2021_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程4.1曲线与方程课时跟踪训练含解析北师大版选修2_.doc
第三章 圆锥曲线与方程A组基础巩固1方程|x|y|1表示的曲线是()解析：原方程可化为或或或作出图像可知D正确答案：D2已知直线l的方程是f(x，y)0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲线是()A直线lB与l垂直的一条直线C与l平行的一条直线D与l平行的两条直线解析：方程f(x，y)f(x0，y0)0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线答案：C3下列结论正确的个数为()(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x3；(2)到x轴距离为3的直线方程为y3；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy1；(4)ABC的顶点A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x0.A1B2C3 D4解析：(1)满足曲线方程的定义，结论正确(2)到x轴距离为3的直线方程还有一个y3，结论错误(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|1，即xy±1，结论错误(4)中线AD是一条线段，而不是直线，中线AD的方程为x0(3y0)，结论错误答案：A4已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为()A B4C8 D9解析：设P为(x，y)，由|PA|2|PB|，得2，即(x2)2y24，点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4.答案：B5已知点A，B的坐标分别为(3,0)，(3,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线BM的斜率与直线AM的斜率的差是1，则点M的轨迹方程是()Ay(x±3)ByCy(x±3)Dy(x±3)解析：设M(x，y)，直线BM的斜率为，直线AM的斜率为，其中x±3.因为直线BM的斜率与直线AM的斜率的差是1，所以1，化简得y(x±3)故选C.答案：C6方程x2(x21)y2(y21)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N(，n)在曲线C上，则m_，n_.解析：因为点M(m，)，N(，n)在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m21)2×1，×()n2(n21)，解得m±，n±或±.答案：±±或±7在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·3，则点P的轨迹方程为_解析：由题意(x，y)，(1,2)，则·x2y.由·3，得x2y3，即x2y30.答案：x2y308过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过原点O作OMAB，垂足为M，则点M的轨迹方程是_解析：设M(x，y)，OMAB，F(2,0)，·0.(x，y)，(2x，y)，x(2x)y20，x2y22x0.答案：x2y22x09下列命题是否正确？若不正确，请说明理由(1)过点(5,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|5；(2)到直线yx的距离等于的点的轨迹方程是xy20.解析：(1)不正确，因为以方程|x|5的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|5所表示的图形的一部分(2)不正确因为到直线yx距离等于的点的轨迹是两条直线l1：xy20和l2：xy20.10已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求点M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解析：(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知·0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.所以点M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故点O在线段PM的垂直平分线上又点P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，故直线l的方程为yx.又|OM|OP|2，点O到直线l的距离为，|PM|2，所以POM的面积为××.B组能力提升1方程x(x2y21)0和x2(x2y21)20所表示的图形是()A前后两者都是一条直线和一个圆B前后两者都是两个点C前者是一条直线和一个圆，后者是两个点D前者是两点，后者是一条直线和一个圆解析：x(x2y21)0x0或x2y21，表示直线x0和圆x2y21.x2(x2y21)20，表示点(0,1)，(0，1)答案：C2设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2 ，且·1，则点P的轨迹方程是()A.x23y21(x>0，y>0)B.x23y21(x>0，y>0)C3x2y21(x>0，y>0)D3x2y21(x>0，y>0)解析：设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由2 ，得(x，yb)2(ax，y)，即ax>0，b3y>0.点Q(x，y)，故由·1，得(x，y)·(a，b)1，即axby1.将a，b代入axby1，得所求的轨迹方程为x23y21(x>0，y>0)答案：A3若动圆P过点N(2,0)，且与另一圆M：(x2)2y28相外切，则动圆P的圆心的轨迹方程是_解析：因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径又因为动圆P与圆M外切，所以有|PM|PN|2，即|PM|PN|2.故点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2，焦距|MN|为4的双曲线的左支即有a，c2，所以b，从而动圆P的圆心的轨迹方程为1(x)答案：1(x)4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且满足|PM|2，点P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是_解析：以D为坐标原点，以，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，易知M(1,2,0)，设P(x，y,0)，则由点P到直线A1D1的距离为d，解得y±1.又|PM|2(x1)2(y2)24，故当y1时，无解，当y1时，解得x1±，即所求点P的轨迹为两个点，即P(1±，1,0)答案：两个点(1，1,0)，(1，1,0)5已知曲线C：yx2与直线l：xy20交于两点A(xA，yA)和B(xB，yB)，且xA<xB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点P(s，t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程解析：由，解得A(1,1)，B(2,4)设点Q，M的坐标分别为Q(x1，y1)，M(x，y)，依题意得x1，y1.于是x，y.s，t.1<s<2，1<<2，即<x<.又点P(s，t)在曲线C上，ts2.将代入，得()2，即y2x2x(<x<)6设mR，在平面直角坐标系中，已知a(mx，y1)，b(x，y1)，ab，动点M(x，y)的轨迹为E.求轨迹E的方程，并说明该方程所表示的曲线的形状解析：ab，a·b0，即mx2y210.当m0时，方程为y±1，表示两条直线；当m1时，方程为x2y21，表示圆；当m>0且m1时，方程表示椭圆；当m<0时，方程表示双曲线
