故选A.4.如图所示是一个有n层(n2,nN+)的六边形点阵,它的中心是一个点,算作第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,第n层每边有n个点,则这个点阵共有个点. 答案3n2-3n+1解析设第n层共有an个点,结合图形可知a1=1,a2=6,an+1=an+6(n2,nN+),则an=6+(n-2)×6=6n-6(n2,nN+),前n层所有点数之和为Sn=1+=3n2-3n+1,故这个点阵共有3n2-3n+1个点.5.定义运算“􀱋”:x􀱋y=(x,yR,xy0).当x>0,y>0时,x􀱋y+(2y)􀱋x的最小值为. 答案解析x􀱋y=,x􀱋y+(2y)􀱋x=.其中x>0,y>0,当且仅当x2=2y2,即x=y时等号成立.6.给出下列命题:双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;过点P(2,1)的抛物线的标准方程是y2=x;已知双曲线C:=1,若它的离心率为,则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x;椭圆=1的两个焦点为F1,F2,P为椭圆上的动点,PF1F2的面积的最大值为2,则m的值为2.其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号) 答案解析因为两曲线的焦点都在x轴上,半焦距c相等都是,所以双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点,正确;过点P(2,1)的抛物线的标准方程是y2=x或x2=4y,不正确;已知双曲线C:=1,若它的离心率为,则=2,双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,正确;由解析式知,半焦距为1,PF1F2的面积的最大值为2,即bc=2,可得b=2,故m=4,不正确.7.已知函数f(x)=x2+aln x(aR).(1)若f(x)在1,e上是增函数,求a的取值范围.(2)若a=1,1xe,证明:f(x)<x3.解(1)因为f'(x)=x+,且f(x)在1,e上是增函数,所以f'(x)=x+0在1,e上恒成立,即a-x2在1,e上恒成立,所以a-1.(2)当a=1时,f(x)=x2+lnx,x1,e,令F(x)=f(x)-x3=x2+lnx-x3,又F'(x)=x+-2x2=0,所以F(x)在1,e上是减函数,所以F(x)F(1)=<0,所以x1,e时,f(x)<x3.8.已知f(x)=x2+px+q,求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;(2)若|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>2,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.证明(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<+2×=2.这与已知条件|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>2矛盾,从而假设不成立,原命题成立.5