2021_2021学年新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦课时素养检测含解析新人教B版必修第三册.doc
课时素养检测十七两角和与差的余弦(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.计算cos 8°cos 38°+sin 8°sin 38°等于()A.B.C.D.-【解析】选C.逆用两角差的余弦公式,得cos 8°cos 38°+sin 8°sin 38°=cos(8°-38°)=cos(-30°)=cos 30°=.2.式子coscos-sinsin的值为()A.B.0C.1D.-1【解析】选D.根据题意,coscos-sinsin=cos(+)=cos =-1.3.sin 40°sin 10°+cos 40°sin 80°=()A.B.-C.cos 50°D.【解析】选D.原式=sin 40°sin 10°+cos 40°cos 10°=cos(40°-10°)=cos 30°=.4.已知sin =,是第二象限角,则cos(-60°)为()A.B.C.D.【解析】选B.因为sin =,是第二象限角,所以cos =-,故cos(-60°)=cos cos 60°+sin sin 60°=×+×=.5.已知cos=,0<<,则cos 等于()A.B.C.D.【解析】选A.因为,所以+,所以sin =.故cos =cos=coscos +sinsin=×+×=.6.(多选题)下列关于函数f(x)=cos·cos(x)sinsin x的性质叙述中正确的是()A.最小正周期为B.函数图像关于直线x=对称C.函数图像关于直线x=对称D.函数图像关于点对称【解析】选ABC.函数f(x)=coscos(x)sinsin x=coscos(x)+sinsin (x)=cos=cos,所以函数的最小正周期是,由2x+=k,kZ,得x=,kZ,所以函数图像关于直线x=,kZ,对称,故选项B,C都正确.由2x+=k+,kZ,得x=+,kZ,所以函数图像关于点对称,其中,kZ,故选项D不正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.计算cos(+120°)cos sin(+120°)sin ()=. 【解析】方法一:cos(+120°)cos sin(+120°)sin()=cos(+120°)cos()sin(+120°)sin()=cos(+120°)+(-)=cos 120°=-.方法二:cos(+120°)cos sin(+120°)sin()=cos(+120°)cos +sin(+120°)sin =cos(+120°)=cos 120°=.答案:8.已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),若a与b的夹角为,则cos(-)=. 【解析】因为a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),所以=1,又因为a与b的夹角为,所以a·b=cos =1×1×=.又a·b=(cos ,sin )·(cos ,sin )=cos cos +sin sin =cos(-),所以cos(-)=.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.,为锐角,cos(+)=,cos(2+)=,求cos 的值.【解析】因为,为锐角,所以0<+<.又因为cos(+)=>0,所以0<+<,又因为cos(2+)=,所以0<2+<,所以sin(+)=,sin(2+)=,所以cos =cos (2+)-(+)=cos(2+)·cos(+)+sin(2+)·sin(+)=×+×=.10.已知sin +sin =,cos +cos =,0<<<,求-的值.【解析】因为(sin +sin )2=,(cos +cos )2=,以上两式展开两边分别相加得2+2cos(-)=1.所以cos(-)=-.因为0<<<,所以-<-<0,所以-=-.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.计算cos 28°sin 62°+sin 28°sin 152°等于()A.1B.1C.0B.【解析】选A.cos 28°sin 62°+sin 28°sin 152°=cos 28°cos 28°+sin 28°sin(180°28°)=cos 28°cos 28°+sin 28°sin 28°=cos (28°28°)=cos 0°=1.2.满足cos cos =-sin sin 的一组,的值是()A.=,=B.=,=C.=,=D.=,=【解析】选B.由条件cos cos =-sin sin 得cos cos +sin sin =,即cos(-)=,=,=满足题意.【补偿训练】若sin sin =1,则cos(-)的值为()A.0B.1C.±1D.-1【解析】选B.因为sin sin =1,-1sin 1,-1sin 1,所以或者解得于是cos(-)=cos cos +sin sin =1.3.已知tan =4,cos(+)=-,均为锐角,则的值是()A.B.C.D.【解析】选B.因为tan =4,sin2+cos2=1,为锐角,所以sin =,cos =,因为cos(+)=-,且,均为锐角,所以sin(+)=,所以cos =cos (+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-×+×=,又因为为锐角,则=.4.(多选题)若,为两个锐角,则下列大小关系正确的是()A.cos(+)<cos +cos B.cos(+)>cos +cos C.cos(-)>cos cos D.cos(-)<sin sin 【解析】选AC.方法一:不妨取=,=,则cos(+)=cos=cos=0,cos +cos =+,所以cos(+)<cos +cos ,A正确,B不正确.cos(-)=cos=cos=,cos cos =coscos=,sin sin =sin sin =,所以cos(-)>cos cos ,cos(-)>sin sin 所以C正确,D错误.方法二:作差得cos-(cos +cos )=cos cos -sin sin -cos -cos =cos (cos -1)-sin sin -cos ,因为,是锐角,所以cos -1<0,cos (cos -1)<0,-sin sin <0,-cos <0,故cos-(-)-(cos +cos )<0,即cos(+)<cos +cos ,A正确,B错误.因为cos(-)=cos cos +sin sin ,均为锐角,所以cos cos >0,sin sin >0,所以cos(-)=cos cos +sin sin >cos cos ,同理cos(-)>sin sin ,故C正确,D错误.二、填空题(每小题4分,共16分)5.计算cos 1°cos 361°+sin 1°sin 361°=. 【解析】由两角差的余弦公式,得cos 1°cos 361°+sin 1°sin 361°=cos(1°-361°)=cos(-360°)=1.答案:16.已知sin =-,cos =-,则cos(-)=. 【解析】因为sin =-,所以cos =-=-,又cos =-,所以sin =,所以cos(-)=cos cos +sin sin =-×+×=.答案:7.已知cos=,则cos +sin 的值为. 【解析】因为cos=coscos +sinsin =cos +sin =,所以cos +sin =.答案:8.已知ABC中,sin A=,cos B=-,则cos(A-B)=. 【解析】因为cos B=-,且0<B<,所以<B<,所以sin B=,且0<A<,所以cos A=,所以cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B=×+×=-.答案:-三、解答题(共38分)9.(12分)已知cos(-)=-,sin(+)=-,<-<,<+<2,求的值.【解析】因为<-<,cos(-)=-,所以sin(-)=.因为<+<2,sin(+)=-,所以cos(+)=.所以cos 2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=×+×=-1.因为<-<,<+<2,所以<2<,2=,所以=.10.(12分)已知cos +cos =,sin +sin =,计算cos(-)的值.【解析】由cos +cos =(cos +cos )2=,即cos2+2cos cos +cos2=,由sin +sin =(sin +sin )2=,即sin2+2sin sin +sin2=,所以+可得2+2(cos cos +sin sin )=,即2cos(-)=-,即cos(-)=-.11.(14分)(1)把向量=绕原点顺时针方向旋转角,得到向量=,用x,y及角的三角函数表示x'.(2)利用(1)的结论解答下面的问题:如图点B(2,0),半圆上动点A,求等边三角形ABC(逆时针方向排列)的顶点C的横坐标的取值范围.【解析】(1)设的模为r,在角的终边上,则x=rcos ,y=rsin ,由题意可得在角-的终边上,且的模也是r,由三角函数的定义可得x'=rcos=rcos cos +rsin sin =xcos +ysin .即x'=xcos +ysin .(2)设点C,因为动点A在半圆上,所以设点A,0°180°,则向量的坐标为,向量的坐标为,由已知可得向量绕点B顺时针方向旋转60°得到向量,所以由(1)的结论得x1-2=cos 60°+sin sin 60°=cos +sin -1=cos-1,所以x1=1+cos,因为0°180°,所以-60°-60°120°,所以-cos1,所以x1.
