2021_2022学年高中数学模块素养评价含解析北师大版必修.doc
模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020·焦作高一检测)集合A=,B=,则AB= ()A. B.C.R D.(-3,-2)(0,1)【解析】选D.解x2+2x>0,得x>0或x<-2;解x2+2x-3<0,得-3<x<1,所以AB=(-3,-2)(0,1).2.(2020·襄阳高一检测)若a>b>0,c>d>0,则一定有 ()A.>B.<C.>D.<【解析】选C.由题可得cd>0,则>0.因为a>b,c>d>0,则ac>bc,bc>bd,则有ac>bd,所以ac·>bd·,即>.3.已知正实数a,b满足4a+b=30,当+取最小值时,实数对(a,b)是()A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)【解析】选A.+=··30=(4a+b)=5+2 =.当且仅当即时取等号.4.(2020·天津高一检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=30°,b=,c=2,则角A为()A.15°B.45°C.15°或105°D.45°或135°【解析】选C.在ABC中,B=30°,b=,c=2,由正弦定理得=,即=,所以sin C=,因为c>b,所以C>B,又C(0,),所以C=45°或135°,故A=105°或15°.5.张邱建算经是中国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈,头节高五寸,头圈一尺三.逐节多三分,逐圈少分三.一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远?”(注释:第一节的高度为0.5尺;第一圈的周长为1.3尺;每节比其下面的一节多0.03尺;每圈周长比其下面的一圈少0.013尺).问:此民谣提出的问题的答案是()A.72.705尺B.61.395尺C.61.905尺D.73.995尺【解析】选B.因为每竹节间的长相差0.03尺,设从地面往上,每节竹长为a1,a2,a3,a30,所以an是以a1=0.5为首项,以d=0.03为公差的等差数列,由题意知竹节圈长,后一圈比前一圈细0.013尺,设从地面往上,每节节圈长为b1,b2,b3,b30,由bn是以b1=1.3为首项,d=-0.013为公差的等差数列,所以一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是:S30=+30×1.3+×(-0.013)=61.395.6.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,sin A=,且b<c,则B=()A. B. C.D.【解析】选A.在ABC中,因为a=2,c=2,sin A=,a<c,可得A=,cos A=,所以sin C=,可得cos C=±,即C=或,因为b<c,B为锐角,所以当C=时,B=,矛盾,舍去,故C=,所以B=-A-C=.7.(2020·淮北高一检测)已知等比数列中,若a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为()A.128B.64 C.16 D.8【解析】选B.a4(a6+2a8)+a3a11=a4a6+2a4a8+a3a11=+2a5a7+=64.8.已知a,b,cR,a+b+c=0,abc>0,T=+,则() A.T>0B.T<0C.T=0D.T0【解析】选B.取特殊值,a=2,b=c=-1,则T=-<0,排除A,C,D.9.(2020·沈阳高一检测)已知在等差数列中,S9=18,Sn=240,an-4=30(n>9),则项数n为()A.10B.14C.17D.15【解析】选D.由等差数列的性质可得S9=18,解得a5=2,故a5+an-4=32,而Sn=16n=240,解得n=15.10.(2020·青岛高一检测)已知函数f(x)=x2+mx+4,若f(x)>0对任意实数x(0,4)恒成立,则实数m的取值范围是()A.-4,+) B.(-4,+)C.(-,-4D.(-,-4)【解析】选B.由题意得函数x2+mx+4>0对任意实数x(0,4)恒成立,所以m>-对任意实数x(0,4)恒成立.因为-2=-4(当且仅当x=2时取等号),所以m>-4.11.用砖砌墙,第一层(底层)用了全部砖块的一半多一块,第二层用了剩下的一半多一块,以此类推,每一层都用了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好把砖用光,那么,共用的砖块数为()A.1 022B.1 024C.1 026D.1 028【解析】选A.设从上层到底层砖块分别为a1,a2,a9,则an=Sn+1,那么an-1=Sn-1+1,(n2),那么a1=2,an-an-1=an,即an=2an-1,因此,每层砖块数构成以2为首项,以2为公比的等比数列,所以S9=210-2=1 022.12.已知an是首项为32的等比数列,Sn是其前n项和,且=,则数列|log2an|前10项和为()A.29B.58C.116D.232【解析】选B.设公比为q,因为an是首项为32的等比数列,Sn是其前n项和,且=,所以=,所以1+q3=,所以q=,所以an=32·=27-2n,所以|log2an|=|7-2n|,所以数列|log2an|前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.数列an中,若an=则其前6项和为. 【解析】由an=可得其前6项和为(a1+a3+a5)+(a2+a4+a6)=(1+5+9)+(4+16+64)=15+84=99.答案:9914.(2020·全国卷)若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为. 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数z=x+7y,即:y=-x+z,其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程:,可得点A的坐标为:A,据此可知目标函数的最大值为:zmax=1+7×0=1.答案:115.(2020·阜阳高一检测)等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn且=,则=. 【解析】因为等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn,所以由等差数列的性质可得=,又=,所以=.答案:16.(2020·柳州高一检测)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin A=acos B,b=2,ABC的面积为,则ABC的周长为. 【解析】因为bsin A=acos B,由正弦定理可得sin Bsin A=sin Acos B,因为sin A0,所以sin B=cos B,即tan B=,所以B=30°,则ABC的面积S=acsin 30°=,故ac=4.由余弦定理可得cos B=,解得a+c=2+2,所以ABC的周长为a+b+c=4+2.答案:4+2三、解答题(共70分)17.(10分)(2020·无锡高一检测)已知数列满足:an+1=2an-n+1,a1=3.设数列满足bn=an-n.(1)求证:数列是等比数列;(2)求出数列的通项公式和前n项和公式Sn.【解析】(1)bn+1=an+1-(n+1)=2an-n+1-(n+1)=2(an-n)=2bn,又b1=a1-1=3-1=2,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得bn=2n,所以an=2n+n,所以Sn=(21+1)+(22+2)+(2n+n)=(21+22+2n)+(1+2+3+n)=+=2n+1-2+.18.(12分)(2020·新高考全国卷)在ac=,csin A=3,c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】方案一:选条件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c.由ac=,解得a=,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c,B=C=,A=.由csin A=3,所以c=b=2,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=2.方案三:选条件.由C=和余弦定理得=.由sin A=sin B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c.由c=b与b=c矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.19.(12分)(2020·淮北高一检测)在ABC中,BAC=,D是BC上一点,ADAC且AD=1.(1)若AB=,求BC;(2)求+.【解析】(1)BAD=BAC-DAC=-=,在ABD中,由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosBAD=3+1-2××1×=1,所以ABD为等腰三角形,所以B=BAD=,所以C=-B=,所以DC=2,故BC=BD+CD=3.(2)方法一:设C=,在ACD中,tan =,又B=-,ADB=+,在ABD中由正弦定理知=,即=,所以=,故+=+=.方法二:由SACD+SABD=SABC,得AC·ADsinCAD+AB·ADsinBAD=AB·ACsinBAC,两边同时除以AB·AC·AD,得+=,即+=,即+=.20.(12分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16.(1)求不等式g(x)<0的解集;(2)若对一切x>2,均有f(x)(m+2)x-m-15恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)g(x)=2x2-4x-16<0,所以(2x+4)(x-4)<0,所以-2<x<4,所以不等式g(x)<0的解集为x|-2<x<4.(2)因为f(x)=x2-2x-8.当x>2时,f(x)(m+2)x-m-15恒成立,所以x2-2x-8(m+2)x-m-15,则x2-4x+7m(x-1).所以对一切x>2,均有不等式m成立.又=(x-1)+-22-2=2(当x=3时等号成立).所以实数m的取值范围是(-,2.21.(12分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:产品A/件产品B/件研制成本与搭载费用之和/(万元/件)2030计划最大资金额300万元产品重量/(千克/件)105最大搭载重量110千克预计收益/(万元/件)8060试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?【解析】设搭载产品A x件,产品B y件,预计总收益z=80x+60y.则作出可行域,如图.作出直线l0:4x+3y=0并平移,由图像得,当直线经过M点时z能取得最大值,由解得即M(9,4).所以zmax=80×9+60×4=960(万元).即搭载产品A 9件,产品B 4件,可使得总预计收益最大,为960万元.22.(12分)等差数列an的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30,数列bn满足b1+2b2+nbn=an.(1)求an;(2)设cn=bn·,求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,因为a2=4,S5=30,所以解得a1=d=2.所以an=2+2(n-1)=2n.(2)因为b1+2b2+nbn=an,所以当n=1时,b1=a1=2;当n2时,b1+2b2+(n-1)=,所以nbn=an-=2,解得bn=.所以cn=bn·=4.所以数列cn的前n项和Tn=4=4=.