2021_2021学年高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课时素养评价含解析北师大版选修2_.doc

课时素养评价八导数的概念及其几何意义(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知函数f(x)在x=x0处可导，若=1，则f(x0)=()A.-1B.-C.D.1【解析】选C.由已知可得=3=3f(x0)=1，所以f(x0)=.2.设函数f(x)=ax3+2，且f(-1)=3，则a等于()A.-1B.C.D.1【解析】选D.f(-1)= =3a-3a·x+a(x)2=3a.令3a=3，所以a=1.3.已知y=f(x)的图像如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()A.f(xA)>f(xB)B.f(xA)<f(xB)C.f(xA)=f(xB)D.不能确定【解析】选B.由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线的斜率，由图像可知f(xA)<f(xB).【误区警示】解答本题易出现的失误是弄不清楚曲线在点A处切线的斜率大还是在点B处切线的斜率大.4.设曲线y=ax2在点(1，a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a等于()A.1B.C.-D.-1【解析】选A.因为y=(2a+ax)=2a.所以可令2a=2，所以a=1.二、填空题(每小题5分，共10分)5.设y=f(x)为可导函数，且满足条件=-2，则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是_. 【解析】由=-2，所以f(1)=-2，f(1)=-4.答案：-46.根据导数的定义求得函数y=f(x)=x2+3在x=1处的导数为_. 【解析】因为y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2+3-(12+3)=2x+(x)2，所以=2+x.故f(1)=(2+x)=2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1，该质点在2到2+t(t>0)之间的平均速度不大于5，求t的取值范围.【解析】质点在2到2+t之间的平均速度为=4+t.又5，所以4+t5，即t1.又t>0，所以t的取值范围为(0，1.8.已知f(x)=x2，g(x)=x3，求满足f(x)+2=g(x)的x的值.【解析】f(x)= =2x，g(x)= =3x2.因为f(x)+2=g(x)，所以2x+2=3x2.即3x2-2x-2=0，解得x=或x=.(15分钟·30分)1.(5分)若直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点P(1，3)，则b等于()A.3B.-3C.5D.-5【解析】选A.因为点P(1，3)既在直线上又在曲线上，所以3=k+1，且3=1+a+b，即k=2，a+b=2.根据导数的定义知y=x3+ax+b的导数为y=3x2+a，所以3×12+a=k，所以a=-1，b=3.2.(5分)如图，函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9，P点的横坐标是4，则f(4)+f(4)=_. 【解析】由题意得，f(4)=-2，f(4)=-2×4+9=1.因此，f(4)+f(4)=1-2=-1.答案：-13.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f(x)，f(0)>0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为_. 【解析】由导数的几何意义，得f(0)=a·(x)+b=b.因为所以ac，又因为b>0，所以c>0.所以=2.答案：24.(5分)若曲线y=2x2-4x+m与直线y=1相切，则m=_. 【解析】设切点坐标为(x0，1)，则f(x0)=4x0-4=0，所以x0=1，即切点坐标为(1，1).所以2-4+m=1，即m=3.答案：35.(10分)已知曲线C：y=经过点P(0，-1)，求：(1)曲线在点P处的切线的斜率.(2)曲线在点P处的切线的方程.(3)过点O(0，0)的曲线C的切线方程.【解析】(1)将P(0，-1)代入y=中得t=-1，所以y=-.所以=，所以=，所以曲线在点P处切线的斜率为k=1.(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=x，即x-y-1=0.(3)因为点O(0，0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k=，因为y0=-，所以x0=-，所以切点M，切线斜率k=4，切线方程为y+2=4，即y=4x.1.曲线f(x)=x2的平行于直线x-y+1=0的切线方程为_. 【解析】f(x)=x.因为直线x-y+1=0的斜率为1，所以x=1.所以f(1)=×12=，切点为.故切线方程为y-=1·(x-1)，即2x-2y-1=0.答案：2x-2y-1=02.已知点M(0，-1)，F(0，1)，过点M的直线l与曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线平行.(1)求直线l的方程.(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程.【解析】(1)y=f(x)=x3-4x+4，所以f(2)=0，即曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线斜率为0，而l与此切线平行，故l的斜率也为0.又l过点M(0，-1)，所以直线l的方程为y=-1.(2)因为抛物线以点F(0，1)为焦点，y=-1为准线，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，则=1，p=2.故抛物线C的方程为x2=4y.