最新双曲线的定义与标准方程.pdf

【课题】 7.7.1 双曲线的定义与标准方程 【教学目标】 知识目标： 使学生从发现、发展的角度理解和掌握双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念； 了解双曲线的标准方程的两种形式及其推导过程； 能根据条件确定双曲线的标准方程 能力目标： 在概念形成的过程中, 培养学生发现能力及分析、归纳的逻辑思维能力； 了解借助几何画板探究动点轨迹的操作方法 【教学重点】 掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程； 能根据条件，用待定系数法和定义法确定双曲线的标准方程 【教学难点】 双曲线的标准方程的推导 用待定系数法求解双曲线的标准方程 【教学设计】 通过生活中的实物引入课题，并通过动手实验让学生亲自体验并总结出双曲线的定 义，让学生带着兴趣学习，提高教学效果 引导学生根据双曲线定义恰当的选择坐标系，推导双曲线的标准方程，感知数学的数 形结合思想，提高学生的推理论证能力； 通过合作练习，发挥学生的主体作用，并根据学生的年龄特点和学生对知识的掌握程 度，力求做到因材施教，在问题的思考、交流、解决过程中培养和发展学生的思维能力 【教学备品】 教学课件、实验用品（图钉、无弹性的细线、素描纸、侧面带孔的空心圆管） 【课时安排】 1 课时 ( 45 分钟 ) 【教学过程】 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 * 揭示课题 7.7.1 双曲线的定义与标准方程 * 创设情景兴趣导入 介绍了解从实 际事 例使 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 观察图片：观察花瓶和发电厂冷却塔的图片 提出问题：它们的剖切面的轮廓近似什么曲线? 动手实验： 首先将两根细绳 （长度为22cm 和 16cm） 一端固定在一起， 另一端按同一方向穿过空心小圆管侧面的小孔，用图钉将绳子 两端分别固定在素描纸上的两个定点F1、F2处将笔插在空心 小圆管上，拉紧绳子，移动笔尖，画出一只曲线再将绳子两 端交换固定，重复作图，画出另一支曲线我们将这种曲线称 为双曲线 思考 （1）如果把笔尖看成点M，那么 | MF1| 与| MF2| 的差的绝 对值是常数吗？ （2）| MF1| | MF2| 与| F1F2| 的大小关系？ 归纳 双曲线上的点M 满足 | MF1| | MF2| | F1F2| 播放 课件 说明 解释 引导 分析 归纳 观看 课件 思考 作图 分析 求解 思考 学生 自然 的走 向知 识点 引导 学生 动手 作图 通过 分析 让学 生体 会双 曲线 上的 点 M 满足 的条 件 ， 引出 定义 10 * 动脑思考探索新知带领 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 概念 平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于 |F1F2|且不等于 0）的点的轨迹叫做双曲线 两个定点 F1、 F2叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离|F1F2|叫做 焦距 标准方程推导 建系：取过焦点F1、F2的直线为 x 轴，线段F1F2的垂直平 分线为 y 轴，建立平面直角坐标系xOy 设点，列条件：设M（x， y）是双曲线上的任意一点，双曲 线的焦距是2c（c0） ，那么点 M 到 F1、F2的距离的差的绝对 值等于常数2a，则有 |MF1|MF2| 2a 列式： 由两点间的距离公式可得 |MF1|(xc)2y2，|MF2|(xc)2 y2， 所以(xc)2y2 (xc)2y2 2a， 化简： 化简得 （c2a2）x2a2y2a2（c2a2） 由双曲线的定义可知2c2a，即 c a，所以 c2a20 ， 设 c2a2b2（b0） ，则有 b2x2 a2y2 a2b2，两边同时除 以 a2b2，得 （1） 归纳 说明 引导 学生 推导 双曲 线的 标准 方程 思考 理解 推导 学生 总结 双曲 线的 定义 充分 讲解 双曲 线的 标准 方程 的推 导过 程四 步骤 数形 结合 x 2 a2 y2 b21（a0，b0） 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 反之，我们可以证明，以方程（1）的解为坐标的点都在 双曲线上我们把这个方程叫做双曲线的标准方程 它所表示 的双曲线的焦点在x 轴上， 焦点是 F1（ c，0） ，F2（c，0） 其 中 c2a2b2 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程： 若双曲线的两个焦点所在的直线为y 轴，焦点是F1（0， c）， F2（0，c） ，只要将方程（ 1）中的x，y 互换，就可以 得到它的方程为 （2） 概念辨析： （1）双曲线的标准方程中，a0，b0，但 a 不一定大于b； （2）双曲线的标准方程中，如果x2项的系数是正的，那么焦 点在 x 轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上注 意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴 上 （3）双曲线标准方程中a、b、c 的关系是c2a2b2，不同于 椭圆方程中c2a2b2 强调 引导 强调 记忆 理解 理解 总结 焦点 在 y 轴上 的双 曲线 的标 准方 程 通过 概念 辨析 使学 生深 刻理 解定 义 20 y2 a2 x2 b2 1（a0，b0） 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 * 巩固知识典型例题 例 1 已知双曲线的标准方程为 x2 10 y2 15 1，求它的焦点坐标 解由双曲线的标准方程为 x2 10 y2 15 1，可知 a210，b215， 则 c2a2b225，c5 又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以焦点坐标为（5，0） 和（ 5，0） 例 2 已知两点F1（ 5，0） ，F2（5，0） ，求与它们的距离的 差的绝对值是8 的动点轨迹方程，并用几何画板画出动点 轨迹 解由定义可知，所求动点的轨迹是双曲线， 因为 c 5，a4，所以 b2 c2 a225169， 因此所求方程是 x2 16 y2 9 1 注： 作图步骤参阅教材 说明 引领 讲解 分析 观察 思考 主动 求解 理解 通过 例题 进一 步掌 握双 曲线 的标 准方 程 利用 定义 法求 出双 曲线 的标 准方 程30 * 理论升华整体建构 定义 |MF1|MF2|2a 02a |F1F2| 图形 方程 x2 a2 y2 b2 1 （a 0，b0） y2 a2 x2 b21 （a0， b0） 焦点（ c，0）（0， c） 引导 说明 归纳 引导 归纳 总结 思考 总结 总结 思考 引导 学生 总结 双曲 线的 定义 与标 准方 程 35 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 a、b、c 的关系c2a2b2 * 运用知识强化练习 教材练习7.7.1 1求下列双曲线的焦点坐标： （1） x2 5 y2 151； （2） y2 4 x2 601 2写出适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）a6，b3，焦点在 x 轴上； （2）b25，焦点 F1（0， 5） 、F2（ 0，5） 3已知双曲线上有一点到两焦点（0， 3） 、 （0，3）的距离 差是 2，求双曲线的标准方程 提问 巡视 指导 思考 动手 求解 交流 及时 了解 学生 知识 掌握 的情 况 40 * 归纳小结强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ * 自我反思目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 引导 提问 回忆 反思 培养 学生 反思 学习 过程 的能 力 43 * 继续探索活动探究 (1) 读书部分：教材章节7.7.1 ； (2) 书面作业：学习与训练7.7.1 ； (3) 实践操作：利用几何画板画出双曲线 说明记录45