最新中考数学解直角三角形试题汇编.pdf

第1页（共 31页） 解直角三角形 一、选择题 1(2016 福州， 9,3 分)如图，以圆O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于A，B 两点， P 是上一点（不 与 A，B 重合），连接OP，设 POB= ，则点 P 的坐标是（） A（ sin ， sin ）B（ cos ，cos ）C（ cos ，sin ）D（ sin ，cos ） 【考点】解直角三角形；坐标与图形性质 【专题】计算题；三角形 【分析】过P 作 PQOB，交 OB 于点 Q，在直角三角形OPQ 中，利用锐角三角函数定义表示出OQ 与 PQ，即可确定出P 的坐标 【解答】解：过P作 PQ OB，交 OB 于点 Q， 在 RtOPQ 中， OP=1，POQ= ， sin =，cos =，即 PQ=sin ，OQ=cos ， 则 P 的坐标为（ cos ，sin ）， 故选 C 【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关 键 2(2016 云 南 )一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线， CA 是水平线， BA 与 CA 的夹角为 现 要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4 米，楼梯宽度1 米，则地毯的面积至少需要（） A米 2 B米 2 C（ 4+）米 2 D（ 4+4tan ）米 2 【考点】解直角三角形的应用 【分析】由三角函数表示出BC，得出 AC+BC 的长度，由矩形的面积即可得出结果 第2页（共 31页） 【解答】解：在RtABC 中， BC=AC ?tan =4tan （米）， AC+BC=4+4tan （米）， 地毯的面积至少需要1 （4+4tan ）=4+tan （米 2）； 故选： D 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算； 由三角函数表示出BC 是解决问题的关键 3 （2016四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2 米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡， 数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（） A斜坡 AB 的坡度是10 B斜坡 AB 的坡度是 tan10 CAC=1.2tan10 米DAB=米 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案 【解答】解：斜坡AB 的坡度是 tan10 =，故 B 正确； 故选： B 4（ 2016 山东省聊城市，3 分）聊城 “ 水城之眼 ” 摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与 摩天轮相结合的城市地标，如图，点O 是摩天轮的圆心，长为110 米的 AB 是其垂直地面的直径，小 莹在地面 C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33 ，测得圆心O 的仰角为21 ，则小莹所 在 C 点到直径AB 所在直线的距离约为（tan330.65，tan210.38）（） A169 米 B204 米 C 240 米 D407 米 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】过C 作 CD AB 于 D，在 RtACD 中，求得AD=CD ?tanACD=CD ?tan33 ，在 RtBCO 中，求得 OD=CD ?tanBCO=CD ?tan21 ，列方程即可得到结论 【解答】解：过C 作 CDAB 于 D， 在 RtACD 中， AD=CD ?tanACD=CD ?tan33 ， 在 RtBCO 中， OD=CD ?tanBCO=CD ?tan21 ， AB=110m ， 第3页（共 31页） AO=55m ， A0=AD OD=CD ?tan33 CD?tan21 =55m， CD= 204m， 答：小莹所在C 点到直径 AB 所在直线的距离约为204m 故选 B 【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用 这条公共边是解答此题的关键 5 （ 2016.山东省泰安市，3 分）如图，轮船沿正南方向以30 海里 /时的速度匀速航行，在M 处观测到 灯塔 P 在西偏南68 方向上，航行2 小时后到达N 处，观测灯塔P在西偏南46 方向上，若该船继续向 南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68 =0.9272， sin46 =0.7193，sin22 =0.3746，sin44 =0.6947） （） A22.48 B41.68 C43.16 D55.63 【分析】过点P 作 PAMN 于点 A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA 的长度， 利用锐角三角函数关系进行求解即可 【解答】解：如图，过点P作 PAMN 于点 A， 第4页（共 31页） MN=30 2=60（海里）， MNC=90 ， CPN=46 ， MNP= MNC+ CPN=136 ， BMP=68 ， PMN=90 BMP=22 ， MPN=180 PMN PNM=22 ， PMN= MPN， MN=PN=60 （海里）， CNP=46 ， PNA=44 ， PA=PNsinPNA=60 0.6947 41.68（海里） 故选： B 【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键6 （2016江苏苏 州）如 图 ， 长 4m 的 楼 梯 AB 的 倾 斜 角 ABD为 60 ， 为 了 改 善 楼 梯 的 安 全 性 能 ， 准 备 重 新 建 造 楼 梯 ， 使 其 倾 斜 角 ACD为 45 ， 则 调 整 后 的 楼 梯 AC 的 长 为 （） A 2m B 2m C （ 2 2） m D （ 2 2） m 【 考 点 】 解 直 角 三 角 形 的 应 用 - 坡 度 坡 角 问 题 【 分 析 】 先 在 Rt ABD中 利 用 正 弦 的 定 义 计 算 出 AD ， 然 后 在 Rt ACD中 利 用 正 弦 的 定 义 计 算 AC 即 可 【 解 答 】 解 ： 在 Rt ABD中 ， sin ABD=， 第5页（共 31页） AD=4sin60 =2（ m） ， 在 Rt ACD中 ， sin ACD=， AC=2（ m） 故 选 B 7（2016?辽宁沈阳）如图，在 RtABC 中， C=90 ， B=30 ，AB=8 ，则 BC 的长是（） A B4 C8D4 【考点】解直角三角形 【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可 【解答】解：在RtABC 中， C=90 ， B=30 ， AB=8 ， cosB=， 即 cos30 =， BC=8 =4； 故选： D 【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握 二、填空题 1（ 2016黑龙江大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60方向距小岛80 海里的 B处，沿正西方向航 行 3 小时后到达小岛的北偏西45的 C处，则该船行驶的速度为海里 / 小时 【考点】解直角三角形的应用- 方向角问题 【分析】 设该船行驶的速度为x 海里 / 时，由已知可得BC=3x ，AQ BC ，BAQ=60 ， CAQ=45 ， AB=80 海里，在直角三角形ABQ中求出 AQ 、BQ ，再在直角三角形AQC 中求出 CQ ，得出 BC=40+40=3x，解方 程即可 【解答】解：如图所示： 设该船行驶的速度为x 海里 / 时， 3 小时后到达小岛的北偏西45的 C处， 第6页（共 31页） 由题意得： AB=80海里， BC=3x海里， 在直角三角形ABQ中， BAQ=60 ， B=90 60=30， AQ= AB=40 ，BQ=AQ=40， 在直角三角形AQC中， CAQ=45 ， CQ=AQ=40， BC=40+40=3x， 解得： x= 即该船行驶的速度为海里 / 时； 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30角的直角 三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键 2（ 2016湖北十堰）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF MN ，小 聪在河岸MN上点 A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30 米，到达B处， 测得河对岸电线杆D位于北偏东30方向，此时，其他同学测得CD=10米请根据这些数据求出河的 宽度为（30+10）米（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用- 方向角问题 【分析】如图作 BH EF ， CK MN ， 垂足分别为H、 K ， 则四边形BHCK 是矩形，设 CK=HB=x ， 根据 tan30= 列出方程即可解决问题 【解答】解：如图作BH EF ，CK MN ，垂足分别为H、K ，则四边形BHCK是矩形， 第7页（共 31页） 设 CK=HB=x ， CKA=90 ， CAK=45 ， CAK= ACK=45 ， AK=CK=x ， BK=HC=AKAB=x30， HD=x 30+10=x20， 在 RT BHD中， BHD=30 ， HBD=30 ， tan30=， =， 解得 x=30+10 河的宽度为（30+10）米 【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直 角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型 3. （2016 年浙江省宁波市）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10m 的 A 处测得旗 杆顶端 B 的仰角为60 ，测角仪高AD 为 1m，则旗杆高BC 为10+1m（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】首先过点A 作 AEDC，交 BC 于点 E，则 AE=CD=10m ，CE=AD=1m ，然后在 RtBAE 中， BAE=60 ，然后由三角形函数的知识求得BE 的长，继而求得答案 【解答】解：如图，过点A 作 AEDC，交 BC 于点 E，则 AE=CD=10m ，CE=AD=1m ， 在 RtBAE 中， BAE=60 ， BE=AE ?tan60 =10（m）， BC=CE+BE=10+1（m） 旗杆高 BC 为 10+1m 第8页（共 31页） 故答案为： 10+1 【点评】本题考查仰角的定义注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键 4(2016 福州， 18,4 分)如图， 6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知 菱形的一个角（ O）为 60 ，A，B，C 都在格点上，则tanABC 的值是 【考点】菱形的性质；解直角三角形 【专题】网格型 【分析】如图，连接EA、EB，先证明 AEB=90 ，根据 tanABC=，求出 AE、EB 即可解决问题 【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得 AEF=30 ，BEF=60 ，AE=a， EB=2a AEB=90 ， tanABC= 故答案为 【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构 造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 5 （2016上海）如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30 ，测得底部C 的俯角 为 60 ，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为 90 米，那么该建筑物的高度BC 约为208 米（精确到1 米，参考数据： 1.73） 第9页（共 31页） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD ，DC 的长，进而求出该建筑物的高度 【解答】解：由题意可得：tan30 =， 解得： BD=30， tan60 =， 解得： DC=90， 故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120 208（m）， 故答案为： 208 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键 6(2016 大连， 15，3 分)如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30 方向，距离灯塔 18 海里的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55 方向上的B 处，此时渔船与灯塔P的距离约 为海里（结果取整数）（参考数据：sin550.8，cos550.6，tan551.4） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】作PCAB 于 C，先解 RtPAC，得出 PC=PA=9，再解 RtPBC，得出 PB= 11 【解答】解：如图，作PC AB 于 C， 在 RtPAC 中， PA=18，A=30 ， PC=PA= 18=9， 在 RtPBC 中， PC=9， B=55 ， PB= 11， 答：此时渔船与灯塔P 的距离约为11 海里 故答案为 11 第10页（共 31页） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，含30 角的直角三角形的性质，锐角三角函数 定义解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 三、解答题 1. （2016湖北鄂州）（本题满分9 分）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡 逻力度。一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国 籍的船只停在C处海域。如图所示，AB 6026海里，在 B处测得 C在北偏东45o的方向上， A处测得 C在北偏西30o的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D ，测得 AD 12026海里。 （ 1） （4 分）分别求出A与 C及 B与 C的距离 AC ，BC （结果保留根号） （ 2） （5 分）已知在灯塔D周围 100 海里范围内有暗礁群， 我在 A处海监船沿AC前往 C处盘查，途中有无触礁 的危险？ （参考数据：2 1.41 ，3 1.73 ，62.45 ）第 1 题图 【考点】解直角三角形的应用- 方向角问题 . 【分析】（ 1）过点 C作 CE AB于 E，解直角三角形即可求出A与 C及 B与 C的距离 AC ，BC ； （2）过点 D作 DF AC于 F，解直角三角形即可求出DF的长，再比较与100 的大小，从而得出 结论有无触礁的危险. 【解答】解：作 CE AB于 E, 设 AE x （1 分） 则在 ACE中,CE=3 x AC=2 x 在 BCE中，BE=CE= 3 x BC= 6 x （2 分） 由 AB=AE BE x3 x=60( 62) 解得 x=602 （3 分） 所以 AC=120 2(海里 ) ，BC=120 3 (海里) （4 分） 作 DFAC于 F, （1 分） 第11页（共 31页） 在 AFD中,DF=3/2DA （2 分） DF= 3/2 60(62)=60(3 26) 106.8100 （ 4 分） 所以无触礁危险. （5 分） 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用- 方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为 解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 2. （2016 湖 北黄冈） （满 分 8 分） “一 号龙卷风” 给 小岛 O造成了 较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储处调集物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C， B，A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O. 已知：OA AD， ODA=15 ，OCA=30 ，OBA =45， CD=20km. 若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船， 最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同；参考数据：21.4 ；31.7 ） （第 2 题） 【考点】解直角三角形的应用. 【分析】要知道这批物资在哪个码头装船最早运抵小岛O，则需分别计算出从C，B，A三个码头到小岛 O所需的时间， 再比较， 用时最少的最早运抵小岛O. 题目中已知了速度，则需要求出CO ，CB 、BO ，BA 、 AO的长度 . 【解答】解：OCA=30 ， D=15， DOC=15 . CO=CD=20km. .1 分 在 Rt OAC 中， OCA=30 ， OA=10 ，AC=103. 在 Rt OAB中， OBA=45 ， OA=AB=10 ，OB=102. BC= AC-AB=103-102. .4分 第12页（共 31页） 从 C O所需时间为：2025=0.8 ；. .5分 从 C B O所需时间为： （ 103-102） 50+102250.62 ； .6分 从 C A O所需时间为： 10350+1025 0.74 ；.7分 0.62 0.74 0.8 ， 选择从B 码头上船用时最少. 8 分 （所需时间若同时加上DC段耗时 0.4 小时，亦可） 3 (2016 四 川 资 阳 ) 如 图 ， “ 中 国 海 监 50 ” 正 在 南 海 海 域 A 处 巡 逻 ，岛 礁 B 上 的 中 国 海 军 发 现 点 A 在 点 B 的 正 西 方 向 上 ，岛 礁 C 上 的 中 国 海 军 发 现 点 A 在 点 C 的 南 偏 东 30 方 向 上 ， 已 知 点 C 在 点 B 的 北 偏 西 60 方 向 上 ， 且 B、 C 两 地 相 距 120 海 里 （ 1） 求 出 此 时 点 A 到 岛 礁 C 的 距 离 ； （ 2） 若 “ 中 海 监 50 ” 从 A 处 沿 AC 方 向 向 岛 礁 C 驶 去 ， 当 到 达 点 A 时 ， 测 得 点 B 在 A 的 南 偏 东 75 的 方 向 上 ， 求 此 时 “ 中 国 海 监 50 ” 的 航 行 距 离 （ 注 ： 结 果 保 留 根 号 ） 【 考 点 】 解 直 角 三 角 形 的 应 用 - 方 向 角 问 题 【 分 析 】 （ 1） 根 据 题 意 得 出 ： CBD=30 ， BC=120海 里 ， 再 利 用 cos30 =， 进 而 求 出 答 案 ； （ 2） 根 据 题 意 结 合 已 知 得 出 当 点 B 在 A 的 南 偏 东 75 的 方 向 上 ， 则 A B 平 分 CBA ， 进 而 得 出 等 式 求 出 答 案 【 解 答 】 解 ： （ 1） 如 图 所 示 ： 延 长 BA ， 过 点 C 作 CD BA延 长 线 与 点 D ， 由 题 意 可 得 ： CBD=30 ， BC=120 海 里 ， 则 DC=60海 里 ， 故 cos30 = ， 解 得 ： AC=40， 答 ： 点 A 到 岛 礁 C 的 距 离 为 40海 里 ； （ 2） 如 图 所 示 ： 过 点 A 作 A N BC 于 点 N， 第13页（共 31页） 可 得 1=30 ， BA A=45 ， A N=A E， 则 2=15 ， 即 A B 平 分 CBA ， 设 AA =x ， 则 A E=x， 故 CA =2A N=2 x=x， x+x=40， 解 得 ： x=20 （ 1） ， 答 ： 此 时 “ 中 国 海 监 50 ” 的 航 行 距 离 为 20 （ 1） 海 里 4. (2016 四 川 自 贡 ) 某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢 笔和笔记本（ 2016?自贡）某国发生8.1 级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作， 如图，某探测对在地面A、B 两处均探测出建筑物下方C 处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分 别是 25 和 60 ， 且 AB=4 米， 求该生命迹象所在位置C 的深度 （结果精确到1 米， 参考数据：sin250.4， cos250， 9，tan25 0.5， 1.7） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】过 C 点作 AB 的垂线交AB 的延长线于点D， 通过解 RtADC 得到 AD=2CD=2x ， 在 RtBDC 中利用锐角三角函数的定义即可求出CD 的值 【解答】解：作CDAB 交 AB 延长线于 D， 设 CD=x 米 在 RtADC 中， DAC=25 ， 所以 tan25 = =0.5， 所以 AD=2x Rt BDC 中， DBC=60 ， 由 tan 60 =， 解得： x 3 即生命迹象所在位置C 的深度约为3 米 第14页（共 31页） 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的 关键 5. (2016 新 疆 ) 如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB 的高度， 在操场的平地上选择一点 C， 测得旗杆顶端A 的仰角为 30 ， 再向旗杆的方向前进16 米，到达点 D 处 （ C、 D、 B 三点在同一直线上）， 又测得旗杆顶端A 的仰角为45 ，请计算旗杆AB 的高度（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【专题】探究型 【分析】根据题意可以得到BD 的长度，从而可以求得AB 的高度 【解答】解：由题意可得， CD=16 米， AB=CB ?tan30 ，AB=BD ?tan45 ， CB?tan30 =BD ?tan45 ， （ CD+DB ） =BD 1， 解得 BD=8， AB=BD ?tan45 =（）米， 即旗杆 AB 的高度是（）米 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要 的条件 6. （2016四川成都 9 分）在学习完 “ 利用三角函数测高” 这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校 旗杆高度的实践活动，如图，在测点A 处安置测倾器，量出高度AB=1.5m ，测得旗杆顶端D 的仰角 DBE=32 ，量出测点A 到旗杆底部C 的水平距离AC=20m ，根据测量数据，求旗杆CD 的高度（参 考数据： sin320.53，cos320.85，tan320.62） 第15页（共 31页） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】根据题意得AC=20 米， AB=1.5 米，过点 B 做 BECD，交 CD 于点 E，利用 DBE=32 ，得 到 DE=BEtan32 后再加上 CE 即可求得CD 的高度 【解答】解：由题意得AC=20 米， AB=1.5 米， DBE=32 ， DE=BEtan32 20 0.62=12.4 米， CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5 13.9（米） 答：旗杆 CD 的高度约13.9 米 7. （2016四川达州 8 分）如图，在一条笔直的东西向海岸线l 上有一长为1.5km 的码头 MN 和灯塔 C，灯塔 C 距码头的东端N 有 20km以轮船以 36km/h 的速度航行，上午10：00 在 A 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏西30 方向，上午10： 40 在 B 处测得灯塔C 位于轮船的北偏东60 方向，且与灯塔C 相距 12km （1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？ （2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由（参考数据： 1.4， 1.7） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】（1）延长 AB 交海岸线 l 于点 D，过点 B 作 BE海岸线l 于点 E，过点 A 作 AFl 于 F，首 先证明 ABC 是直角三角形，再证明BAC=30 ，再求出BD 的长即可角问题 （2）求出 CD 的长度，和CN、CM 比较即可解决问题 【解答】解：（1）延长 AB 交海岸线l 于点 D，过点 B 作 BE海岸线l 于点 E，过点 A 作 AFl 于 F， 如图所示 BEC=AFC=90 ， EBC=60 ， CAF=30 ， ECB=30 ， ACF=60 ， BCA=90 ， BC=12 ，AB=36 =24， 第16页（共 31页） AB=2BC ， BAC=30 ， ABC=60 ， ABC= BDC+ BCD=60 ， BDC= BCD=30 ， BD=BC=12 ， 时间 t=小时 =20 分钟， 轮船照此速度与航向航向，上午11： ： 00 到达海岸线 （2） BD=BC ，BECD， DE=EC ， 在 RTBEC 中， BC=12， BCE=30 ， BE=6，EC=6 10.2， CD=20.4 ， 2020.421.5， 轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头 8. （2016四川广安8 分）如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶已知台阶总 高 1.5 米，为了安全现要作一个不锈钢扶手AB 及两根与FG 垂直且长为1米的不锈钢架杆AD 和 BC （杆子的地段分别为D、C） ，且 DAB=66.5 （参考数据：cos66.50.40，sin66.50.92） （1）求点 D 与点 C 的高度 DH ； （2）求所有不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长，结果精确到0.1 米） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】（1）根据图形求出即可； 第17页（共 31页） （2）过 B 作 BM AD 于 M，先求出AM ，再解直角三角形求出即可 【解答】解： （1） DH=1.5 米 =1.2 米； （2）过 B 作 BM AD 于 M， 在矩形 BCHM 中， MH=BC=1 米， AM=AD+DHMH=1 米+1.2 米 1 米=1.2 米 =1.2 米， 在 RtAMB 中， AB= 3.0 米， 所以有不锈钢材料的总长度为1米 +3.0 米+1 米=5.0 米 9. （2016 吉林长春， 19， 7 分）如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部 B 相 距 27 米的 C 处，用高1.5 米的测角仪DC 测得纪念碑顶端A 的仰角为47 ，求纪念碑的高度（结果精 确到 0.1 米） 【参考数据： sin47 =0.731，cos47 =0.682，tan47 =1.072】 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】作DEAB 于 E，根据正切的概念求出AE 的长，再结合图形根据线段的和差计算即可求解 【解答】解：作DEAB 于 E， 由题意得 DE=BC=27 米， ADE=47 ， 在 RtADE 中， AE=DE ?tanADE=27 1.072=28.944 米， AB=AE+BE 30.4 米， 答：纪念碑的高度约为30.4 米 第18页（共 31页） 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函 数的定义是解题的关键 10. （2016 江苏淮安， 24，8 分）小宇想测量位于池塘两端的A、B 两点的距离他沿着与直线 AB 平 行的道路 EF 行走，当行走到点C 处， 测得 ACF=45 ， 再向前行走100 米到点 D 处， 测得 BDF=60 若 直线 AB 与 EF 之间的距离为60 米，求 A、B 两点的距离 【考点】解直角三角形的应用 【专题】探究型 【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM 、DN 的长，由于AB=CN CM ，从而可以求得AB 的长 【解答】解：作AM EF 于点 M，作 BN EF 于点 N，如右图所示， 由题意可得， AM=BN=60米， CD=100 米， ACF=45 ，BDF=60 ， CM=米， DN=米， AB=CD+DN CM=100+2060=（40+20）米， 即 A、B 两点的距离是（40+20）米 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的 思想解答问题 11.（2016广东广州）如图8，某无人机于空中A处探测到目标B 、D的俯角分别是30 、 60,此时无 人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行 30 3 m到达A处 . (1) 求A、B之间的距离 (2) 求从无人机A上看目标D的俯角的正切值. 第19页（共 31页） 图8 60 30 A C A B D 【难易】容易 【考点】俯角，三角函数，解直角三角形，矩形 【解析】（1）利用直角三角形中三角函数求线段的长度。 （2）构造直角三角形求指定角的三角函数值。 【参考答案】 解： （1） BAC=90-30=60， AC=60m 在 RtABC中，有m BAC AC AB120 60cos 60 cos （2）作 DE ， AA于点 E，连结DA ， DAC=90 -60 =30， AC=60m 在 RtADC中，有 CD=AC tanDAC=60tan30 =320m AED= EAC= C=90 四边形ACDE是矩形。 ED=AC=60m ，EA=CD=320m 在 RtEDA ， 中，有 5 32 330320 60 tan , , AAEA ED EA ED DEA 即从无人机 ， A上看目标D 俯角正切值为 5 32 。 12.（2016广东茂名）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的 底端 A 点处， 观测到旗杆顶端C 的仰角 CAD=60 ，然后爬到教学楼上的B 处， 观测到旗杆底端 D 的 俯角是 30 ，已知教学楼AB 高 4 米 第20页（共 31页） （1）求教学楼与旗杆的水平距离AD ；（结果保留根号） （2）求旗杆CD 的高度 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】（ 1）根据题意得出ADB=30 ，进而利用锐角三角函数关系得出AD 的长； （2）利用（ 1）中所求，结合CD=AD ?tan60 求出答案 【解答】解：（1）教学楼 B 点处观测到旗杆底端D 的俯角是30 ， ADB=30 ， 在 RtABD 中， BAD=90 ，ADB=30 ，AB=4m ， AD=4（m）， 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 m； （2）在 RtACD 中， ADC=90 ，CAD=60 ，AD=4 m， CD=AD ?tan60 =4=12（m）， 答：旗杆 CD 的高度是12m 【点评】此题主要考查了解直角三角的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键 13.（2016广东深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从A初飞行至B处需 8 秒， 在地面 C处同一方向上分别测得A处的仰角为75.B 处的仰角为30. 已知无人飞机的飞行速度为4 米/ 秒，求这架无人飞机的飞行高度.( 结果保留根号) 考点 ：三角函数，两直线平等的性质。 解析 ：如图，作ADBC ， BH水平线 由题意 ACH=75 ， BCH=30 ，ABCH ABC=30 , ACB=45 第21页（共 31页） AB=4 8=32m AD=CD=ABsin30 =16m BD=AB cos30 =163 m BC=CD+BD=16+16 3 m BH=BC sin30 =8+83 m 14.（2016广西贺州）如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是 10 米，坡面 10 米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角 BDC=30 ，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3 米宽的人行道， 问该建筑物是否需要拆除（计 算最后结果保留一位小数）（参考数据：=1.414，=1.732） 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】根据正切的定义分别求出AB、DB 的长，结合图形求出DH ，比较即可 【解答】解：由题意得，AH=10 米， BC=10 米， 在 RtABC 中， CAB=45 ， AB=BC=10 ， 在 RtDBC 中， CDB=30 ， DB=10， DH=AH AD=AH （ DB AB）=1010+10=20 10 2.7（米）， 2.7 米 3 米， 该建筑物需要拆除 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角 的三角函数值是解题的关键 15. （2016 年浙江省台州市）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过 30cm，图 1 是一位同学 的坐姿，把他的眼睛B， 肘关节 C 和笔端 A 的位置关系抽象成图2 的ABC ， 已知 BC=30cm， AC=22cm ， ACB=53 ，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由（参考数据： sin530.8，cos530.6， tan531.3） 【考点】解直角三角形的应用 第22页（共 31页） 【分析】根据锐角三角函数关系得出BD， DC 的长，进而结合勾股定理得出答案 【解答】解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求， 理由：如图2 所示：过点B 作 BDAC 于点 D， BC=30cm ，ACB=53 ， sin53 = 0.8， 解得： BD=24， cos53 = 0.6， 解得： DC=18， AD=22 18=4（ cm） ， AB=， 他的这种坐姿不符合保护视力的要求 16. （2016 年浙江省温州市）如图，在 ABC 中， C=90 ，D 是 BC 边上一点，以 DB 为直径的 O 经过 AB 的中点 E，交 AD 的延长线于点F，连结 EF （1）求证： 1=F （2）若 sinB=，EF=2 ，求 CD 的长 【考点】圆周角定理；解直角三角形 【分析】（1）连接 DE，由 BD 是 O 的直径，得到DEB=90 ，由于 E 是 AB 的中点，得到DA=DB ，