中考数学压轴题动点存在性问题分类例题介绍.pdf

1 目目 录录 中考压轴题中考压轴题动动点的存在性问题点的存在性问题 1.1. 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例 1 2011 年深圳市中考第 23 题3 例 2 2011 年上海闸北区中考模拟第 25 题5 例 3 2011 年上海杨浦区中考模拟第 24 题6 例 4 2010 年义乌市中考第 24 题7 例 5 2010 年上海宝山区中考模拟第 24 题8 例 6 2011 年上海宝山区中考模拟第 25 题9 例 7 2011 年上海静安区中考模拟第 25 题10 例 8 2011 年上海青浦区中考模拟第 24 题11 例 9 2011 年上海徐汇区中考模拟第 24 题12 例 10 2009 年临沂市中考第 26 题13 例 11 2009 年上海闸北区中考模拟第 25 题15 例 12 2008 年杭州市中考第 24 题17 2 2 因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题 例 13 2011 年上海虹口区中考模拟第 25 题18 例 14 2011 年上海黄浦区中考模拟第 25 题19 例 15 2011 年上海金山区中考模拟第 25 题20 例 16 2011 年湖州市中考第 24 题21 例 17 2011 年盐城市中考第 28 题22 例 18 2010 年上海闸北区中考模拟第 25 题23 例 19 2010 年南通市中考第 27 题24 例 20 2010 年台州市中考第 24 题25 例 21 2009 年重庆市中考第 26 题26 例 22 2009 年上海市中考第 24 题28 3. 3. 因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题 例 23 2011 年上海奉贤区中考模拟第 24 题29 例 24 2011 年北京通州区中考模拟第 25 题30 例 25 2011 年温州市中考第 24 题31 例 26 2011 年沈阳市中考第 25 题32 例 27 2011 年浙江省中考第 23 题33 例 28 2010 年北京市中考第 24 题34 例 29 2010 年荆门市中考第 24 题35 例 30 2009 年嘉兴市中考第 24 题36 例 31 2008 年河南省中考第 23 题37 例 32 2008 年天津市中考第 25 题38 4. 4. 因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题 例 33 2011 年上海金山区中考模拟第 24 题39 例 34 2011 年上海普陀区中考模拟第 24 题40 例 35 2011 年上海青浦区中考模拟第 25 题41 例 36 2011 年成都市中考第 28 题42 例 37 2011 年无锡市中考第 27 题43 例 38 2011 年上海市中考第 24 题44 例 39 2011 年江西省中考第 24 题45 2 例 40 2010 年河南省中考第 23 题46 例 41 2010 年山西省中考第 26 题48 例 42 2009 年福州市中考第 21 题49 例 43 2009 年江西省中考第 24 题51 例 44 2008 年太原市中考第 29 题53 5.5. 因动点产生的梯形问题因动点产生的梯形问题 例 45 2011 年北京海淀区中考模拟第 24 题54 例 46 2011 年义乌市中考第 24 题55 例 47 2010 年杭州市中考第 24 题56 例 48 2010 年上海奉贤区中考模拟第 24 题58 例 49 2009 年广州市中考第 25 题59 例 50 2009 年河北省中考第 26 题61 6.6. 因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题 例 51 2011 年南通市中考第 28 题63 例 52 2011 年上海松江区中考模拟第 24 题64 例 53 2011 年上海闵行区中考模拟第 24 题65 例 54 2010 年湖州市中考第 24 题66 例 55 2010 年广州市中考第 25 题67 例 56 2010 年扬州市中考第 28 题68 例 57 2009 年深圳市中考第 23 题69 例 58 2009 年兰州市中考第 29 题71 例 59 2008 年长春市中考第 25 题73 7 7. . 因动点产生的相切问题因动点产生的相切问题 例 60 2011 年上海奉贤区中考模拟第 25 题74 例 61 2011 年上海虹口区中考模拟第 24 题75 例 62 2011 年上海卢湾区中考模拟第 25 题76 例 63 2011 年上海徐汇区中考模拟第 25 题78 例 64 2010 年福州市中考第 22 题80 例 65 2010 年泰州市中考第 28 题81 例 66 2010 年盐城市中考第 28 题82 8 8 因动点产生的线段和差问题因动点产生的线段和差问题 例 67 2011 年北京房山区中考模拟第 25 题83 例 68 2011 年北京丰台区中考模拟第 25 题84 例 69 2011 年北京海淀区中考模拟第 25 题85 例 70 2011 年北京平谷区中考模拟第 25 题86 例 71 2010 年深圳市中考第 22 题87 例 72 2011 年福州市中考第 22 题88 例 73 2011 年菏泽市中考第 21 题89 例 74 2011 年衢州市中考第 24 题90 例 75 2011 年嘉兴市中考第 24 题91 例 76 2010 年聊城市中考第 25 题92 例 77 2010 年南通市中考第 28 题93 例 78 2010 年中山市中考第 22 题94 3 1. 1. 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 例例 1 1 20112011 年年深圳深圳市中考第市中考第 2 23 3 题题 如图 1，抛物线 yax2bxc（a0）的顶点为 C（1，4） ，交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（3，0） 。 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中点 E 的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为直线 PQ 上的一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使 D、G、H、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由。 （3）如图 3，在抛物线上是否存在一点 T，过点 T 作 x 轴的垂线，垂足为点 M，过点 M 作 MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，使DNMBMD。若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由。 解解答答： （1）设所求抛物线的解析式为：ya(x1)24，依题意，将点 B（3，0）代入，得： a(31)240 解得：a1 所求抛物线的解析式为：y(x1)24 （2）如图 4，在 y 轴的负半轴上取一点 I，使得点 F 与点 I 关于 x 轴对称， 在 x 轴上取一点 H，连接 HF、HI、HG、GD、GE，则 HFHI 设过 A、E 两点的一次函数解析式为：ykxb（k0） ， 点 E 在抛物线上且点 E 的横坐标为 2，将 x2 代入抛物线 y(x1)24，得 y(21)243 点 E 坐标为（2，3） 又抛物线 y(x1)24 图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B、D 当 y0 时，(x1)240， x1 或 x3 当 x0 时，y143, 点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，点 D（0，3） 又抛物线的对称轴为：直线 x1， 点 D 与点 E 关于 PQ 对称，GDGE 分别将点 A（1，0） 、点 E（2，3）代入 ykxb，得： 023kbkb 解得：11kb 过 A、E 两点的一次函数解析式为：yx1 当 x0 时，y1 点 F 坐标为（0，1） 2DF 又点 F 与点 I 关于 x 轴对称， 点 I 坐标为（0，1） 图 1 A B x y O D C 图 2 A B x y O D C P Q E F 图 3 A B x y O D C E F 图 4 A B x y O D C Q I G H P 4 2222242 5EIDEDI 又要使四边形 DFHG 的周长最小，由于 DF 是一个定值， 只要使 DGGHHI 最小即可 由图形的对称性和、，可知， DGGHHFEGGHHI 只有当 EI 为一条直线时，EGGHHI 最小 设过 E（2，3） 、I（0，1）两点的函数解析式为：yk1xb1（k10） ， 分别将点 E（2，3） 、点 I（0，1）代入 yk1xb1，得： 111231kbb 解得：1121kb 过 A、E 两点的一次函数解析式为：y2x1 当 x1 时，y1；当 y0 时，x12； 点 G 坐标为（1，1） ，点 H 坐标为（12，0） 四边形 DFHG 的周长最小为：DFDGGHHFDFEI 由和，可知： DFEI22 5 四边形 DFHG 的周长最小为22 5。 （3）如图 5，由题意可知，NMDMDB， 要使，DNMBMD，只要使NMMDMDBD即可， 即：MD2NMBD 设点 M 的坐标为（a，0） ，由 MNBD，可得 AMNABD， NMAMBDAB 再由（1） 、 （2）可知，AM1a，BD3 2，AB4 (1) 3 23 2(1)44AMBDaMNaAB MD2OD2OM2a29， 式可写成： a293 2(1)4a3 2 解得： a32或 a3（不合题意，舍去） 点 M 的坐标为（32，0） 又点 T 在抛物线 y(x1)24 图像上， 当 x32时，y154 点 T 的坐标为（32，154） 图 5 A B x y O D C M T N 5 例例 2 2 20112011 年上海年上海市市闸北区中考模拟第闸北区中考模拟第 2525 题题 直线113yx 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90后得到COD， 抛物线 yax2bxc 经过 A、C、D 三点 (1) 写出点 A、B、C、D 的坐标； (2) 求经过 A、C、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G 的坐标； (3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与COD 相似？ 若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 思路思路点拨点拨: : 1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角 图 1 2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标 3第（3）题判断ABQ90是解题的前提 4ABQ 与COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q 与点 B 的位置关系分上下两种情形，点 Q 共有 4 个 解答解答： （1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0) （2）因为抛物线 yax2bxc 经过 A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三点，所以930,3,0.abccabc 解得1,2,3.abc 所以抛物线的解析式为 yx22x3(x1)24，顶点 G 的坐标为(1，4) （3）如图 2，直线 BG 的解析式为 y3x1，直线 CD 的解析式为 y3x3，因此 CD/BG 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 ABCD因此 ABBG，即ABQ90 因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为(x，3x1)，那么22(3 )10BQxxx RtCOD 的两条直角边的比为 13，如果 RtABQ 与 RtCOD 相似，存在两种情况： 当3BQBA时，10310 x解得3x 所以1(3,10)Q，2( 3, 8)Q 当13BQBA时，101310 x解得13x 所以31( ,2)3Q，41(,0)3Q 图 2 图 3 考点伸展考点伸展: : 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明 ABBG；二是22(3 )10BQxxx 我们换个思路解答第（3）题： 如图 3，作 GHy 轴，QNy 轴，垂足分别为 H、N 通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG90 在 RtBGH 中，1sin110 ，3cos 110 当3BQBA时，3 10BQ 在 RtBQN 中，sin13QNBQ ，cos19BNBQ 当 Q 在 B 上方时，1(3,10)Q；当 Q 在 B 下方时，2( 3, 8)Q 当13BQBA时，1103BQ 同理得到31( ,2)3Q，41(,0)3Q 6 例例 3 3 20112011 年上海年上海市市杨浦区中考模拟第杨浦区中考模拟第 2424 题题 RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示，反比例函数(0)kykx在第一象限内的图像与 BC 边交于点 D（4，m） ，与 AB 边交于点 E（2，n） ，BDE 的面积为 2 （1）求 m 与 n 的数量关系； （2）当 tanA12时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式； （3）设直线 AB 与 y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD 上，在（2）的条件下， 如果AEO 与EFP 相似，求点 P 的坐标 图 1 思路点拨思路点拨: : 1探求 m 与 n 的数量关系，用 m 表示点 B、D、E 的坐标，是解题的突破口 2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD/x 轴 3如果AEO 与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况 解答解答: : （1）如图 1，因为点 D（4，m） 、E（2，n）在反比例函数kyx的图像上，所以4,2.mknk 整理，得 n2m （2）如图 2，过点 E 作 EHBC，垂足为 H在 RtBEH 中，tanBEHtanA12，EH2，所以 BH1 因此 D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1) 已知BDE 的面积为 2，所以11(1)2222BD EHm解得 m1因此 D(4，1)，E(2，2)，B(4，3) 因为点 D（4，1）在反比例函数kyx的图像上，所以 k4因此反比例函数的解析式为4yx 设直线 AB 的解析式为 ykxb，代入 B(4，3)、E(2，2)，得34,22.kbkb 解得12k ，1b 因此直线 AB 的函数解析式为112yx 图 2 图 3 图 4 （3）如图 3，因为直线112yx与 y 轴交于点 F（0，1） ，点 D 的坐标为（4，1） ，所以 FD/ x 轴，EFPEAO 因此AEO 与EFP 相似存在两种情况： 如图 3，当EAEFAOFP时，2 552FP解得 FP1此时点 P 的坐标为（1，1） 如图 4，当EAFPAOEF时，2 525FP解得 FP5此时点 P 的坐标为（5，1） 考点伸展考点伸展: : 本题的题设部分有条件“RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示” ，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5 的情况： 第（1）题的结论 m 与 n 的数量关系不变 第（2）题反比例函数的解析式为12yx ，直线 AB 为172yx 第（3）题 FD 不再与 x 轴平行，AEO 与EFP 也不可能相似 图 5 7 例例 4 4 20102010 年义乌市中考第年义乌市中考第 2424 题题 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标； （2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含 S 的代数式表示 x2x1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 思路点拨思路点拨: : 1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x1，我们反其道而行之，用 x1，x2表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y13通过代数变形就可以了 2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证 3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点 G 在 x 轴的上方 解答解答: : （1）抛物线的对称轴为直线1x ，解析式为21184yxx，顶点为 M（1，18） （2） 梯形 O1A1B1C1的面积12122(11)3()62xxSxx ，由此得到1223sxx由于213yy， 所以22212211111138484yyxxxx整理，得212111()()384xxxx因此得到2172xxS 当 S=36 时，212114,2.xxxx 解得126,8.xx 此时点 A1的坐标为（6，3） （3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的 GAF 与GQE，有一个公共角G 在GEQ 中，GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值 在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF 因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 由于3tan4GAF，tan5DQtPQDQPt，所以345tt解得207t 图 3 图 4 考点伸展考点伸展: : 第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3 8 例例 5 5 20102010 年上海年上海市市宝山区中考模拟第宝山区中考模拟第 2424 题题 如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线22ymxmxn上 （1）求 m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 A ABB 为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在 x 轴上找一个点 D，使得以点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似 图 1 思路点拨思路点拨: : 1点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点 B 的坐标、AC 和 BC 的长 2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变 3探求ABC 与BCD 相似，根据菱形的性质，BACCBD，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论 解答解答: : (1) 因为点 A (-2， 4) 和点 B (1， 0)都在抛物线22ymxmxn上， 所以444,20.mmnmmn 解得43m ，4n (2)如图 2，由点 A (-2，4) 和点 B (1，0)，可得 AB5因为四边形 A ABB 为菱形，所以 A ABB AB5因为438342xxy2416133x ， 所以原抛物线的对称轴 x1 向右平移 5 个单位后， 对应的直线为 x4 因此平移后的抛物线的解析式为3164342,xy 图 2 图 3 图 4 (3) 由点 A (-2，4) 和点 B (6，0)，可得 A B4 5 如图 2，由 AM/CN，可得B NB CB MB A，即284 5B C解得5B C 所以3 5AC 根据菱形的性质，在ABC 与BCD 中，BACCBD 如图 3，当ABB CACB D时，553 5B D，解得3B D 此时 OD3，点 D 的坐标为（3，0） 如图 4，当ABB DACB C时，53 55B D，解得53B D 此时 OD133，点 D 的坐标为（133，0） 考点伸展考点伸展: : 在本题情境下，我们还可以探求BCD 与AB B相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况 我们也可以讨论BCD 与CB B相似，这两个三角形有一组公共角B，根据对应边成比例，分两种情况计算 9 例例 6 6 20112011 年上海市宝山区中考模拟第年上海市宝山区中考模拟第 2525 题题 如图 1，已知O 的半径长为 1，PQ 是O 的直径，点 M 是 PQ 延长线上一点，以点 M 为圆心作圆，与O 交于 A、B 两点，联结 PA 并延长，交M 于另外一点 C (1) 若 AB 恰好是O 的直径，设 OM=x，AC=y，试在图 2 中画出符合要求的大致图形，并求 y 关于 x 的函数解析式； (2) 联结 OA、MA、MC，若 OAMA，且OMA 与PMC 相似，求 OM 的长度和M 的半径长； (3) 是否存在M，使得 AB、AC 恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求 OM 的长度和M 的半径长；若不存在，试说明理由 图 1 图 2 备用图 思路点拨思路点拨: : 1这三道题目强烈地考验大家的画图能力，第（1）题先画直径 AB 与 PQ 互相垂直平分，等腰直角三角形一目了然 2第（2）题根据OAM90画出点 M，再画M，PMC 就是直角三角形，如果OMA 与PMC 相似，RtOAM 的两个锐角的关系就很显然 3第（3）题没有图不直观，画图更难办倒行逆施：先画好正五边形 ACDEB、外接圆 M 以及对称轴 MD，延长 CA 与对称轴 MD 的交点不就是点 P?看看图形的对称性吧，思路豁然开朗 解答解答: : （1）图画：画直径 AB 垂直 PQ；以 M 为圆心，过点 A 画圆交射线 PA 于点 C 如图 3，过点 M 作 MHAC，垂足为 H，那么 AHCH12y 因为 AB 与 PQ 互相垂直平分，所以PAO、PMH 都是等腰直角三角形 由于 PO1，OMx，所以 PA2，PH122y，PM1x 由 PM2PH，得 1x2(122y) 整理，得 y 关于 x 的函数解析式为22yx （2）如图 4，因为 OAMA，所以1 与2 互余 又因为1C，2P，所以C 与P 互余，CMP 为直角三角形 因为32P，所以OMA 与PMC 相似，只存在4P 的情况 在 RtOAM 中，324，所以430 因此 OM2OA2，M 的半径 AM3 图 3 图 4 图 5 图 6 （3）如图 5，假设存在M，使得 AB、AC 恰好是正五边形 ACDEB 的两条边， 那么正五边形 ACDEB 的对称轴是直线 PQ，ADB36 由于正五边形 ACDEB 的外角等于 72，所以PAB 的顶角APB36因此点 P 与点 D 关于直线 AB 是对称的 所以M 与是A 等圆，半径为 1 如图 6，设M 与 OM 交于点 G，那么MAG 与AQG 都是顶角为 36的等腰三角形因此 AGAQQM 设 AQm，那么 m21m解得512m 所以 OMOQQM5151122 考点伸展考点伸展: : 第（3）题求 OM 的长，关键是求 QM 的长36的等腰三角形，不由得让人联想起黄金三角形、黄金分割、黄金分割数 如图 6，由MAGAQG，得MAAGAGGQ通过解方程 m21m，得512m因此点 Q 就是 MG 的一个黄金分割点 10 例例 7 7 20112011 年上海市静安区中考模拟第年上海市静安区中考模拟第 2525 题题 如图 1，在半径为 5 的O 中，点 A、B 在O 上，AOB=90，点 C 是AB上的一个动点，AC 与 OB 的延长线相交于点 D，设 AC=x，BD=y （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）如果O1与O 相交于点 A、C，且O1与O 的圆心距为 2，当 BD31OB 时，求O1的半径； （3）是否存在点 C，使得DCBDOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由 图 1 图 2 图 3 图 4 思路点拨思路点拨： 1综合考虑第（1） 、 （2）题，可以感悟到应用垂径定理构造辅助线 2第（1）题求得的解析式容易折磨人的自信，第（2）题的计算更显得繁琐 3第（2）题O1与O 的圆心距为 2，要考虑两种情况 4第（3）题中，隐含了DCB 保持 45不变这个条件，不易觉察 解答解答： （1）如图 2，过圆心 O 作 OEAC，垂足为 E，那么 AExAC2121 在 RtAOE 中，OE=2224125xAEAO 由tanOEDOAAEAO，得OE AODO AE所以215 25(5)42xxy 整理，得xxxy510052自变量的取值范围为250 x （2）如图 3，当 BD31OB 时，35y 解方程xxx51005352，得 x6 此时，在 RtAOE 中，OA5，AE3，所以 OE4 当点 O1在线段 OE 上时，211OOOEEO， 在 RtAO1E 中，1332222211AEEOAO 当点 O1在线段 EO 的延长线上时，611OOOEEO， 在 RtAO1E 中，5336222211AEEOAO 综合、，O1的半径为13或53 （3）如图 4，四边形 AOBC 的内角和等于 360，其中AOB90，所以另外三个角的和为 270 由于 OAOBOC，所以OACOCA，OBCOCB 因此ACB135所以DCB45，为定值 所以当DOC45时，DCBDOC 此时 C 为AB的中点 考点伸展考点伸展： 在本题情境下，BCD 能否成为等腰三角形？ 不可能的这是因为，DCB45，D 总是小于 45 为什么D 总是小于 45？在 RtAOD 中，A 的大小由点 C 来决定，当 C 与 B 重合时，A 取得最小值 45，而此时BCD 不存在 OBACD11 例例 8 8 20112011 年上海市青浦区中考模拟第年上海市青浦区中考模拟第 2424 题题 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，A90，BDDC，BC10cm，CD6cm在线段 BC、CD 上有动点 F、E，点 F以每秒 2cm 的速度，在线段 BC 上从点 B 向点 C 匀速运动；同时点 E 以每秒 1cm 的速度，在线段 CD 上从点 C 向点 D 匀速运动当点 F 到达点 C 时，点 E 同时停止运动设点 F 运动的时间为 t（秒） （1）求 AD 的长； （2）设四边形 BFED 的面积为 y，求 y 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点 F、E 在运动过程中，如果CEF 与BDC 相似，求线段 BF 的长 图 1 备用图 图 2 图 3 图 4 思路点拨思路点拨： 1本题情景中的直角三角形，不论是静态的，还是运动的，三边比都是 345 2CEF 与BDC 有公共的C，如果CEF 与BDC 相似，那么CEF 为直角三角形，因此要分两种情况讨论 解答解答： （1）在 RtBCD 中，CD6cm，BC10cm，所以 BD8cm 因为 AD/BC，所以ADBCBD 在 RtBCD 中，BD8cm，cosADBcosCBD45，所以 ADBD cosADB325 cm （2）BCD 的面积为 24 如图 2，过点 E 作 EHAB，垂足为 H 在 RtCEH 中，CEt，sinC45，所以 EHCE sinC45t 因此21144(102 )42255CEFSCF EHtttt 所以224424(4 )42455BCDCEFySStttt 自变量的取值范围为 0t5 （3）如图 3，当CEF90时，35CECDCFCB所以31025tt 解得3011t 此时60211BFtcm 如图 4，当CFE90时，35CFCDCECB所以10235tt 解得5013t 此时100213BFtcm 考点伸展考点伸展： 在本题情境下，以 BF 为半径的B 与以 DE 为半径的D 如果相切，求时间 t 对于B，rB2t；对于D，rD6t；圆心距 BD8 如图 5，当两圆外切时，rBrDBD解方程 2t6t8，得 t2 如图 6，当两圆内切时，|rBrD|BD解方程|2t（6t）|8，得 t143 图 5 图 6 12 例例 9 9 20112011 年上海市徐汇区中考模拟第年上海市徐汇区中考模拟第 2424 题题 如图 1，已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， D 为 OC 的中点，直线 AD 交抛物线于点 E（2，6） ，且ABE 与ABC 的面积之比为 32 （1）求直线 AD 和抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与x轴相交于点 F，点 Q 为直线 AD 上一点，且ABQ 与ADF 相似，直接写出点 Q 点的坐标 图 1 图 2 图 3 图 4 思路点拨思路点拨： 1点 E 是已知的，由同底三角形的面积关系得到点 C 的坐标，由 D 是 OC 的中点再得到点 D 的坐标求直线 AD 的解析式需要代入点 D 和点 E 的坐标 2由直线 AD 的解析式得到点 A 的坐标，代入点 A、C、E 可以用待定系数法求抛物线的解析式 3探求ABQ 与ADF 相似，点 Q 不可能在 x 轴下方 4点 Q 在 x 轴上方时，ABQ 与ADF 相似有两种情况 解答解答： （1）因为ABE 与ABC 是同底的三角形，所以面积比等于高的比 因为ABE 与ABC 的面积之比为 32，E（2，6） ，所以点 C 的坐标为（0，4） ，OC 的中点 D 的坐标为（0，2） 设直线 AD 的解析式为 ykxb，代入点 D（0，2）和点 E（2，6） ， 得2,26.bkb 解得2,2.kb 所以直线 AD 的解析式为 y2x2 于是得到点 A 的坐标为（1，0） 因为抛物线 yax2bxc 经过 A（1，0） 、C（0，4） 、E（2，6）三点， 所以0,0,426.abccabc 解得1,3,4.abc 所以抛物线的解析式为 yx23x4 （2）点 Q 的坐标为（1，4）或（32，5） 考点伸展考点伸展： 第（2）题的解题思路是这样的： 由 yx23x4(x1)(x4)，知点 B 的坐标为（4，0） ，点 F 的坐标为（32，0） 当点 Q 在 x 轴下方的直线 AD 上时，ABQ 是钝角三角形，不可能与ADF 相似，因此点 Q 一定在 x 轴上方 此时ABQ 与ADF 有一个公共的A，两个三角形相似存在两种情况： 如图 2，当ABAFAQAD时，由于 F 是 AB 的中点，所以此时 D 是 AQ 的中点 因此点 Q 与点 A 关于点 D 对称，所以点 Q 的坐标为（1，4） 如图 3，当ABADAQAF时，5552AQ，解得5 52AQ 如图 4，作 QHx 轴，垂足为 H 由于 DO/QH，那么AOODADAHHQAQ，即1255 52AHHQ 解得 AH52，HQ5所以点 Q 的坐标为（32，5） 事实上，图 4 中的点 H 就是图 3 中的点 F 13 例例 1010 20092009 年临沂市中考第年临沂市中考第 2626 题题 如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标 图 1 思路点拨思路点拨： 1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便 2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长 3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程 4把DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA 解答解答： （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay， 代入点 C 的坐标（0，2） ，解得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy （2）设点 P 的坐标为)4)(1(21,(xxx 如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x4，)4)(1(21xxPM，xAM 4 如果2COAOPMAM，那么24)4)(1(21xxx解得5x不合题意 如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x 此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4，)4)(1(21xxPM，4 xAM 解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点 P 的坐标为)2, 5( 解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意 如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1，)4)(1(21xxPM，xAM 4 解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点 P 的坐标为)14, 3( 解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点 P 与点 O 重合，不合题意 综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或)14, 3(或)2, 5( 14 图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为221xy 设点 D 的横坐标为 m)41 ( m，那么点 D 的坐标为)22521,(2mmm，点 E 的坐标为)221,(mm 所以)221()22521(2mmmDEmm2212 因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m 当2m时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1） 图 5 图 6 考点伸展考点伸展： 第（3）题也可以这样解： 如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去CDN 和ADM 的面积 设点 D 的横坐标为（m，n）)41 ( m，那么 42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS 由于225212mmn，所以mmS42 15 例例 1111 20092009 年上海市闸北区中考模拟第年上海市闸北区中考模拟第 2525 题题 如图 1，ABC 中，AB5，AC3，cosA310D 为射线 BA 上的点（点 D 不与点 B 重合） ， 作 DE/BC 交射线 CA 于点 E. (1) 若 CEx，BDy，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段 BD，CE 为直径的两圆相切时，求 DE 的长度； (3) 当点 D 在 AB 边上时，BC 边上是否存在点 F，使ABC 与DEF 相似？若存在，请求出线段 BF 的长；若不存在，请说明理由 图 1 备用图 备用图 思路点拨思路点拨 1先解读背景图，ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的DEF 也是等腰三角形 2用含有 x 的式子表示 BD、DE、MN 是解答第（2）题的先决条件，注意点 E 的位置不同，DE、MN 表示的形式分两种情况 3求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意 4第（3）题按照 DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题 解答解答： （1）如图 2，作 BHAC，垂足为点 H在 RtABH 中，AB5，cosA310AHAB，所以 AH3212AC 所以 BH 垂直平分 AC，ABC 为等腰三角形，ABCB5 因为 DE/BC，所以ABACDBEC，即53yx于是得到53yx， （0 x ） （2）如图 3，图 4，