2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.5.1_1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程课时素养评价含解析新人教A版选修2_.doc
课时素养评价九曲边梯形的面积汽车行驶的路程(15分钟30分)1.当n很大时,函数f(x)=x2在区间上的值可以用下列哪个值近似地代替()A.fB.fC.fD.f(0)【解析】选C.当n很大时,f(x)=x2在上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替.2.设函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0<x1<<xi-1<xi<<xn=b把区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式Sn=f(i)x(其中x为小区间的长度),那么Sn的大小()A.与f(x)和区间a,b有关,与分点的个数n和i的取法无关B.与f(x)和区间a,b以及分点的个数n有关,与i的取法无关C.与f(x)和区间a,b以及分点的个数n,i的取法都有关D.与f(x)和区间a,b以及i的取法有关,与分点的个数n无关【解析】选C.由Sn的求法可知Sn的大小与f(x)和区间a,b以及分点的个数n,i的取法都有关.3.直线y=2x+1与直线x=0,x=m,y=0围成图形的面积为6,则正数m=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意,直线围成梯形的面积为S=(1+2m+1)m=6,解得m=2,m=-3(舍).4.在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1,x=1,y=0所围成的图形的面积时,若将区间-1,1n等分,则每个小区间的长度为_. 【解析】区间长度为2,将其n等分得每一个小区间的长度为.答案:5.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成曲边梯形的面积.【解题指南】按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行.【解析】将区间0,2等分成n个小区间,则第i个小区间为.第i个小区间的面积Si=f·,所以Sn=f·=(i-1)2=02+12+22+(n-1)2=·=.S=Sn=,所以所求曲边梯形面积为.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数在R上不是连续函数的是()A.y=x2B.y=x3C.y=D.y=【解析】选D.选项A,B,C中,函数的图象都是连续不断的曲线,只有D项不是连续函数.2.把区间a,b(a<b)n等分后,第i个小区间是()A.B.C.D.【解析】选D.每个小区间长为,第一个小区间为,第二个小区间为,第三个小区间为,第i个小区间为.3.和式(-2)等于()A.-2B.-10C.-20D.【解析】选C.(-2)=-2=-2×10=-20.4.对于由直线x=1,y=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形,把区间3等分,则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A.B.C.D.【解析】选A.将区间三等分后,得到3个区间,即,以每个区间的左端点的函数值为高,3个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值,S=0×+×+×=.5.求由直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+1所围成的曲边梯形的面积时,将区间0,25等分,按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为()A.3.92,5.52B.4,5C.2.51,3.92D.5.25,3.59【解析】选A.将区间0,25等分为,以小区间左端点对应的函数值为高,得S1=×=3.92,以小区间右端点对应的函数值为高,得S2=×=5.52.二、填空题(每小题5分,共15分)6.求由抛物线f(x)=x2,直线x=1以及x轴所围成的平面图形的面积时,若将区间0,15等分,如图所示,以小区间中点的函数值为高,所有小矩形的面积之和为_. 【解析】由题意得S=(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2=0.33.答案:0.337.一辆汽车的速度-时间图象如图所示,则此汽车在这1 min行驶的路程为_. 【解题指南】根据变速运动物体的路程的估计方法,本题所求的路程应为图象与x轴围成的图形的面积.【解析】由速度时间图象易知v(t)=当t0,10时,s1=SOAE=×10×30=150(m),当t(10,40时,s2=S长方形ABDE=(40-10)×30=900(m),当t(40,60时,s3=SBDC=×20×30=300(m),故s=s1+s2+s3=1 350(m).答案:1 350 m8.已知某物体运动的速度v=2t-1,t0,10,若把区间0,10 10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为_. 【解析】若把区间0,10进行10等分,则第i个小区间为i-1,i(i=1,2,10),其右端点为i,那么物体运动的路程的近似值为(2i-1)×1=2i-10=2×-10=100.答案:100三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知做自由落体的物体的运动速度v=gt,求在时间区间0,t内物体下落的距离.【解析】(1)分割将时间区间0,t分成n等份.把时间0,t分成n个小区间(i=1,2,n),每个小区间所表示的时间段t=-=,在各小区间物体下落的距离记作si(i=1,2,n).(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程.在上任取一时刻i(i=1,2,n),可取i使v(i)=g近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体t=内所经过的路程可近似表示为sig·(i=1,2,n).(3)求和sn=sig·=0+1+2+(n-1)=gt2.(4)取极限s=gt2=gt2.即在时间区间0,t内物体下落的距离为gt2.10.有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,如果在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0t2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?【解析】(1)分割.在时间区间0,2上等间隔地插入n-1个分点,将它等分成n个小区间,则第i个小区间为(i=1,2,n),其长度为t=-=,每个时间段上行驶的路程记为si(i=1,2,n),则显然有s=si.(2)近似代替.取i=(i=1,2,n).于是siv·t=·=+(i=1,2,n).(3)求和.sn=(12+22+n2)+4=·+4=8+4.(4)取极限.s=sn=8+4=12.所以这段时间内汽车行驶的路程为12 km.1.在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成的图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积Si约等于()A.B.C.D.【解析】选A.每个小区间长度为,第i个小区间为,因此第i个小曲边梯形的面积Si·=.2.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功.【解题指南】利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.【解析】将物体用常力F沿力的方向拖动距离x,则所做的功W=F·x.(1)分割在区间0,b上等间隔地插入n-1个点,将区间0,b等分成n个小区间:,记第i个区间为(i=1,2,n),其长度为x=-=.把在分段,上所做的功分别记作:W1,W2,Wn.(2)近似代替取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高,由条件知:WiF·x=k··(i=1,2,n).(3)求和Wn=Wik··=0+1+2+(n-1)=×=.从而得到W的近似值WWn=.(4)取极限W=Wn=Wi=.所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.
