2021_2021学年高中数学第1章导数及其应用1.2.2函数的和差积商的导数课时素养评价含解析苏教版选修2_.doc
课时素养评价四函数的和、差、积、商的导数 (25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列运算中正确的是()A.(ax2+bx+c)=a(x2)+b(x)B.(cos x-2x2)=(cos x)-2(x2)C.(sin 2x)=(sin x)·cos x+(cos x)·cos xD.=(2x)+(x-2)【解析】选A.因为(cos x-2x2)=(cos x)-2(x2),故B错误;因为(sin 2x)=2(sin x)·cos x+2sin x·(cos x),故C错误;因为=(2x)-(x-2),故D错误.只有A正确.2.(2020·全国卷)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为 ()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.3.函数f(x)=x3-mx+3,若f(1)=0,则m=()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.f(x)=3x2-m,所以f(1)=3-m=0,所以m=3.4.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=2x·f(1)+ln x,则f(1)=()A.-2B.-1C.0D.1【解析】选B.由f(x)=2xf(1)+ln x,得f(x)=2f(1)+,所以f(1)=2f(1)+1,则f(1)=-1.5.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2【解析】选A.因为y=,所以切线斜率k=y|x=-1=2,故切线方程为y=2x+1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=ax3+3x2+2,若f(-1)=4,则a的值等于_. 【解析】f(x)=3ax2+6x,所以f(-1)=3a-6=4,解得a=.答案:7.已知函数f(x)=ex·cos x-x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为_. 【解题指南】通过求导得切线斜率,一点一斜率可确定切线方程,最后将方程化为一般式.【解析】f(x)=excos x-exsin x-1,当x=0时,f(0)=e0cos 0-e0sin 0-1=0.又f(0)=e0·cos 0-0=1,所以切线方程为y=1.答案:y=1【补偿训练】 曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为_. 【解题指南】通过求导得切线斜率,一点一斜率可确定切线方程,最后将方程化为一般式.【解析】y=3ln x+4,故当x=1时,y=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x-y-3=0.答案:4x-y-3=08.设函数f(x)=ln x,g(x)=ax+(a,bR),若函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,则a=_,b=_. 【解析】f(x)=,当x=1时,f(1)=1,切点(1,0),又g(x)=a-,依据题意可得即得a=,b=-.答案:-【补偿训练】已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则 a=_. 【解析】因为f(x)=3ax2+1,所以图象在点(1,f(1)处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7=(3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切点为(1,f(1),所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2,所以-3a+6=a+2,解得a=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的导数.(1)f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5).(2)f(x)=xtan x-.【解析】(1)因为f(x)=2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5,所以f(x)=10x4+32x3-15x2+4x+8.(2)f(x)=tan x+-.【补偿训练】 求下列函数的导数:(1)y=x.(2)y=(+1).【解析】(1)因为y=x=x3+1+,所以y=3x2-.(2)因为y=(+1)=-+,所以y=-=-.10.已知抛物线y=f(x)=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a,b,c的值.【解题指南】本题考查导数的几何意义.函数在x=2处的导数等于直线y=x-3的斜率.由题意构造出关于a,b,c的方程组,然后求解.【解析】因为f(1)=1,所以a+b+c=1. 又因为f(x)=2ax+b,f(2)=1,所以4a+b=1.又切点(2,-1)在抛物线上,所以4a+2b+c=-1. 把联立得方程组解得即a=3,b=-11,c=9. (20分钟·40分)1.(5分)已知f(x)=x2+cos x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图象是()【解析】选A.函数f(x)=x2+cos x,f(x)=-sin x,f(-x)=-sin(-x)=-=-f(x),故f(x)为奇函数,故函数图象关于原点对称,排除B,D,f=×-sin=-<0.故C不对,A正确.2.(5分)设函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1,则数列(nN*)的前n项和是()A.B.C.D.【解析】选A.因为f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1,所以m=2,a=1,所以f(x)=x2+x,即f(n)=n2+n=n(n+1),所以数列(nN*)的前n项和为:Sn=+=+=1-=.3.(5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为_. 【解析】由y=ex,知曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k1=e0=1.设P(m,n),又y=(x>0)的导数y=-,曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-.依题意k1k2=-1,所以m=1,从而n=1.则点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)4.(5分)若曲线y=f(x)=x4-x在点P处的切线垂直于直线x+3y=0,则点P的坐标是_. 【解析】设点P(x0,y0),则f(x)=4x3-1,f(x0)=4-1,由题意4-1=3,解得x0=1,故点P的坐标是(1,0).答案:(1,0)5.(10分)求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-2).(2)f(x)=.【解析】(1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)·(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.【一题多解】y=(6x3-4x2+9x-6)=18x2-8x+9.(2)f(x)=(x2+1)·=+,f(x)=-=-=.【误区警示】解答(2)时容易出现=的错误.6.(10分)已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4.(1)求曲线C在点(1,-4)处的切线方程.(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?若有,求出公共点;若没有,说明理由.【解析】(1)y=12x3-6x2-18x,当x=1时,y=-12,所以曲线在点(1,-4)处的切线斜率为-12,所以所求切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.(2)设(1)中的切线与曲线C还有其他公共点,于是由整理得3x4-2x3-9x2+12x-4=0.x3(3x-2)-(3x-2)2=0,(3x-2)(x3-3x+2)=0,即(x+2)(3x-2)(x-1)2=0.所以x=-2,x=,x=1.即除切点外还有交点(-2,32)和.【拓展延伸】存在性问题的解决策略 先假设存在,通过推理、计算,看能否得出正确的结果,然后下结论,本题的难点在于对式子的恒等变形.【补偿训练】 已知曲线y=2+1,在曲线上是否存在点P,使在点P处曲线的切线与y=-2x+3垂直,若存在,求出点P的坐标并求出在该点处的切线方程;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在点P(x0,y0)满足题设条件.由已知可得,y=-2x+3的斜率为k1=-2.因为切线与y=-2x+3垂直,所以切线的斜率为k=.又y=(2+1)=2·=,所以=x0=4,所以切点为(4,5).所求切线方程为y-5=(x-4),即x-2y+6=0.
