2017届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语文北师大版.doc

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 文 北师大版第1课时集合的概念与运算1集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算1集合与元素(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合与元素的关系a属于集合A，用符号语言记作aA.a不属于集合A，用符号语言记作aA.(3)常见集合的符号表示数集自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NNZQR(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同AB且BAAB子集A中任意一个元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A，B(B)3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBUAx|xU，且xA性质AAB BAB ABBABABA ABB ABAABU(AB)(UA)(UB) U(AB)(UA)(UB) 基础自测1设全集U1,2,3,4,5，集合M1,4，N1,3,5，则N(UM)()A1,3B1,5C3,5 D4,5解析：UM2,3,5，NUM1,3,52,3,53,5答案：C2(教材改编题)设集合Ax|2x<4，Bx|3x782x，则AB等于()Ax|3x<4 Bx|x3Cx|x>2 Dx|x2解析：Bx|3x782xx|5x15x|x3，ABx|3x<4，故选A.答案：A3已知集合A0,1，x25x，若4A，则实数x的值为()A1 B4C1或4 D36解析：4A，x25x4，解得x1或4，故选C.答案：C4用符号或填空：(1,1)_y|yx2；(1,1)_(x，y)|yx2解析：y|yx2中元素是数，而(1,1)表示一组有序实数对或一个点，(1,1)y|yx2(1,1)(x，y)|yx2答案：5已知集合A1,2，Bx|mx10，若ABA，则m的值为_解析：ABABA，若B，则m0，若B，则1或2，m1或m.答案：0,1，大一轮复习考点一集合的基本概念例1(1)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA, yA 中元素的个数是()A1B3C5 D9(2)设集合A1,1,3，Ba2，a24，AB3，则实数a的值为_审题视点(1)令xA，yA逐个求解xy.(2)讨论B中每个元素分别为3，注意互异性解析(1)当x0时，y0,1,2，此时xy的值分别为0，1，2；当x1时，y0,1,2，此时xy的值分别为1,0，1；当x2时，y0,1,2，此时xy的值分别为2,1,0.综上可知，xy的值可能为2，1,0,1,2，共5个，故选C.(2)AB3，3B，当a23即a1时，B3,5，满足题意当a243时，a21无意义，故a1.答案(1)C(2)1(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)利用元素与集合的关系求字母参数时，要注意分类讨论思想的应用1(2016·淮北质检)定义集合运算：ABz|zxy，xA，yB设A1,2，B0,2，则集合AB的所有元素之和为()A0B2C3 D6解析：依题意，AB0,2,4，它的所有元素之和为6.答案：D2(2015·高考湖北卷)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77 B49C45 D30解析：A(x，y)|x2y21，x，yZ(x，y)|x±1，y0；或x0，y±1；或x0，y0，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ(x，y)|x2，1,0,1,2；y2，1,0,1,2AB表示点集由x11,0,1，x22，1,0,1,2，得x1x23，2，1,0,1,2,3，共7种取值可能同理，由y11,0,1，y22，1,0,1,2，得y1y23，2，1,0,1,2,3，共7种取值可能当x1x23或3时，y1y2可以为2，1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点，当x1x22，1,0,1,2时，y1y2可以为3，2，1，0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点，故AB共有5×25×745个元素答案：C考点二集合间的基本关系例2(1)已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.(2)若集合Px|3x22，非空集合Qx|2a1x3a5，则能使Q(PQ)成立的所有实数a的取值范围为()A(1,9)B1,9C6,9) D(6,9审题视点(1)先化简A，然后根据AB借助数轴求解，(2)首先分析P与Q的关系，构造集合端点符合的不等式解析(1)由log2x2得0<x4，即Ax|0<x4，而B(，a)，由于AB，如图所示，则a>4，即c4.(2)依题意，PQQ，QP，于是解得6a9，即实数a的取值范围是(6,9，选D.答案(1)4(2)D(1)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系式解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析(2)通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏对于集合的包含关系，BA时，别忘记B的情况对于端点的虚实可单独验证1(2016·厦门模拟)已知集合A，BA，BA，则集合B的子集的个数为()A6B7C8 D9解析：由题意知B，集合B含有3个元素，则其子集个数为238(个)答案：C2已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：利用命题的真假判断充要条件A1，a，B1,2,3，AB，aB且a1，a2或3，“a3”是“AB”的充分而不必要条件答案：A考点三集合的基本运算例3(1)(2014·高考广东卷)已知集合M1,0,1，N0,1,2，则MN()A0,1B1,0,2C1,0,1,2 D1,0,1(2)(2014·高考山东卷)设集合Ax|x1|<2，By|y2x，x0,2，则AB()A0,2 B(1,3)C1,3) D(1,4)审题视点(1)用Venn图求并集(2)先将集合化简，再求交集解析(1)根据题意画出Venn图，如图所示故MN1,0,1,2(2)由|x1|<2，解得1<x<3，由y2x，x0,2，解得1y4，AB(1,3)1,41,3)答案(1)C(2)C在进行集合运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍1(2015·高考课标卷 )已知集合Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合AB中元素的个数为()A5B4C3 D2解析：集合A中元素满足x3n2，nN，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.答案：D2(2015·高考山东卷)已知集合Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0，则AB()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：由题意知Bx|1x3，又因为Ax|2x4，所以ABx|2x3，即AB(2,3)答案：C以集合为背景的新定义题典例对于数集X1，x1，x2，xn，其中0x1x2xn，n2，定义向量集Ya|a(s，t)，sX，tX若对任意a1Y，存在a2Y，使得a1·a20，则称X具有性质P.例如1,1,2具有性质P.(1)若x2，且1,1,2，x具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x11.解题指南首先借助题目中给的实例理解“性质P”，再选取a1，利用“试解”的方法寻找a2，从而求x.规范解答(1)选取a1(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(1，b)，所以x2b，从而x4.4分(2)证明：取a1(x1，x1)Y.设a2(s，t)Y满足a1·a20.由(st)x10得st0，所以s，t异号因为1是X中唯一的负数，所以s，t之中一为1，另一为1，故1X.6分假设xk1，其中1kn，则0x11xn.选取a1(x1，xn)Y并设a2(s，t)Y满足a1·a20，即sx1txn0，则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为1.8分若s1，则x1txntx1，矛盾；若t1，则xnsx1sxn，矛盾所以x11.12分阅卷点评本题读准题意，合理转化是突破该题的关键点创新点评(1)本题为新定义问题，命题设制新颖(2)内容创新：以元素与集合的关系为背景，以向量的数量积运算为载体，通过新定义将二者有机地结合起来，考查阅读理解能力和知识迁移运用能力(3)根据逻辑分析，推理的方法，考查了创新意识和解决问题的能力备考建议(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此问题的前提(2)剥去新概念、新方法的外表，将陌生转化为熟悉，是解决此问题的关键一个性质要注意应用AB、ABA、ABB、UAUB、A(UB)这五个关系式的等价性两种方法Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心如全集UR，Ax|axa1，Bx|x<1，若A(UB)，则a的范围为a<2.三个防范(1)注意区分几种常见集合研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么(2)注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑A和A两种可能的情况(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误课时规范训练A级基础演练1(2015·高考天津卷)已知全集U1,2,3,4,5,6，集合A2,3,5，集合B1,3,4,6，则集合A(UB)()A3B2,5C1,4,6 D2,3,5解析：UB2,5，A2,3,52,52,5答案：B2(2015·高考课标卷)已知集合Ax|1<x<2，Bx|0<x<3，则AB()A(1,3) B(1,0)C(0,2) D(2,3)解析：将集合A与B在数轴上画出(如图)由图可知AB(1,3)，故选A.答案：A3(2016·天津河西区训练)设集合P1,2,3,4,5,6，QxR|2x6，那么下列结论正确的是()APQP BPQQCPQQ DPQP解析：根据集合的定义可知PQ2,3,4,5,6，所以只有D选项正确答案：D4(2015·高考江苏卷)已知集合A1,2,3，B2,4,5，则集合AB中元素的个数为_解析：A1,2,3，B2,4,5，AB1,2,3,4,5，AB中元素个数为5.答案：55已知全集UR，集合Mx|2x12和Nx|x2k1，k1,2，的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有_个解析：Mx|1x3，MN1,3答案：26已知集合M，N，若MN，则(mn)2 016_.解析：由MN知或或即(mn)2 0161或0.答案：1或07已知集合A4,2a1，a2，Ba5,1a,9，分别求适合下列条件的a的值(1)9(AB)；(2)9AB.解：(1)9(AB)，9B且9A，2a19或a29，a5或a±3.检验知：a5或a3.(2)9AB，9(AB)，a5或a3.a5时，A4,9,25，B0，4,9，此时AB4,9与AB9矛盾，所以a3.8已知集合Ax|x22x30，xR，Bx|x22mxm240，xR(1)若AB1,3，求实数m的值；(2)若ARB，求实数m的取值范围解：Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)AB1,3，得m3.(2)RBx|xm2或xm2ARB，m23或m21.m5或m3.B级能力突破1(2016·辽宁沈阳期中)已知集合Mx|x>x2，N，则MN()A. BC. D解析：对于集合M，由x>x2，解得0<x<1，Mx|0<x<10<x<1，1<4x<4.<<2.N.MN，故选B.答案：B2(2016·广州模拟)对于集合M，N，定义MNx|xM，且xN，MN(MN)(NM)，设A，Bx|x<0，则AB()A. B.C.0，) D.(0，)解析：ABx|x0，BA，AB.答案：C3(2016·合肥模拟)如图，已知R是实数集，集合Ax|log(x1)>0，B，则阴影部分表示的集合是()A0,1 B0,1)C(0,1) D(0,1解析：图中阴影部分表示集合B(RA)，又Ax|1<x<2，B，RAx|x1或x2，B(RA)x|0<x1答案：D4设集合A，B(x，y)|y3x，则AB的子集的个数是()A4 B3C2 D1解析：集合A.A中的元素为椭圆1上的点，AB中的元素为椭圆和指数函数y3x图像的交点，如图，可知其有两个不同交点，记为A1，A2，则AB的子集应为，A1，A2，A1，A2，共4个，故选A.答案：A5(2016·宁夏银川一中模拟)已知集合Aa，b,2，B2，b2,2a，且ABAB，则a_.解析：因为ABAB，所以AB，则或解得，或所以a的值为0或.答案：0或6(2016·河南郑州质检)已知集合A，B，定义集合A与B的一种运算AB，其结果如下表所示：A1,2,3,41,14,81,0,1B2,3,61,14，2,0,22，1,0,1AB1,4,62,0,2,82按照上述定义，若M2 014,0,2 015，N2 015,0,2 016，则MN_.解析：由给出的定义知，集合AB的元素是由所有属于集合A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即ABx|xA且xB，或xB且xA故MN2 014,2 015，2 015,2 016答案：2 014,2 015，2 015,2 0167设函数f(x)x24x3，g(x)3x2，集合MxR|f(g(x)0，NxR|g(x)2，则MN为_解析：函数f(g(x)(3x2)24(3x2)3(3x)28·3x15(3x3)(3x5)由f(g(x)0得(3x3)(3x5)0，所以3x5或3x3，所以xlog35或x1，所以Mx|xlog35或x1由g(x)2得3x22，即3x4，解得xlog34，所以Nx|xlog34所以MNx|xlog35或x1(x|xlog34)x|x1答案：x|x1第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义1命题(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句(2)特点：能判断真假、陈述句(3)分类：真命题、假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件前提：条件为p，结论为q.定义：(1)若pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，称p是q的充要条件，q也是p的充要条件(3)若pq，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件基础自测1(教材改编题)给出命题：“若x2y20，则xy0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A3B2C1 D0解析：原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题答案：A2“x>2”是“<”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若x>2则<，但<x>2.如当x1时，1<，但x不大于2.答案：A3命题“若a<b，则a1<b1”的逆否命题是()A若a1b1，则ab B若a>b，则a1>b1C若a1>b1，则a>b D若ab，则a1b1解析：“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，故选A.答案：A4若集合A1，m2，B2,4，则“m2”是“AB4”的_条件解析：m2AB4，但AB4 m2.答案：充分不必要5(教材改编题)下列命题中所有真命题的序号是_“a>b”是“a2>b2”的充分条件；“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；“a>b”是“ac>bc”的充要条件解析：a>b a2>b2，为假a2>b2|a|>|b|，为真a>bac>bc，为真答案：考点一四种命题及其关系例1(1)命题“若ab，则2a2b”的否命题是()A若ab，则2a2bB若2a2b，则abC若ab，则2a2b D若2a2b，则ab(2)(2014·高考辽宁卷)设a，b，c是非零向量已知命题p：若a·b0，b·c0，则a·c0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命题中真命题是()Apq BpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)审题视点(1)根据否命题的定义改写(2)先判断命题的真假，再利用含逻辑联结词命题真假的判断进行求解解析(1)否命题为“若ab，则2a2b”(2)法一：取ac(1,0)，b(0,1)，显然a·b0，b·c0，但a·c10，p是假命题a，b，c是非零向量，由ab知axb，由bc知byc，axyc，ac，q是真命题综上知pq是真命题，pq是假命题又綈p为真命题，綈q为假命题，(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题法二：由于a，b，c都是非零向量，a·b0，ab.b·c0，bc.如图，则可能ac，a·c0，命题p是假命题，綈p是真命题命题q中，ab，则a与b方向相同或相反；bc，则b与c方向相同或相反故a与c方向相同或相反，ac，即q是真命题，则綈q是假命题，故pq是真命题，pq，(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题答案(1)C(2)A在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的1(2014·高考陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析：原命题正确，所以逆否命题正确模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误故选B.答案：B2(2016·菏泽模拟)有以下命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的两个三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中正确的命题为()A BC D解析：“若x，y互为倒数，则xy1”是真命题；“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；若m1，44m0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；由ABB，得BA，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题故选D.答案：D考点二充分条件与必要条件的判断例2(1)(2014·高考安徽卷)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知p：|x10|9x|a的解集为R，q：1，则綈p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件审题视点(1)根据ln(x1)0求出x的范围后判断(2)利用集合的包含关系判断解析(1)ln(x1)0，0x11，1x0.x0是1x0的必要不充分条件，故选B.(2)|x10|9x|1，当|x10|9x|a的解集为R时，a1，綈p是a1，由<1，得a1或a0，綈pq.答案(1)B(2)A判断p是q的什么条件，基本方法是利用定义，即若pq，则p是q的充分条件；若qp，则p是q的必要条件；若pq，且qp，则p是q的充要条件；若pq，但q p，则p是q的充分不必要条件；若p q，但qp，则p是q的必要不充分条件；若pq，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，而大范围不能推出小范围1(2015·高考湖南卷)设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：ABAAB，“ABA”是“AB”的充要条件答案：C2(2016·广西南宁测试)已知p：|x|<2；q：x2x2<0，则p是q的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：p：由|x|<2，得2<x<2.q：由x2x2<0，得1<x<2.x|1<x<2x|2<x<2，p是q的必要而不充分条件，故选B.答案：B考点三充分条件、必要条件的应用例3已知p：2，q：x22x1m20(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围审题视点(1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论解法一：由q：x22x1m20，得1mx1m，綈q：Ax|x>1m或x<1m，m>0，由2，解得2x10，綈p：Bx|x>10或x<2綈p是綈q的必要而不充分条件AB，即或即m9或m>9.m9.法二：綈p是綈q的必要而不充分条件，p是q的充分而不必要条件，由q：x22x1m20，得1mx1m，q：Qx|1mx1m，由2，解得2x10，p：Px|2x10p是q的充分而不必要条件，PQ，即或，即m9或m>9.m9.本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键1已知条件p：1，条件q：x2x<a2a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.BC1,2 D2，)解析：由1，即10，化简，得0，解得3x<1；由x2x<a2a，得x2xa2a<0，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集设f(x)x2xa2a，如图，则解得1a2，故选C.答案：C2已知集合Mx|x<3或x>5，Px|(xa)·(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5<x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5<x8的一个充分但不必要条件解：(1)由MPx|5<x8，得3a5，因此MPx|5<x8的充要条件是a|3a5(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5<x8的一个充分但不必要条件，就是在集合a|3a5中取一个值，如取a0，此时必有MPx|5<x8；反之，MPx|5<x8未必有a0，故a0是MPx|5<x8的一个充分不必要条件因考虑充分必要条件不全面致误典例设a，b为向量，则“|a·b|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解题指南弄清题目中谁是条件，谁是结论：条件是“|a·b|a|b|”，结论是“ab”解题目标是什么？判定|a·b|a|b|ab还是ab|a·b|a|b|.探究转化关系一方面：由|a·b|a|b|，讨论零向量与非零向量，结合数量积定义探究a与b的关系另一方面：由ab，计算|a·b|.解析若|a·b|a|b|，若a，b中有零向量，显然ab；若a，b均不为零向量，则|a·b|a|b|cosa，b|a|b|，|cosa，b|1，a，b或0，ab，即|a·b|a|b|ab.若ab，则a，b0或，|a·b|a|b|cosa，b|a|b|，其中，若a，b有零向量也成立，即ab|a·b|a|b|.综上知，“|a·b|a|b|”是“ab”的充分必要条件答案C【回顾反思】此题在推导过程中易忽略零向量的存在，导致解答不全面此类题务必要从两方面探究关系：即探究|a·b|a|·|b|ab后，还要探究ab|a·b|a|b|，结合充要条件的概念，才能正确作答一个等价由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”三种方法命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件课时规范训练A级基础演练1(2015·高考重庆卷)“x>1”是“log(x2)<0”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：x>1log(x2)<0，log(x2)<0x2>1x>1，“x>1”是“log(x2)<0”的充分而不必要条件答案：B2(2016·安徽马鞍山一模)已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c2<3B若abc3，则a2b2c2<3C若abc3，则a2b2c23D若a2b2c23，则abc3解析：否命题是原命题的条件和结论同时否定，故选A.答案：A3(2015·高考福建卷)“对任意x，ksin xcos x<x”是“k<1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：借助函数的导数证明必要性成立，举反例说明充分性不成立令f(t)sin tt，则f(t)cos t10恒成立，所以f(t)sin tt在0，上是减函数，f(t)f(0)0，所以sin t<t(0<t<)令t2x，则sin 2x<2x，所以2sin xcos x<2x，所以sin xcos x<x.当k<1时，ksin xcos x<x，故必要性成立；当x时，ksin 2x<2x可化为k<，而>，取k，不等式成立，但此时k>1，故充分性不成立答案：B4有三个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；“若x3，则x2x6>0”的否命题其中真命题的个数为_解析：命题为“若x，y互为相反数，则xy0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题是假命题；命题为“若x>3，则x2x60”，因为x2x603x2，故命题是假命题，综上知真命题只有1个答案：15(2016·随州模拟)若“x22x8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则m的最大