2021_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.2正弦定理课时素养检测含解析新人教A版必修第二册.doc
课时素养检测十二正 弦 定 理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(2020·珠海高一检测)锐角ABC中,下列不等关系总成立的是()A.sin A<cos BB.sin B<cos AC.sin A>sin BD.sin B>cos A【解析】选D.因为锐角ABC中,0<C<<A+B<,所以>A>-B>0,因为sin A>sin=cos B,故选A选项不正确;因为sin A与sin B大小不定,所以C选项不正确;所以cos A<cos=sin B,所以B不正确,D选项正确.2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,则C=()A.30°B.45°C.150°D.30°或150°【解题指南】利用正弦定理解三角形,根据大边对大角,即可得解.【解析】选A.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,B=60°,则由正弦定理可得=,所以sin C=,因为c<b,所以C=30°.3.在ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则得此三角形()A.无解B.有两解C.有一解D.解的个数不确定【解析】选B.如图,因为bsin A<a<b,所以B有两解.4.在ABC中,已知(b+c)(c+a)(a+b)=456,则sin Asin Bsin C等于()A.654B.753C.357D.456【解题指南】sin Asin Bsin C=abc.【解析】选B.因为(b+c)(c+a)(a+b)=456,所以=.令=k(k>0),则解得所以sin Asin Bsin C=abc=753.【补偿训练】在ABC中,若ABC=123,则abc等于()A.123B.321C.12D.21【解析】选C.因为ABC=123,A+B+C=,所以A=,B=,C=,由正弦定理,得abc=sin Asin Bsin C=12.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B+bcos A=4sin C,则ABC的外接圆面积为()A.16B.8C.4D.2【解题指南】设ABC的外接圆半径为R,由acos B+bcos A=4sin C,利用余弦定理化简可得c=4sin C,利用正弦定理可求2R=4,解得R=2,从而可得结果.【解析】选C.设ABC的外接圆半径为R,因为acos B+bcos A=4sin C,所以由余弦定理可得a×+b×=c=4sin C,所以2R=4,解得R=2,所以ABC的外接圆面积为S=R2=4.【补偿训练】在ABC中,若sin A=,a=10,则边长c的取值范围是()A.(0,10)B.(10,+)C.D.【解析】选D.由正弦定理,得=,得c=sin C,又sin C(0,1,所以c(0,.6.(多选题)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足sin B=2sin Acos C+cos Asin C,则下列结论可能正确的是()A.a=2bB.b=2cC.B=D.C=【解析】选AD.由题意,得sin B+2sin Bcos C=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A,得C=或2b=a.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=,则b=_. 【解析】因为在ABC中,A=105°,C=45°,所以B=180°-A-B=180°-105°-45°=30°.再由正弦定理=,即=,解得b=1.答案:18.在ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,则ABC的面积为_. 【解析】如图所示,由正弦定理,得sin C=.而c>b,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.所以SABC=bcsin A=或.答案:或三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知ABC中,a=,b=,B=45°,求A,C和边c.【解析】由正弦定理=,得sin A=.因为a>b,所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c=,当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c=.10.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.【解析】(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正弦定理、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0<A<,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知在ABC中,a=1,b=,B=45°,则A等于()A.150°B.90°C.60°D.30°【解析】选D.由正弦定理,得=,得sin A=.又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.2.在ABC中,若A>B,则下列结论一定正确的是()A.sin A>sin BB.sin A<sin BC.sin A>cos BD.cos A>cos B【解题指南】先由三角形大角对大边,再由正弦定理变形公式判断.【解析】选A.设A,B对应的边分别为a,b,因为A>B,所以a>b,由正弦定理得,2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B.【补偿训练】在ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为()A.A>BB.A<BC.ABD.A,B的大小不能确定【解题指南】先由正弦定理说明a>b,然后再根据ABC中大角对大边的原理去判断.【解析】选A.由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B.因为sin A>sin B.所以a>b,所以A>B.3.(多选题)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则下列结论正确的是()A.C60°B.C>60°C.a2+b2=c2D.a2+b2=2c2【解题指南】利用二倍角公式化简条件等式,利用正弦定理建立三角形的边长的关系式,利用余弦定理的变形公式确定角的取值范围.【解析】选AD.由cos 2A+cos 2B=2cos 2C,得1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C),即sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理可得a2+b2=2c2.由余弦定理可得c2+2abcos C=2c2,所以cos C=,所以cos C的最小值为,由于函数y=cos x,x(0,)为减函数,所以0<C,即C60°.4.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2acos B=c,且满足sin AsinB(2-cos C)=sin2+,则ABC为()A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.根据等式2acos B=c,利用正弦定理化简得2sin Acos B=sin C,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,即sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0,因为A与B都为ABC的内角,所以A-B=0,即A=B.方法一:由sin AsinB(2-cos C)=sin2+变形得sin2A2-cos(-2A)=(1-cos C)+=1-cos C=1-cos(-2A),即sin2A(2+cos 2A)=1+cos 2A,sin2A(1+2cos2A)=+cos2A,(1-cos2A)(1+2cos2A)=+cos2A,得cos4A=,cos2A=,得cos A=±,由于0°<A<90°,所以A=B=45°,C=90°,则ABC为等腰直角三角形.方法二:由sin Asin B(2-cos C)=sin2+变形得sin Asin B(2-cos C)=(1-cos C)+=1-cos C,-cos(A+B)-cos(A-B)(2-cos C)=1-cos C,所以-(-cos C-1)(2-cos C)=1-cos C,即(cos C+1)(2-cos C)=2-cos C,因为2-cos C0,所以cos C+1=1.所以cos C=0,所以C=90°,则ABC为等腰直角三角形.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=bsin A,则sinB=_. 【解析】由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以sin A=sin B·sin A,故sin B=.答案:6.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=_. 【解析】方法一:由正弦定理bcos C+ccos B=2b,即sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin(B+C)=2sin B,sin(-A)=2sin B,有sin A=2sin B,再由正弦定理得a=2b,=2.方法二:如图,作ADBC于点D,则a=BC=BD+DC=ccos B+bcos C=2b,即=2.答案:27.在ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足2b=a+c,且A-C=90°,则cos B=_. 【解析】因为2b=a+c.所以由正弦定理,得2sin B=sin A+sin C.因为A-C=90°,所以2sin B=sin(90°+C)+sin C,所以2sin B=cos C+sin C.所以2sin B=sin(C+45°).因为A+B+C=180°且A-C=90°,所以C=45°-,代入式中,2sin B=sin.所以2sin B=cos.所以4sincos=cos.所以sin=.所以cos B=1-2sin2=1-=.答案:8.在锐角ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于_,AC的取值范围为_. 【解题指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函数的值域求取值范围.【解析】设A=,则B=2.由正弦定理得=,即=,所以=1=2.由锐角ABC得0°<<45°,又0°<180°-3<90°30°<<60°,故30°<<45°<cos <,所以AC=2cos (,).答案:2(,)三、解答题(共38分)9.(12分)已知在ABC中,D为BC的中点,cosBAD=,cosCAD=,(1)求BAC的值;(2)求的值.【解析】(1)因为cosBAD=,cosCAD=,所以在ABC中,BAD,CAD为锐角,所以sinBAD=,sinCAD=,cosBAC=cos(BAD+CAD)=×-×=,因为0<BAC<,所以BAC=.(2)在ABC中,=,在ABD中,=,=,又因为BC=2BD,所以=.10.(12分)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b=6,a=2,A=30°,试求ac的值.【解析】由正弦定理=得sin B=.由条件b=6,a=2,b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在RtABC中,C=90°,a=2,b=6,c=4,所以ac=2×4=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,所以A=C,则有a=c=2.所以ac=2×2=12.11.(14分)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC的面积为acsin 2B.(1)求sinB的值;(2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2A,且BC的中点为D,求ABD的周长.【解析】(1)由题意得acsin B=acsin 2B,即sin B=2sin Bcos B,因为0<B<,所以sin B>0,故cos B=.所以sin B=.(2)由3sin2C=5sin2B·sin2A,sin2B=,得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,即4c=5a.因为c=5,所以a=4,BD=a=2.在ABD中,由余弦定理得AD2=c2+BD2-2c·BD·cos B=25+4-2×5×2×=24,所以AD=2,所以ABD的周长为c+BD+AD=7+2.【补偿训练】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,sin(A+B)=,ac=2,求sin A和c的值.【解析】在ABC中,由cos B=,得sin B=,因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=.因为sin C<sin B,所以C<B,可知C为锐角,所以cos C=.因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.由正弦定理=,得a=2c,又ac=2,所以c=1.
