2021_2021学年新教材高中数学5一元函数的导数及其应用5.3.2.3函数极值与最值的综合应用课时作业含解析新人教A版选择性必修第二册.doc

课时作业(二十一)函数极值与最值的综合应用练基础1已知函数f(x)xxln x，当x>1时，求证：f(x)>3(x1)2已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数证明：(1)f(x)在区间存在唯一的极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点3一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？提能力4已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)若a2，正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)x1x20，求证：x1x2.战疑难5已知函数f(x)ex2xa(aR)有两个不同的零点x1，x2.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1x2>0.课时作业(二十一)函数极值与最值的综合应用1证明：令g(x)f(x)3(x1)即g(x)xln x2x3(x>0)则g(x)ln x1由g(x)>0得，x>e；由g(x)<0得0<x<e.所以函数g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，所以g(x)在(1，)上的最小值为g(e)3e>0.于是在(1，)上，都有g(x)g(e)>0，所以f(x)>3(x1)2证明：(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减，而g(0)>0，g<0，可得g(x)在有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(x)>0；当x时，g(x)<0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)当x(1,0时，由(1)知f(x)在(1,0)上单调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)<0，故f(x)在(1,0)上单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0上的唯一零点当x(0，时，由(1)知f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，而f(0)0，f()<0，所以存在(，)，使得f()0，且当x(0，)时，f(x)>0；当x(，)时，f(x)<0.故f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减又f(0)0，f()1ln(1)>0，所以当x(0，时，f(x)>0.从而，f(x)在(0，上没有零点当x(，时，f(x)<0，所以f(x)在(，)上单调递减而f()>0，f()<0，所以f(x)在(，上有唯一零点当x(，)时，ln(x1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(，)上没有零点综上，f(x)有且仅有2个零点3解析：设轮船速度为x(x>0)千米/时的燃料费用为Q元，则Qkx3，由6k×103，可得k.所以Qx3.所以总费用y·x2.y，令y0，得x20.所以当x(0,20)时，y<0，此时函数单调递减，当x(20，)时，y>0，此时函数单调递增所以当x20时，y取得最小值所以此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小4解析：(1)当a0时，f(x)ln xx，由f(1)1，所以切点为(1,1)，又因为f(x)1，所以切线斜率kf(1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)证明：当a2时，f(x)ln xx2x(x>0)由f(x1)f(x2)x1x20，得ln x1xx1ln x2xx2x1x20，从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，令tx1x2(t>0)，令(t)tln t，得(t)1，易知(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，因为x1>0，x2>0，所以x1x2成立5解析：(1)因为f(x)ex2xa，所以f(x)ex2，令f(x)>0，得x>0，令f(x)<0，得x<0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以f(x)minf(0)4a.要使函数f(x)有两个不同的零点，必须满足f(x)min<0，所以a>4.若a>4，注意到，f(a)eaa>0，所以函数f(x)在(0，)上有且只有一个零点；f(a)3ea3a>3(eaa)，令t(x)exx，x>4，则t(x)ex1>0，所以t(x)在(4，)上单调递增，所以t(x)>e44>0，从而f(a)>0，所以函数f(x)在(，0)上有且只有一个零点综上所述，实数a的取值范围为(4，)(2)由(1)知x1x2<0，不妨设x1<0<x2.令h(x)f(x)f(x)4x2ex，则h(x)42(ex)440，所以h(x)在(，)上单调递减由于x2>0，所以h(x2)<h(0)0，即f(x2)f(x2)<0，所以f(x2)<f(x2)注意到f(x1)f(x2)，所以f(x1)<f(x2)，又x1<0，x2<0，f(x)在(，0)上单调递减，所以x1>x2，所以x1x2>0.