2021_2022学年高中数学第一章数列3.1.1等比数列课时素养评价含解析北师大版必修.doc
七等 比 数 列(20分钟35分)1.下列命题中正确的是()A.若a,b,c是等差数列,则lg a,lg b,lg c是等比数列B.若a,b,c是等比数列,则lg a,lg b,lg c是等差数列C.若a,b,c是等差数列,则10a,10b,10c是等比数列D.若a,b,c是等比数列,则10a,10b,10c是等差数列【解析】选C.若a,b,c成等差数列,则2b=a+c,所以10a·10c=10a+c=102b=(10b)2,所以10a,10b,10c是等比数列.2.在首项a1=1,公比q=2的等比数列an中,当an=64时,项数n等于()A.4B.5C.6D.7【解析】选D.因为an=a1qn-1,所以1×2n-1=64,即2n-1=26,得n-1=6,解得n=7.3.(2020·高新高一检测)若正项等比数列满足a2a3=a4,且a1+a3=2,则公比为()A.-1B.1C.2D.3【解题指南】根据a2a3=a4可计算出首项a1的值,再根据a1+a3=2以及a1的值即可计算出公比q的值.【解析】选D.因为a2a3=a4,所以q3=a1q3,所以a1=1,又因为a1+a3=2所以1+q2=2,所以q2-2q-3=0,所以q=3或q=-1,又因为是正项等比数列,所以q=3.4.等比数列an的公比为q,且|q|1,a1=-1,若am=a1·a2·a3·a4·a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12【解析】选C.因为a1·a2·a3·a4·a5=a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4=·q10=-q10,am=a1qm-1=-qm-1,所以-q10=-qm-1,所以10=m-1,所以m=11.5.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于平方厘米. 【解析】依题意这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列an(1n10,nN+),则第10个正方形的面积S=2×()92=4×29=2 048(平方厘米).答案:2 0486.在等比数列an中,(1)已知a2=18,a4=8,求a1与q.(2)已知a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.【解析】(1)由已知得解这个方程组,得或(2)根据题意,有方程两边分别相除,得=.整理得2q2-5q+2=0.解这个方程,得q=2或q=.当q=2时,a1=1;当q=时,a1=-16.所以a3=4或a3=-4.【补偿训练】 已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(an-1) (nN+).(1)求a1,a2;(2)求证:数列an是等比数列.【解析】(1)由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),所以a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.(2)当n2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,又=-,所以an是首项为-,公比为-的等比数列. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设等比数列an的前三项分别为,则该数列的第四项为()A.1B.C.D.【解析】选A.q=,所以a4=·=1.2.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i,jN+),则a53的值为()A.B.C.D.【解析】选C.第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a51=+(5-1)×=.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,所以a53=×=.3.(2020·余姚高一检测)设为等比数列,给出四个数列:,.其中一定为等比数列的是()A.B.C.D.【解题指南】设an=a1qn-1,再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【解析】选D.设an=a1qn-1,2an=2a1qn-1,所以数列是等比数列;=q2n-2=(q2)n-1,所以数列是等比数列;=,=不是一个常数,所以数列不是等比数列;=不是一个常数,所以数列不是等比数列.4.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂()A.55 986只B.46 656只C.216只D.36只【解题指南】先由题得到an是公比为6的等比数列,再利用等比数列的通项求出a6得解.【解析】选B.设第n天所有的蜜蜂都归巢后共有an只蜜蜂,则有an+1=6an,a1=6,则an是公比为6的等比数列,则a6=a1q5=6×65=46 656.5.(2020·石家庄高一检测)已知数列是首项a1=4,公比q1的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则公比q等于()A.-1B.C.-2D.2【解题指南】由等差数列的性质得2a5=4a1-2a3,由此利用等比数列通项公式能求出公比.【解析】选A.因为数列是首项a1=4,公比q1的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,所以2a5=4a1-2a3,所以2=4×4-2,解得q=1(舍)或q=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在数列an中,对任意nN+,都有an+1-2an=0(an0),则等于. 【解析】由an+1-2an=0得=2,所以数列an是公比为2的等比数列,所以=.答案:7.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为. 【解析】设等比数列的公比为q,由得,解得所以a1a2an=q1+2+(n-1)=8n×=,于是当n=3或4时,a1a2an取得最大值26=64.答案:648.在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则a+b+c的值为. 120.51abc【解析】因为每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,所以根据第三列,得2×a=12,可得a=.在第一列中,公比q=,第3个数为=,第4个数为=,第三列中,公比q=,第4个数为2×=,所以第四行中的公差d=,所以第四行中第4个数b=+=,同理c=,所以a+b+c=+=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等差数列满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求的通项公式;(2)设等比数列满足b2=a3,b3=a7.若b6=ak,求k的值.【解析】(1)由题意,得等差数列的公差d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+d=10,a1=4,所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×2=2n+2;(2)由(1),得b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b6=b2q4=8×24=128,所以ak=2k+2=128,k=63.10.设关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,)有两根和,且满足6-2+6=3.(1)试用an表示an+1.(2)求证:是等比数列.(3)当a1=时,求数列an的通项公式及项的最值.【解析】(1)根据根与系数的关系,得代入题设条件6(+)-2=3,得-=3.所以an+1=an+.(2)因为an+1=an+,所以an+1-=.若an=,则方程anx2-an+1x+1=0,可化为x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0.此时=(-2)2-4×2×3<0,所以an,即an-0.所以数列是以为公比的等比数列.(3)当a1=时, a1-=,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以an-=×=,所以an=+,n=1,2,3,即数列an的通项公式为an=+,n=1,2,3,.由函数y=在(0,+)上单调递减知当n=1时,an的值最大,即最大值为a1=.
