2021_2022版新教材高中数学第七章三角函数7.1.2蝗制及其与角度制的换算课时素养评价含解析新人教B版必修第三册.doc
弧度制及其与角度制的换算(15分钟30分)1.5弧度的角的终边所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为<5<2所以5弧度的角的终边在第四象限.2.下列各式不正确的是()A.45°=B.60°=C.-210°=- D.725°=【解析】选D.由题意,根据角度制与弧度制的互化公式,可得45°=,60°=,-210°=-是正确的,而725°=4+,所以D是不正确的.3.(2020·莆田高一检测)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一方田中有如下两个问题:三三今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?三四又有宛田,下周九十九步,径五十一步.问为田几何?翻译为:三三现有扇形田,弧长30步,直径长16步.问这块田面积是多少?三四又有一扇形田,弧长99步,直径长51步.问这块田面积是多少?则下列说法正确的是()A.问题三三中扇形的面积为240平方步B.问题三四中扇形的面积为平方步C.问题三三中扇形的面积为60平方步D.问题三四中扇形的面积为平方步【解析】选B. 依题意,问题三三中扇形的面积为lr=×30×=120(平方步),问题三四中扇形的面积为lr=×99×=(平方步).4.如果一扇形的圆心角为60°,半径等于3 cm,则该扇形的弧长为cm,面积为cm2. 【解析】圆心角为60°,即等于,由弧长公式可得l=r=×3=,由扇形面积公式可得S=lr=××3=.答案:5.已知角=-920°.(1)把角写成2k+(0<2,kZ)的形式,并确定角所在的象限;(2)若角与的终边相同,且(-4,-3),求角.【解析】(1)因为-920°=-3×360°+160°,160°=,所以=-920°=-3×2+.因为角与终边相同,所以角是第二象限角.(2)因为角与的终边相同,所以设=2k+(kZ).因为(-4,-3),由-4<2k+<-3,可得-<k<-.又因为kZ,所以k=-2.所以=-4+=-.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分.多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()A.B.-C.D.-【解析】选B.因为时针旋转一周为12小时,转过的角度为2,按顺时针转所形成的角为负角,所以经过2小时,时针所转过的弧度数为-×2=-.2.将-1 485°化成+2k(0<2,kZ)的形式是()A.-8B.-8C.-10D.-10【解析】选D.-1 485°=-5×360°+315°,化为+2k(0<2,kZ)的形式为-10.3.如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是()A.B.C.D.tan 1【解析】选B.在三角形AOB中,=sin 1,则r=,扇形的面积S=r2=×2×=.【补偿训练】已知扇形AOB的周长为4,当扇形的面积取得最大值时,扇形的弦长AB等于. 【解析】设扇形的半径为r,可得出扇形的弧长为l=4-2r(0<r<2),所以扇形的面积为S=lr=r(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1,当r=1时,该扇形的面积取到最大值1,扇形的弧长为l=4-2r=2,此时AOB=2,如图所示,取AB的中点C,连接OC,则OCAB,且AOC=1,因此AB=2AC=2rsin 1=2sin 1.答案:2sin 14.(多选题)下列转化结果正确的是()A.67°30化成弧度是B.-化成角度是-600°C.-150°化成弧度是D.化成角度是5°【解析】选AB.对于A,67°30=67.5°×=,正确;对于B,-=-×=-600°,正确;对于C,-150°=-150°×=-,错误;对于D,=×=15°,错误.【光速解题】C选项角度为负值而化为弧度时成了正值,故错误,其次D选项形式较为简单,易验证错误,从而得到正确答案.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知集合A=x|2kx2k+,kZ,集合B=x|-4x4,则AB=. 【解析】如图所示,所以AB=-4,-0,.答案:-4,-0,6.(2020·南京高一检测)分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B,C为圆心,1为半径作圆弧AC,BD交于点E,则BCE的周长为,曲边三角形ABE的周长为. 【解析】因为两圆半径都是1,正方形边长也是1,所以BCE为正三角形,所以BCE的周长为3.圆心角EBC,ECB都是,=×1=,EBA=-=,=×1=,所以曲边三角形ABE的周长是1+=1+.答案:31+【补偿训练】如图所示,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动地翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成30°的角.则点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积分别为. 【解析】所在的圆半径是2 dm,圆心角为;所在的圆半径是1 dm,圆心角为;所在的圆半径是 dm,圆心角为,所以点A走过的路径长是三段圆弧之和,即2×+1×+×=(dm).三段圆弧所在扇形的总面积是××2+××1+××=(dm2).答案:dm,dm2三、解答题7.(10分)已知一扇形的圆心角是,所在圆的半径是R.(1)若=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧长所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是30 cm,当为多少弧度时,该扇形有最大面积?【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,因为=60°=,R=10 cm,所以弧长l=R=(cm).S弓=S扇-S=××10-2××10×sin×10×cos=50(cm2).(2)由l+2R=30,所以l=30-2R(0<R<15),从而S=·l·R=(30-2R)·R=-R2+15R=-+.所以当半径R= cm时,l=30-2×=15(cm),扇形面积的最大值是 cm2,这时=2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad,半径为 cm时,面积最大,为 cm2.【补偿训练】1.如图,以正方形ABCD中的点A为圆心,边长AB为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则EAD的弧度数大小为. 【思路导引】先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求EAD的弧度数.【解析】设AB=1,EAD=,因为S扇形ADE=S阴影BCD,由题意可得×12×=12-,所以=2-.答案:2-2.如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2 cm,BOC=60°,BCO=90°,将BOC绕圆心O逆时针旋转至BOC,点C在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为cm2. 【解析】由题意可知OB=OA=1,OC=OC=BC=BC=,BOC=BOC=60°,扇形AOB的面积为,RtCOB的面积为,故左边空白图形的面积为S1=-,而右边两块空白图形的面积为S2=××+=+,由此可得空白图形的面积为S=S1+S2=+=,而半圆的面积为,所以所求阴影部分的面积为-=(cm2).答案:
