2021_2021学年新教材高中数学第十一章立体几何初步单元素养检测含解析新人教B版必修第四册.doc

单元素养检测(三)(第十一章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.空间中有三条线段AB,BC,CD,且ABC=BCD,那么直线AB与CD的位置关系是()A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能【解析】选D.如图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况.【补偿训练】下列说法不正确的是()A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】选D.A,B,C显然正确.易知当直线与平面垂直时,过这条直线有无数个平面与已知平面垂直.2.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为()A.3B.2C.12D.13【解析】选B.设正方体的棱长为a,则外接球的直径为2R=a,所以R=a.正方体的表面积为6a2.外接球的表面积为4R2=4·=3a2,所以它们的表面积之比为6a23a2=2.3.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面,使得()A.a,bB.a,bC.a,bD.a,b【解析】选B.因为已知两条不相交的空间直线a和b,所以可以在直线a上任取一点A,则Ab,过A作直线cb,则过a,c必存在平面且使得a,b.4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱锥A1-ABCD的体积与长方体的体积的比值为()A.B.C.D.【解析】选C.设长方体过同一顶点的棱长分别为a,b,c,则长方体的体积为V1=abc,四棱锥A1-ABCD的体积为V2=abc,所以棱锥A1-ABCD的体积与长方体的体积的比值为.【补偿训练】已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,由题意知另一底面的半径R=3r.所以S侧=(r+R)l=(r+3r)×3=84,解得r=7.5.如图所示,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是()A.平行B.垂直C.异面D.相交成60°【解析】选D.如图所示,ABC为正三角形,故AB,CD相交成60°.6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则异面直线CE与BD所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选D.连接AC,因为底面是正方形,则ACBD,由几何体是正方体,可知BDAA1,又ACAA1=A,所以BD平面C1CAA1,因为CE平面C1CAA1,所以BDCE,所以异面直线BD,CE所成角是90°.7.(2020·全国卷)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,O1为ABC的外接圆,若O1的面积为4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64B.48C.36D.32【解析】选A.设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,得r2=4,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin 60°=2,所以OO1=AB=2,根据球截面性质得OO1平面ABC,所以OO1O1A,R=OA=4,所以球O的表面积S=4R2=64.8.在等腰RtABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,A折到A的位置,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°【解析】选C.如图所示,由AB=BC=1,ABC=90°,得AC=.因为M为AC的中点,所以MC=AM=.且CMBM,AMBM,所以CMA为二面角C-BM-A的平面角.因为AC=1,MC=AM=,所以CMA=90°.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.m是一条直线,是两个不同的平面,以下命题不正确的是()A.若m,则mB.若m,m,则C.若m,则mD.若m,m,则【解析】选ABC.A.若m,则m或m,A错;B.若m,m,则或=l,B错;C.若m,则m与相交或m或m,C错;D.因为m,存在直线n,使mn,n.因为m,所以n.又因为n,所以.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点Q是棱DD1上的动点,则过A,Q,B1三点的截面图形可以是()A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.直角三角形【解析】选ABC.当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形AB1D1,如图(1);当点Q与点D重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图(2);当点Q不与点D,D1重合时,令Q,R分别为DD1,C1D1的中点,则截面图形为等腰梯形AQRB1,如图(3).11.如图所示,在三棱锥V-ABC中,VO平面ABC,OCD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中能成立的是()A.AC=BCB.VCVDC.ABVCD.SVCD·AB=SABC·VO【解析】选ACD.因为VA=VB,AD=BD,所以VDAB.因为VO平面ABC,AB平面ABC,所以VOAB.又因为VOVD=V,VO平面VCD,VD平面VCD,所以AB平面VCD,又CD平面VCD,VC平面VCD,所以ABVC,ABCD.又因为AD=BD,所以AC=BC(线段垂直平分线的性质).因为VO平面ABC,所以VV-ABC=SABC·VO.因为AB平面VCD,所以VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD=SVCD·BD+SVCD·AD=SVCD·(BD+AD)=SVCD·AB,所以SABC·VO=SVCD·AB,即SVCD·AB=SABC·VO.12.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.AC1BD1【解析】选ABC.正方体中由BDB1D1,易知A正确;由BDAC,BDCC1可得BD平面ACC1,从而BDAC1,即B正确;由以上可得AC1B1D1,同理AC1D1C,因此AC1平面CB1D1,即C正确;由于四边形ABC1D1不是菱形,所以AC1BD1不正确.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·浙江高考)已知圆锥的侧面积为2,且侧面展开图为半圆,则底面半径为_. 【解析】题中圆锥展开图如图,半径为2,所以半圆弧长为2,即圆锥底面圆周长为2,所以底面半径为1.答案:114.已知a,b表示不同的直线,表示不重合的平面.若=a,b,ab,则;若a,a垂直于内任意一条直线,则;若,=a,=b,则ab;若a,b,ab,则.上述命题中,正确命题的序号是_. 【解析】对可举反例,如图,需b才能推出;对可举反例说明,当不与,的交线垂直时,即可知a,b不垂直;根据面面、线面垂直的定义与判定定理知正确.答案:15.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点E是SA上一点,当SESA=_时,SC平面EBD. 【解析】连接AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是AC的中点.因为SC平面EBD.且平面EBD平面SAC=EO,所以SCEO,所以点E是SA的中点,此时SESA=12.答案:1216.已知直二面角-l-,A,ACl,C为垂足,B,BDl,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离为_. 【解析】如图,作DEBC于点E,由-l-为直二面角,ACl,得AC,进而ACDE,又BCDE,BCAC=C,于是DE平面ABC,故DE为D到平面ABC的距离.在RtBCD中,利用等面积法得DE=.答案:四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,E,F分别为边长是4的正方形ABCD的边BC,CD的中点.沿AE,EF,FA把ABE,ECF,FDA折起,使B,C,D重合于点P.(1)求三棱锥P-AEF的侧面积;(2)求三棱锥P-AEF的体积.【解析】(1)由折叠前后的图形可知,棱锥的侧面积等于三个直角三角形的面积和,即S侧=×4×2+×4×2+×2×2=10.(2)由题意可知,PA,PE,PF两两垂直,且PA=4,PE=PF=2,所以三棱锥P-AEF的体积V=××2×2×4=.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PB=PD.(1)求证:BDPC;(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l,求证:BCl.【证明】(1)连接AC,交BD于点O,连接PO.因为四边形ABCD为菱形,所以BDAC.又因为PB=PD,O为BD的中点,所以BDPO.因为POAC=O,所以BD平面PAC,因为PC平面PAC,所以BDPC.(2)因为四边形ABCD为菱形,所以BCAD.因为BC平面PAD,AD平面PAD.所以BC平面PAD.又因为BC平面PBC,平面PBC与平面PAD的交线为l,所以BCl.19.(12分)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点.(1)求证:ACB1C;(2)求证:AC1平面CDB1.【证明】(1)因为C1C平面ABC,所以C1CAC.因为AC=9,BC=12,AB=15,所以AC2+BC2=AB2,所以ACBC.又BCC1C=C,所以AC平面BCC1B1,而B1C平面BCC1B1,所以ACB1C.(2)连接BC1交B1C于O点,连接OD.如图,因为O,D分别为BC1,AB的中点,所以ODAC1.又OD平面CDB1,AC1平面CDB1.所以AC1平面CDB1.20.(12分)如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点.(1)求证:PA平面BDE;(2)求证:平面PAC平面BDE.【证明】(1)连接OE,如图所示.因为O,E分别为AC,PC的中点,所以OEPA.因为OE平面BDE,PA平面BDE,所以PA平面BDE.(2)因为PO平面ABCD,所以POBD.在正方形ABCD中,BDAC,又因为POAC=O,所以BD平面PAC.又因为BD平面BDE,所以平面PAC平面BDE.21.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.【解析】(1)连接AC1交A1C于点F,连接DF,则F为AC1的中点.又D是AB中点,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.因为AC=CB,D为AB的中点,所以CDAB.又AA1AB=A,所以CD平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2得ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DEA1D.所以=××××=1.22.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,M为棱AC的中点,AB=BC,AC=2,AA1=.(1)求证:B1C平面A1BM;(2)求证:AC1平面A1BM;(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N平面AA1C1C?如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)连接AB1交A1B于O,连接OM.如图所示.在B1AC中,因为M,O分别为AC,AB1的中点,所以OMB1C.又OM平面A1BM,B1C平面A1BM,所以B1C平面A1BM.(2)因为侧棱AA1底面ABC,BM平面ABC,所以AA1BM.因为M为棱AC的中点,AB=BC,所以BMAC.又AA1AC=A,所以BM平面ACC1A1,所以BMAC1.因为M为棱AC的中点,AC=2,所以AM=1.又AA1=,所以在RtACC1和RtA1AM中,tanAC1C=tanA1MA=,所以AC1C=A1MA,所以AC1C+C1AC=A1MA+C1AC=90°,所以A1MAC1.因为BMA1M=M,所以AC1平面A1BM.(3)存在点N,且当点N为BB1的中点,即=时,平面AC1N平面AA1C1C.设AC1的中点为D,连接DM,DN.如图所示.因为D,M分别为AC1,AC的中点,所以DMCC1,且DM=CC1.又N为BB1的中点,所以DMBN,且DM=BN,所以四边形DMBN是平行四边形,所以BMDN.因为BM平面ACC1A1,所以DN平面ACC1A1.又DN平面AC1N,所以平面AC1N平面AA1C1C.