2021_2022学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升含解析新人教A版选择性必修第一册.docx

3.3.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为()解析(方法1)将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为x21a2+y21b2=1与y2=-abx.因为a>b>0,所以1b>1a>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0的曲线关于x轴对称,排除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.答案D2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为()A.1B.2C.3D.4解析P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,y02=4x0,则点P与点(5,0)的距离d=(x0-5)2+y02=x02-10x0+25+4x0=(x0-3)2+16.x00,当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.答案C3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有()A.4条B.3条C.2条D.1条解析(1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1,由方程组y=kx+1,y2=2x,消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,若k=0,则-2x+1=0,解得x=12,此时直线与抛物线只有一个交点12,1;若k0,令=(2k-2)2-4k2=0,解得k=12,此时直线与抛物线相切,只有一个交点.(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有3条.答案B4.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是. 解析根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为y022,y0,边长为a,则有tan6=2y0y02,解得y0=23,故边长a=43.答案435.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=. 解析Fp2,0,直线AB的方程为y=x-p2,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+p24=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知xA+xB=3p,xAxB=p24.|AB|=2(xA+xB)2-4xAxB=4p=8,解得p=2.答案26.(2019全国,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4133.7.如图,已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.(1)解由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=t(y+1)+3,代入抛物线方程,整理得y2-ty-t-3=0.因为=(t+2)2+8>0,所以y1+y2=t,y1y2=-t-3.所以k1k2=y1-1x1-1·y2-1x2-1=y1-1y12-1·y2-1y22-1=1(y1+1)(y2+1)=1y1y2+y1+y2+1=1-t-3+t+1=-12,故k1k2是定值.关键能力提升练8.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A,B两点,则|BF|AF|等于()A.3B.7+43C.13D.3+22解析(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=-3y-p2,则x2=2py,x=-3y-p2,消去x,得12y2-20py+3p2=0.点A在第一象限,解得y1=p6,y2=3p2,|BF|AF|=y2+p2y1+p2=3p2+p2p6+p2=3.故选A.(方法2)如图,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为A',B',则由抛物线的定义知|BB'|=|BF|,|AA'|=|AF|.过点A作BB'的垂线AE,则|BE|=|BB'|-|AA'|=|BF|-|AF|,易知BAE=30°,故|BE|=12|AB|,所以|BF|-|AF|=12(|BF|+|AF|),因此|BF|=3|AF|,故|BF|AF|=3.答案A9.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=6(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.1728B.3C.338D.3132解析设直线AB的方程为x=ty+m,则直线AB与x轴的交点为M(m,0),则m>0.设点A(x1,y1),B(x2,y2).把x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,满足>0,则y1y2=-m.OA·OB=6,x1x2+y1y2=6,从而(y1y2)2+y1y2-6=0.点A,B位于x轴的两侧,y1y2=-3,故m=3.不妨设点A在x轴上方,则y1>0,又F14,0,y2=-3y1,SABO+SAFO=12×3×(y1-y2)+12×14y1=138y1+92y129×1316=3132,当且仅当138y1=92y1,即y1=61313时,等号成立.ABO与AFO面积之和的最小值是3132.答案D10.已知y2=x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,O为坐标原点,若OA·OB=12,则AOB面积的最小值为()A.6B.8C.10D.12解析设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB与x轴的交点为M(m,0).将x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,根据根与系数的关系得y1y2=-m,y1+y2=t.OA·OB=12,x1·x2+y1·y2=12.又x1x2=y12y22,(y1·y2)2+y1·y2-12=0.令y1y2=u,则u2+u-12=0,解得u=-4或u=3.点A,B位于x轴的两侧,u=y1·y2=-4,故m=4.故直线AB所过的定点坐标是(4,0).故AOB的面积S=12×4×|y1-y2|=2×(y1+y2)2-4y1y2=2t2+168,当t=0时,直线AB垂直于x轴,AOB的面积取得最小值8.故选B.答案B11.(2020山东泰安高二上期末)已知点A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.2+12B.2+1C.5+12D.5-1解析由x2=4y,得p=2,焦点B(0,1),准线l:y=-1,从而A(0,-1),如图所示.设PAQ=.|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,m=|PA|PB|=|PA|PQ|=1sin.结合图形知,当AP与抛物线相切时,sin最小,从而m最大.设直线AP的方程为y=kx-1(k0),由x2=4y,y=kx-1,得x2-4kx+4=0,令=16k2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得点P坐标为(2,1).设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).在双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1,2a=|PA|-|PB|=22-2,即a=2-1,离心率e=ca=12-1=2+1.故选B.答案B12.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,经过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是()A.|MN|=12|AB|B.FNABC.Q是线段MN的一个三等分点D.QFM=QMF解析如图,由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.又|MN|=|AC|+BD2,则|MN|=|AF|+|BF|2=12|AB|,A正确.由|MN|=12|AB|,|AM|=|MB|,得|MN|=|AM|,所以MAN=MNA.而MNA=CAN,所以MAN=CAN,所以ANCANF,可知ACN=AFN=90°,所以FNAB,B正确.在RtMNF中,|QN|=|QF|,可知QNF=QFN,所以QFM=QMF,D正确.由QFM=QMF,可知|QF|=|QM|,所以|NQ|=|QM|,即Q是MN的中点,故C不正确.答案ABD13.(多选题)(2020山东烟台高二上期末学业水平诊断)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是()A.CFD=90°B.CMD为等腰直角三角形C.直线AB的斜率为±3D.AOB的面积为4解析由y2=4x,得2p=4,即p=2,焦点F(1,0),准线l:x=-1.设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).由y2=4x,x=my+1,得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1·y2=-4.从而x1+x2=4m2+2,x1·x2=1.又|AF|=3|BF|,x1+p2=3x2+p2,即x1=3x2+2.将代入得,x2=m2.将代入得3x22+2x2-1=0,解得x2=13或x2=-1(舍去).m2=13,m=±33,即直线AB的斜率为±3,故C正确;C(-1,y1),D(-1,y2),FC·FD=4+y1y2=4-4=0,从而CFD=90°,故A正确;M(2m2+1,2m),CM·DM=4(m2+1)2+4m2-2m(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=169,结合图形知CMD不是直角三角形,故B错误;SAOB=12|OF|y1-y2|=1216m2+16=433,故D错误.故选AC.答案AC14.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若OAB为等边三角形,且面积为483,则p的值为. 解析设A(x1,y1),B(x2,y2).|OA|=|OB|,x12+y12=x22+y22.又y12=2px1,y22=2px2,x22-x12+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,x1+x2+2p0.x2-x1=0,即x1=x2.根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,由OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=33x,由y=33xy2=2px,解得B(6p,23p),|OB|=(6p)2+(23p)2=43p,OAB的面积为483,34(43p)2=483,解得p2=4,p=2.答案215.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,1|AF|+1|BF|=.解析由题意知p2=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.当直线AB斜率不存在时,x=1代入y2=4x,解得y1=2,y2=-2,即|AF|=|BF|=2,从而1|AF|+1|BF|=1.当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=k(x-1),显然k0,联立y=k(x-1),y2=4x,消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,从而1|AF|+1|BF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1.答案2116.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且|AB|=2|MN|,求直线AB的方程.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y'=x2.设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24,得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)>0,即m>-1时,x1=2+2m+1,x2=2-2m+1,从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7,或m=-1(舍).所以直线AB的方程为y=x+7.17.(2019全国,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.解(1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为M与直线x+2=0相切,所以M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又MOAO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MOAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.学科素养创新练18.(2020云南师大附中高三月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,满足y1y2=-4.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点C的坐标为(-2,0),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,求1k12+1k22的最小值.解(1)因为直线AB过焦点Fp2,0,设直线AB的方程为x=my+p2,将直线AB的方程与抛物线E的方程联立x=my+p2,y2=2px,消去x得y2-2mpy-p2=0,所以有y1y2=-p2=-4,p>0,p=2,因此,抛物线E的方程为y2=4x.(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,联立抛物线的方程y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,则有1k1=m+3y1,1k2=m+3y2,因此1k12+1k22=m+3y12+m+3y22=2m2+6m1y1+1y2+91y12+1y22=2m2+6m·y1+y2y1y2+9·(y1+y2)2-2y1y2y12y22=2m2+6m·4m-4+9·(4m)2+816=5m2+92.因此,当且仅当m=0时,1k12+1k22有最小值92.10