2021_2021学年高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数一课时素养评价含解析北师大版必修.doc
课时素养评价 二十六二倍角的三角函数(一) (20分钟35分)1.（2020·全国卷）若为第四象限角，则（ ）A.cos 2>0B.cos 2<0C.sin 2>0D.sin 2<0【解析】选D.方法一：因为为第四象限角，所以sin <0，cos >0，所以sin 2=2sin cos <0，而cos 2=的符号不确定.方法二：因为为第四象限角，所以2k-2k，kZ，所以4k-24k，kZ，所以2为第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上，所以sin 2<0，cos 2的符号不确定.2.化简:=()A.sin 4+cos 4B.-sin 4-cos 4C.sin 4D.cos 4【解析】选B.=|sin 4+cos 4|,而4,有sin 4<0,cos 4<0,故sin 4+cos 4<0,即=-sin 4-cos 4.3.若tan =,则cos2+2sin 2=()A.B.C.1D.【解析】选A.由tan =,cos2+sin2=1,得sin =,cos =或sin =-,cos =-,所以sin 2=2sin cos =,则cos2+2sin 2=+=.4.(2020·德州高一检测)已知sin=,则sin的值为()A.-B.-C.D.【解析】选D.由sin=,可得cos=1-2sin2=1-2×=,所以sin=cos=.5.已知tan =3,则sin2-sin 2=. 【解析】因为tan =3,所以sin2-sin 2=sin2-2sin cos =.答案:6.已知tan 2=-2,<2<2,求的值.【解析】因为<2<2,所以<<,所以tan <0.因为tan 2=-2,所以tan =-(正值舍去).所以原式=tan=3+2. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.化简+的结果是()A.sinB.cosC.2sin-cosD.2cos-sin【解析】选B.+=+=cos-sin+sin=cos.2.已知是第四象限角,且sin4+cos4=,那么sin 2等于()A.B.-C.D.-【解析】选B.若是第四象限角,则2为第三、四象限角或终边在y轴的负半轴上,而sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=,所以sin22=,sin 2=-.3.若sin x·tan x<0,则=()A.cos xB.-cos xC.sin xD.-sin x【解析】选B.因为sin x·tan x<0,所以x为第二或第三象限角,所以cos x<0,所以=|cos x|=-cos x.4.已知(0,),且sin +cos =,则cos 2的值为()A.±B.C.-D.-【解析】选C.把sin +cos =,平方得1+2sin cos =,即1+sin 2=,解得sin 2=-.又sin +cos =sin=,解得sin=<,所以0<+<(舍)或<+<,解得<<,所以2,所以cos 2=-=-.【误区警示】本题易根据sin +cos =<1,所以,故2(,2),从而导致错误.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知等腰三角形底角的余弦值等于,则这个三角形顶角的正弦值为. 【解析】设此三角形的底角为,顶角为,则cos =,sin =,所以sin =sin(-2)=sin 2=2sin cos =2××=.答案:【光速解题】本题作出图形可以更为直观求解.6.函数y=2cos2x+sin 2x的最小值是. 【解题指南】求最小值,先将函数解析式化为“一角一函数”,然后利用正弦型函数性质求解.【解析】y=2cos2x+sin 2x=cos 2x+1+sin 2x=sin+1,当2x+=-+2k,即x=-+k(kZ)时,函数取得最小值1-.答案:1-【补偿训练】 已知不等式f=3sin ·cos +cos2-+m0,对于任意的-x恒成立,则实数m的取值范围是. 【解析】因为f(x)=3sin ·cos +cos2-+m=sin +cos +m0,所以-msin.因为-x,所以-+,所以-sin,所以-m,所以m-.答案:7.若270°<<360°,化简的结果是. 【解析】由题意,因为270°<<360°,则135°<<180°,所以cos >0,cos <0,根据余弦的倍角公式,可得=-cos .答案:-cos 8.设为第四象限角,且=,则tan 2=. 【解析】因为=4cos2-1=2(2cos2-1)+1=2cos 2+1=,所以cos 2=.又是第四象限角,所以sin 2=-,tan 2=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知sin +cos =,且0<<,求sin 2,cos 2,tan 2的值.【解析】因为sin +cos =,所以sin2+2sin cos +cos2=,所以sin 2=-1=-,且sin cos =-<0.又0<<,所以sin >0,cos <0,所以sin -cos >0,所以sin -cos =,所以cos 2=cos 2-sin 2=(cos -sin )(cos +sin )=-×=-,所以tan 2=.10.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).若f(x0)=,x0,求cos 2x0的值.【解析】因为f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以sin=.又因为x0,所以2x0+.所以cos=- =-.所以cos 2x0=cos=coscos+sinsin=-×+×=.已知函数f(x)=sin·sin+sin xcos x(xR).(1)求f的值.(2)在ABC中,f=1,求sin B+sin C的最大值.【解析】(1)因为f(x)=sin·sin+sin xcos x=cos 2x+sin 2x=sin,所以f=1.(2)由f=sin=1,而0<A<可得A+=,即A=,所以sin B+sin C=sin B+sin=sin B+cos B=sin.因为0<B<,所以<B+<,<sin1,故sin B+sin C的最大值为.【补偿训练】 设函数f(x)=5cos2x+sin2x-4sin xcos x.(1)求f.(2)若f()=5,求角.【解析】f(x)=5cos2x+sin2x-4sin xcos x=5cos2x+5sin2x-2sin 2x-4sin2x=5-2sin 2x-2(1-cos 2x)=3-2sin 2x+2cos 2x=3-4=3-4=3-4sin,(1)f=3-4sin=3-4sin=3-4.(2)由f()=5,得sin=-,由,得2-,所以2-=,=.
