福建省三明市三地三校2020-2021学年高二上学期联考协作卷数学试题.docx

福建省三明市三地三校 2020-2021 学年高二上学期联考协作卷数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知 a,b,c 都是实数,则在命题“若 a>b,则 ac >bc ”与它的逆命题、否命题、逆否命题22这四个命题中,真命题的个数是()A4B2C1D0p : x =1 y = 2且q : x + y = 3p，则 是 的 （q2已知，）A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件P : $nÎ N,n > 2 ，则ØP3设命题为（ ）2n"nÎ N,n > 2$nÎ N,n £ 2nACBD2n2"nÎ N,n £ 2$nÎ N,n = 2n2n2P(x, y)F (-4,0), F (4,0)4在平面直角坐标系 xOy 中，已知动点和是 10，则点 P 的轨迹方程是（）到两定点的距离之12xy22x2 y2A + =11BD+=125 925 16y xy x2222C + =+ =125 925 16x = y25抛物线的焦点坐标是（）111214æAçèö÷øæBçèö÷øæö÷øæö÷ø0，0，0，0CçDç42èèx2 y2+x y22=1与双曲线 - =1m 2有公共焦点，则 m 取值为（）6若椭圆A24 m2B1C2D3xy227已知双曲线 - = 的离心率为13，则该双曲线的渐近线方程为（）a821y = ± x22AB y = ±x2 y = ± 2xC = ±2xDy= (2, 3,1)a -b8已知向量aA1， =(1, 2, 0)，则b等于（）B 3C3D99已知A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点 A， 一定共面的是（B C）AOM OA OB OC=+BD=+ 2 + 3OM OA OB OC111111= OA+ OB + OCOM = OA+ OB + OCCOM22233310如图，空间四边形OABC 中，OA a=,OB = b,OC = c，点 M 是 OA 的中点，点 N=2NB= + +，设 MN xa yb zc ，则 ， ， 的值为（x y z）在BC 上，且CN1 1 21 2 1， ，2 3 31 2 1- ， ，2 3 3， ，2 3 3ABC1 1 2- ， ，2 3 3D= kx + 2211已知直线 y- y =4的右支相交于不同的两点，则 k 的取值范与双曲线 x2围是（）A( -1,1)B( - 2 , 2 )C(1, 2 )D( - 2 , -1)= 2 px ( p > 0)3的直线12已知抛物线 y2的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜率为交抛物线于点 （ 在第一象限）， ，垂足为 ，直 线M M交 轴于点 ，若|MD|=MN lNNFyD3，则抛物线方程是（）= xy = 2x2y = 4x2y = 8x2A y2BCD二、填空题 xy2213椭圆 + = 的焦点在 x 轴上，焦距为 8，则该椭圆的离心率为_1a220$ xÎ R ，x + mx +1 = 014已知命题 p：；命题 q：2" x Î R ，4x + 4(m - 2)x +1 > 02若命题 pq 为真命题，p 为真命题，则实数 m的取值范围是_xy2215已知椭圆 + = 的左、右焦点分别为F ，F ，点P 是椭圆上的一点，若PF19 5121PF2 ，则F PF的面积是_12D P1D B16设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCDA B C D 的对角线 BD 上，记.当111111APC 为钝角时， 的取值范围是_三、解答题: x - x - 6 > 0: ( - -1)( - +1) > 0x a ，若 p 是 的充分不必要条件，q17已知 p求实数a 的取值范围18已知空间三点 A(2, -5,1),B(2, -2,4), C(1,-4,1)，q x a2（1）求向量与的夹角；ACAB（2）若(AB - k AC) (AB + k AC)，求实数 的值k19如图，在正方体 ABCD A B C D 中，棱长为 2，M，N 分别为 A B，AC 的中点11111 （1）证明：MN/B C；1（2）求 A B 与平面 A B CD 所成角的大小11 1AB = BC = AC = 420如图，四面体 ABCD 中，平面 DAC底面 ABC，ADCD2 2，O 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点（1）证明：DO底面 ABC；（2）求二面角 D-AE-C 的余弦值y2 = 2 px ( p > 0)M ( 3 , 2 3 )21已知抛物线（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若|AB|8，求直线 l 的方程的经过点x2y32F(1,0)+ =1，离心率e =22已知椭圆 C:的右焦点为a b232（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知动直线 l 过点 F，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，试问 x 轴上是否存在定点 M ，11M A·MB = -使得恒成立？若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由9 参考答案1B【详解】原命题是一个假命题,因为当 =0 时,不等式的两边同乘上 0 得到的是一个等式，所以逆否命c题也为假命题;原命题的逆命题是一个真命题,因为当 > 时,一定有 0所, 以必有 >0,ac2 bc2c2c2不等式两边同除一个正数,不等号方向不变,即若 > ,则 > 成立.所以否命题是也真命题,ac2 bc2 a b四个命题中有 2 个真命题.故选 .B2A【分析】p,q将相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.【详解】=1且 y = 2”时，“+ =x y3”；当“x + y = 3”时，不能得到“x =1且= 2”.当“ xypq故 是 的充分不必要条件.故选 A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.3C【详解】"nÎ N,n 2，即本题的正确选特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2n项为 C.4A【分析】根据椭圆的定义判断出 点的轨迹为椭圆，并由此求得椭圆方程.P【详解】由于动点 P(x, y)到两定点(-4,0), (4,0) 的距离之和为10 >F F F，故 点的轨迹为椭PF121 2x2y22a =10,a = 5,c = 4= a -c = 9，所 以 点的轨迹方程为P+ =1.25 9圆，所以，所以b222故选:A. 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的定义求椭圆方程，属于基础题.5A【分析】根据抛物线的几何性质，求得其焦点坐标.【详解】p 1æ14ö÷ø开口向上，且2p =1, =，所以抛物线的焦点坐标是ç0,依题意抛物线 x2 = y.2 4è故选：A.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，属于基础题.6B【分析】> 0x，由此判断交点在 轴上，根据双曲线和椭圆的焦点相同列方程，根据双曲线方程判断m解方程求得m 的值.【详解】x y2x2y22- =1x > 0.依题意椭圆可知，椭圆和双曲线的焦点在 轴上，m+=1由双曲线与双曲线m 24 m2x y22- =1有公共焦点，所以4 -= + 2m m，即m m+ - 2 = 0，由于m> 0，22m 2故上式解得m故选：B.=1.【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的焦点，考查方程的思想，属于基础题.7C【分析】cb根据双曲线离心率求得 ，进而求得 ，从而求得双曲线的渐近线方程.aa【详解】 2cæ öbab= 3= 2= ± x .，故双曲线的渐近线方程为y依题意，即 +1=3，解得2ç ÷aè a ø故选：C.【点睛】本小题主要考查根据双曲线离心率求双曲线渐近线方程，属于基础题.8B【分析】根据模长公式求解即可.【详解】-b = 1 +1 +1 = 3-b = (1,1,1), a故由题 a222.故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的模长计算,属于基础题型.9D【分析】l m,= lAB AC ，+ m首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在使得 AM由此得出正确选项.【详解】( ) ( ) ( ) ( )O 0,0,0 , A 1,0,1 , B 0,0,1 ,C 0,1,1 .不妨设( )= OA+ OB + OC = 1,1,3对于 A 选项，OM，由于 M 的竖坐标3 >1，故 M 不在平面ABC上，故 A 选项错误.( )= OA+ 2OB + 3OC = 1,3,6对于 B 选项，OM，由 于 M 的竖坐标6 >1，故 M 不在平面ABC上，故 B 选项错误.1111 1 332æöOM = OA + OB + OC = , ,>1，故 M 不对于 C 选项，ç÷，由于 M 的竖坐标2222 2 2èø在平面 ABC上，故 C 选项错误.1111 1ö3 3è øæOM = OA + OB + OC = , ,1对于 D 选项，ç÷ ，由于 M 的竖坐标为1 ，故 M 在平333 面上，也即 A, B,C, M四点共面.下面证明结论一定成立：ABC( ) ( )11111=OA+ OB + OC ，得OM -OA = OB -OA + OC -OA ，由OM即 AM313133313l m= AB + AC= =lm= AB + AC成立，也即，故存在，使得 AM33A, B,C, M 四点共面.故选：D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10C【分析】x, y, z将表示为以OA,OB,OC为基底的向量，由此求得的值.MN【详解】( )111öæ= OB + BN - OA = OB + BC -依题意MN ON OM-=ç÷OA232èø ( )111211213= OB + OC -OB - OA = - OA+ OB + OCx = - , y = , z =，所以.3223323故选：C.【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.11D【分析】画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像，根据直线y = kx + 2过定点(0, 2)，且与双曲线右支交于两点，得到k < 0【详解】，由此得出正确选项.用判别式求得 的取值范围.k= kx + 2 过定点(0, 2)y = kx + 2= ±x双曲线渐近线为 y，直线y.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线- =4的右支相交于不的图像如下图所示，由图可知，要使直线与双曲线 x2 y2ìy = kx +2< -1，结合选项可知只有 D 选项符合.由 íy消去 得同的两点，则kx - y = 4î22( )( )2y = kx + 2，因为直线 与双曲线x - kx + 2 = 4，化简得2221- k x - 4kx -8 = 0( )ìD =16k + 32 1- k > 0ï22x2 - y2 = 4 的右支相交于不同的两点，所以í，解得< -1ïkî- 2 < k < -1.故选 D.【点睛】 本小题主要考查根据直线和双曲线右支交点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.12B【分析】画出图像，根据直线MF 的斜率，证得三角形MNF 是等边三角形，根据中位线证得D 是= 3NF 中点，结合 MD求得 的坐标，进而求得 p 的值，从而求得抛物线方程.F【详解】画出图像如下图所示，由于直线MF 的斜率为 3 ，故ÐMFA =，由于 MN l ，故3MN= MFÐFMN =，根据抛物线的定义得，故三角形 MNF 是等边三角形.由于O是3BN / /OD，所以 是 NF 中点，而 MD= 3BF 的中点，D，根据等边三角形的性质可知MN = MF = NF = 2，在直角三角形ODF=1,ÐDFO =中， DF，所以3p 1OF = = ，解得 p =1，故抛物线方程为 y2 = 2x .2 2故选 B.【点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，直线和抛物线的位置关系，考查等边三角形的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.213 .3【分析】c根据焦距求得 ，由此求得a 的值，进而求得椭圆离心率.【详解】由于椭圆焦距2c = 8,c = 4= 20 + 4 = 36, =a6，所以椭圆离心x，椭圆焦点在 上，故a22c 4 2= =率为.a 6 32故答案为【点睛】3本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的几何性质，属于基础题.14(1, 2 ).【分析】q根据“ 为真命题， 为真命题”判断出 p 假 真，写出 并根据 为真命题求得mp qpppq的取值范围.根据 为真命题求得 的取值范围，由此求得满足“ 为真命题， 为真mp qp命题”时m 的取值范围.【详解】Ø :p " Î , +x R xq+1 ¹ 0为由于“ 为真命题， 为真命题”，故“p 假 真”.而p qp2mxq对于命题 ，由于-2 < m < 2真命题，故D = m2 - 4 < 0，解得.( )D =16 m - 2 -16 < 0，解得1< m < 3.2" x Î R ，4x + 4(m - 2)x +1 > 02为真命题，故( )1,2m综上所述， 的取值范围是.( )1,2故答案为【点睛】.本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围，考查一元二次方程没有实数根、一元二次不等式恒成立问题的求解，属于基础题.155. 【分析】利用勾股定理和椭圆的定义列方程，由化简的结果求得三角形F PF 的面积.12【详解】ì + =2a = 6m nïí= 3,c = 2PF = m, PF = n，依题意有根据椭圆方程可知 a( )，设，m2+ n = 2c =16212( )2ïî1+ n - 2mn =16,6 - 2mn =16,mn =10= 5所以 m22，所以三角形 F PF 的面积为 mn.212故答案为：5【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆焦点三角形的面积的求法，属于基础题.116( ，1)3【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力以、DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则有 A(1,0,0)，DCDA1B(1,1,0)，C(0,1,0)，D (0,0,1)，则 D B (1,1，1)，得 D P D B (，)，所以PA1111 PD D A(，)(1,0，1)(1，1)， PD DC (PC1111，)(0,1，1)(，1，1)，显然APC 不是平角，所以APC 为钝角等1价于·PA PC<0，即(1)(1)(1) <0，即(1)(31)<0，解得 <<1，因231此 的取值范围是( ，1)317-1,2.【分析】qq解一元二次不等式分别求得 、 中 的取值范围，根据 是 的充分不必要条件可知 对pxppq应的 的取值范围是 对应的 的取值范围的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得axx的取值范围.【详解】 x < -2 x > 3或 .解不等式 x2 - x - 6 > 0 得p : A = x | x < -2 x > 3或 ，解不等式 ( xa1 ) ( xa1 ) > 0，得 xa1 或 x > a+1. q：B= x | xa1 或 x > a+1 p 是 q 的充分不必要条件，AÌ Bqp p q 但 推不出 ，所以，¹ìa -1³ -2ìa -1> -2 í或 í，îa +1< 3îa +1£ 3-1£ a < 2-1< a £ 2-1£ a £ 2.解得或，于是.所以，实数 a 的取值范围是-1,2【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据充分不必要条件求参数，属于基础题.18（1）60°.（2）3 或【分析】-3.AB, ACAB, AC夹角的余弦值，由此求得这两个（1）计算出向量的夹角.（2）先求得，根据向量夹角的公式求得AB - k AC, AB + k AC的坐标，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得k 的值.【详解】（1）由已知得： AB （0，3，3），AC（1，1，0），AB AC0´(-1)+ 3´1+ 3´0 1cos < AB, AC >=，2AB AC0 + 3 + 3 1 1 0+ +22所以，向量 AB 与AC的夹角为 60°AB - k AC = (k,3 - k,3), AB + k AC = (-k,3 + k,3)（2），(AB - k AC) (AB + k AC)， (AB - k AC)×(AB + k AC) = 0，k×(k)(3k)×(3k)3×30，解得 k3 或k3 实数k 的值是 3 或3【点睛】本小题主要考查利用平面向量的坐标运算求得向量夹角，考查两个向量垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.19（1）见解析；A BA B CD所成角为30 （2） 与平面11 1【分析】BC = 2MN1（1）以D 为原点建立空间直角坐标系，通过坐标运算求得，由此证得MN / /B C.1A BA B CD的法向量，求得线面角的正弦值，由此求得（2）利用直线 的方向向量和平面11 1线面角的大小.【详解】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴 ，DD 为z 轴建立空间直角坐标系1A(2,0,0) C(0,2,0)，A (2,0, 2)B (2, 2, 2) M (2,1,1) N(1,1,0)， ， ， 则，11MN = (-1,0, -1)， B C ( 2,0, 2)= - - 1BC = 2MNBC / MN，11 MN / /B C即1A(2,0,0) B (2, 2, 2)，A B = (0,2, -2)1DC = (0, 2,0)（2）易得， ，1m = (x , y , z )设平面ADE 的一个法向量为，111ìn·B C 0,ì-2x - 2z = 0,=ï则í即í1n·A B = 0,î2y = 0,ïî11x = -1, y = 0 ，所以m = (-1,0,1)z =1令 ，则设A B 与平面A B CD 所成角为，111| A B n | -2 |1sin =| cos < A B,n >|=q1则2 2 2 21A B n1 A B 与平面A B CD 所成角为 30°111【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明两条直线垂直，考查利用空间向量法求线面角的大小，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.20（1）见解析；7（2）.7【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到DO AC，在根据面面垂直的性质定理，证得DO 平面ABC.OCAEDAE（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法向量，计算出二面角D - AE -C 的余弦值.【详解】2 2（1）证明： ADCD ，O 是AC 的中点， DOAC 平面DAC底面ABC，平面DAC底面ABCAC， DO底面ABC（2）解：由条件易知DOBO，BOAC2 3OAOCOD2， OB 如图，以点 O 为坐标原点，OA 为 x 轴， OB 为 y 轴，OC 为 z 轴建立空间直角坐标系A(2,0,0)，C(-2,0,0)，B(0, 2 3,0)则，D(0,0,2)E(0, 3,1)，AE = (-2, 3,1) AD = (-2,0, 2) AC = (-4,0,0)，n = (x , y , z )设平面 ADE 的一个法向量为，111ì-2x + 2z = 0,ìn·AD 0,=ï则令í即 í11n·AE = 0,-2x + 3y + z = 0,ïîî11133z =11x =1, y =n = (1, ,1)，则，所以3311同理可得平面 AEC 的一个法向量m = (0,-1, 3)31´0 +´(-1)+1´ 3m×n73cos < m,n >=m × n171+ +1× 0 +1+ 337因为二面角 D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角 D-AE-C的余弦值为【点睛】7本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.y = 4x2x - y -1 = 0 x + y -1 = 0或 21（1）；（2）【分析】p（1）利用 M 点坐标，求得 的值，进而求得抛物线方程. AB¹ 8xx；当直线l 与 轴不垂直时，（2）由（1）求得 点的坐标.当l 与 轴垂直时，求得F设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，根据抛物线的弦长公式列方程，解方程求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程.【详解】( 3 , 2 3 )= 2px 得 p= 2（1）把点 M带入方程 y2，= 4x所以，抛物线方程为 y2= 4x（2）抛物线方程 y得焦点坐标为 （1，0 ），F2若直线 与 轴垂直，易得 （1，2 ）， （1，2 ），此时| |8ABlxAB若直线 不与 轴垂直，设直线 的斜率为 ，llxk则直线 的方程为 y= k(x -1)lìy = k(x-1)由 í消 整理得：kyx- (2k + 4)x + k = 0，2222îy2 =4x2k + 442+ x = 2 + x12k2k24| AB |= x + x + p = 2 + + 2 = 8，解得k2 =1，即 = ±1k12k2= x -1 y = -x +1或x - y -1 = 0 x + y -1 = 0或 直线l 的方程为 y，即【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查根据直线和抛物线相交所得弦长求得参数，考查运算求解能力，属于中档题.xy2222（1） + = ；13 2411( ,0)M A·，使得MB = - 恒成立，理由见解析.（2） 轴上存在点 Mx39【分析】a,b（1）根据焦点坐标、离心率结合a = b + c 列式，求得的值，从而求得椭圆的标准方222程.119( )M m.0x×，使MA MB= -,.当直线l 斜率为0 时，求得A B两点的（2）假 设 轴上存在 119MA×MB = -A, Bm列方程，解方程求得 的值 当直线 斜率不存在时，求得.l坐标，利用114两点的坐标，利用MA×MB = -列方程，解方程求得 的值 由此判断 = ，由此求得Mm.m93点坐标，再证当直线l 斜率存在时，MA×MB = -11即可.当直线l 斜率存在时，设出直线l 的911方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，计算得MA×MB = -，由此求得符合9题意的M 点的坐标.【详解】c3=1（1） c ，e = 3， a ，a3 b = a - c = 2 222 椭圆方程为x2y2+ =13 2119×MB = -（2）假设 轴上存在点 ( ,0),使得MAM m,x( - 3 , 0 ) B( 3 , 0 ),当直线 的斜率为 0 时, A,l则MA×MB = (m + 3,0) ×(m - 3,0) = m2 -3 = -11, 解得43m = ±92 332 3(1,) B(1, -,) ,当直线 的斜率不存在时, Al32 32 3411则MA× MB = (1- m,)×(1- m,-) = (1- m)2 - = -,333924=解得 m , = m334由可得 = m3411×MB = -9下面证明 = 时, MA恒成立.= k(x -1).m3直线 斜率存在时,设直线方程为ylìy = k(x-1)(3k + 2)x - 6k x + 3k - 6 = 0,由í消 y 整理得:22222x +3y = 6î226k23k - 62x + x =,x x,3k +23k + 21221 22 -4k2y y = k(x -1)(x -1) = kx x - (x + x ) +1=.223k + 212121 212244416MA×MB = (x - , y )×(x - , y ) = x x - (x + x ) + + y y333911221 212123k - 6 4 6k16 -4k-9k - 6 1616112222=- ×+ +=+ = -3+ = - .3k + 2 3 3k + 2 9 3k + 2 3k + 2 99922224119( ,0)3MA×MB = -综上, x 轴上存在点M，使得恒成立.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.119MA×MB = -A, Bm列方程，解方程求得 的值 当直线 斜率不存在时，求得.l坐标，利用114两点的坐标，利用MA×MB = -列方程，解方程求得 的值 由此判断 = ，由此求得Mm.m93点坐标，再证当直线l 斜率存在时，MA×MB = -11即可.当直线l 斜率存在时，设出直线l 的911方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，计算得MA×MB = -，由此求得符合9题意的M 点的坐标.【详解】c3=1（1） c ，e = 3， a ，a3 b = a - c = 2 222 椭圆方程为x2y2+ =13 2119×MB = -（2）假设 轴上存在点 ( ,0),使得MAM m,x( - 3 , 0 ) B( 3 , 0 ),当直线 的斜率为 0 时, A,l则MA×MB = (m + 3,0) ×(m - 3,0) = m2 -3 = -11, 解得43m = ±92 332 3(1,) B(1, -,) ,当直线 的斜率不存在时, Al32 32 3411则MA× MB = (1- m,)×(1- m,-) = (1- m)2 - = -,333924=解得 m , = m334由可得 = m3411×MB = -9下面证明 = 时, MA恒成立.= k(x -1).m3直线 斜率存在时,设直线方程为ylìy = k(x-1)(3k + 2)x - 6k x + 3k - 6 = 0,由í消 y 整理得:22222x +3y = 6î226k23k - 62x + x =,x x,3k +23k + 21221 22 -4k2y y = k(x -1)(x -1) = kx x - (x + x ) +1=.223k + 212121 212