2020届福建省莆田市(第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题(解析版).docx

莆田市第一联盟体 2019-2020 学年上学期高三联考试卷文科数学第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A = -2，-1，1，2 ，B = x x2 - 2x £ 0 ，则 AI B =（1.设集合）( )1，2 1，2 1，2x =1，x = 2A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】I B.首先求集合 ，再求 AB【详解】 x - 2x £ 0 ，2£ x £ 2解得：0B = x 0 £ x £ 2， AI B = 1,2.故选：C【点睛】本题考查集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型.p3asin( - ) = ，则 cos2=（2.若）252425724257-D.A.B.C.2525【答案】C【解析】【分析】35=根据题意先求出cosa，然后再用倍角公式求解即可得到结果pæö÷ø35-aa= cos =sin【详解】由条件得 ç，è 2 37æ ö2cos2a = 2cos a -1= 2´-1= -2ç ÷5è ø25故选 C【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题x y+ £ 222+ £ 4x y的（3.若，则是）x> 0，y > 0A. 充分不必要条件C. 充要条件B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】+ y £4成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条首先判断当时，两边平方后能判断 2xx+ y £ 22件.【详解】当+ y £ 2时，且 x > 0, y > 0x( ) x + y £ 4 Þ x + y + 2xy £ 4，222 x + y £ 4 - 2xy < 4，22若 > 0， > 0，x y+ £ 2 Þ + £ 4xyx y22= y = 2+ £4反过来，当时，满足2x y2+ > 2x y，当此时，x当 > 0， > 0+ £ 4 Þ + £ 2，2x y2/x y.xy故选：A【点睛】本题考查充分必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型. 4.已知等比数列A. 1满足，则 的值为（a）aa+ a = 6，a + a =1211223nB. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】ì +a a q=6由题意列方程组í11求解.a q + a q =12î211q【详解】设等比数列的公比为 ，ì += 6a a q1q = 2,a = 2，解得：í1a q+ a q =121î211故选：B【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题型.4x5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为 ，则图中 的值为（）312A. 2B.C. 1D.2【答案】C【解析】【分析】x画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出 的值.- ABC【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S，如下图所示 1 1443æö= × ×2x×2x ×2x = x =x=1由棱锥的体积公式得：V，解得：ç÷33 23S-ABCèø故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题.1a = log 5，b = log 3，c = e ，则 a，b，c满足（6.已知ln2）242< b < c< <B. b a c< <C. c a b< <D. c b aA. a【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小.1= log 5 = log 5 = log 5【详解】a24221b = log 3 = log 3 ，222Q y = log x是单调递增函数，21< log 5 < log 3 < log 4 = 2，222c = eln2 = 2 ，a < b < c.故选：A【点睛】本题考查对数的运算，和比较大小，意在考查基础计算能力，属于基础题型.7.已知直线l : y = x -1与抛物线 y2，A B 两点，M 是=4x相交于的中点，则点 M 到抛物线准线的距AB离为（）7A.B. 4C. 7D. 82【答案】B【解析】【分析】 1= AB2根据数形结合分析可知点 到抛物线准线的距离 MM '，再根据弦长公式求 AB .M( )= x -1=1,0过抛物线 y2 4x 的焦点 ，如图，【详解】由题意可知直线 yAA',BB ',MM '都和准线垂直，并且垂直分别是 A',B ',M ' ，()12=AA' + BB'，由图象可知 MM 'AA' + BB' = AB根据抛物线的定义可知，1 MM ' = AB，2ì = -1y xí联立得 x - 6x +1 = 0 ，2= 4xîy2x + x = 6，12 AB = x + x + 2 = 8，12 MM ' = 4.故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和弦长公式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型.8.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特( ) 1= x -sin x征，如函数 f x的图像大致是（）2 A.B.D.C.【答案】A【解析】【分析】pæö( )f x0,由判断函数 的奇偶性以及利用导数得出区间ç÷ 的单调性即可判断.è 3 ø( ) 1 ( ) ( ) 1æ1öf -x = -x -sin -x = - x + sin x = - x -sin x = - f (x)【详解】ç÷22è 2ø( )f x则函数 在R 上为奇函数，故排除B、D.()<æ p ö( ) 11¢f x= -xÎ 0,>cos x ，当ç÷ 时，cos x ，即 f x 0è 3 ø22pæö( )f x0,所以函数 在区间ç÷ 上单调递减，故排除Cè 3 ø故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.( )( )( )f xf x = sin x + cosxf x9.关于函数有下述四个结论： 是周期函数； 的最小值为- 2 ；p pö( )f x( )f xæy，è 4 2 ø的图象关于 轴对称； 在区间ç÷ 单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】 代入周期公式，判断周期；去绝对值得到分段函数判断最小值；利用定义判断函数的奇偶性；去绝对值，化简函数，再判断函数的单调性.( ) ( ) ( )ppp+ 2 = sin x + 2 + cos x + 2 = sin x + cos x【详解】 f x( ) ( ) f x + 2 = f xp，( ) f xp是周期为2 的周期函数，故正确； ( )Q f xpÎx 0,2p时函数的值域，的周期是2 ，所以分析æp ö( )x 0,p)f x = sin x + cos x = 2 sin x +当时，ç÷ ，è4 øp p pé 5 öQ + Îx,÷ ，ê4 ë 4 4 øæçèùæp ö2sin x +Î -ç,1úç÷，è4 ø2û( ) f x(ù-1, 2的值域是û æp ö( )p pxÎ ,2f x = -sin x + cos x = 2 cos x +当时，ç÷ ，è4 øpé5 9 ùp px + Î,，êú4 ë4 4 ûéùæp ö2cos x +Î -ë,1ç÷ êú ，è4 ø2û( ) f xéù-1, 2的值域是，ûë( )f xéù-1, 2综上可知函数的值域是，最小值是-1，故不正确；ëû( ) ( ) ( )( )f -x = sin -x + cos -x = sin x + cos x = f x( ) f xy是偶函数，关于 轴对称，故正确；p pp öéùæ( )f x = 2 sin x +xÎ ,由知，当时，ç÷ ，êúë 4 2 ûè4 ø p pp pé 3 ùé 3 ùpx + Î ,=，而 y sin x 在上单调递减，故不正确.êúêú4 ë 2 4 ûë 2 4 û综上可知，正确编号是.故选：B【点睛】本题考查含绝对值的三角函数性质的判断，意在考查转化与化归的思想，推理能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据函数的周期，正确去掉绝对值，然后再分析函数的性质.x2 y ()的左、右焦点分别为2F，FF22- =1 a > 0，b > 0+ =10.已知双曲线，过 作圆 x y a 的切线，与2121a b22ÐF MF = 30°双曲线右支交于点 ，若M，则双曲线的渐近线斜率为（）12( )± 3- 3( )± 3+ 3æçèöæçèö33± 1+± 1-ç÷ç÷A.B.C.）D.÷÷33øø【答案】A【解析】【分析】MF = 4aF M = 6a，再由余弦定理以及1由直角三角形以及中位线的性质得出( )，由双曲线的定义得2b= ± 3- 3c = a + b化简得出2，即可得出双曲线的渐近线斜率.22aAF MF【详解】取切点为 B，连接 BO，作，垂足于 A21BO P AFF，FAF = 2BO = 2a因为在直角三角形由双曲线的定义得：，且 为的中点，所以O2122AF MÐF MF = 30°MF = 2AF = 4a中，所以21222F M = 2a + MF = 6a12( ) ( ) ( )= 6a + 4a -2´6a´4acos30°由余弦定理可知： 2c222( )c = 13-6 3 a化简得：，又 =a b2+22c22( )( )b2b = 12-6 3 a12 6 3 3 3= -= -2所以，即22a2 ( )ba= ± 3- 3所以( )b± = ± 3- 3故双曲线的渐近线斜率为a故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，涉及了直角三角形的性质以及余弦定理，属于中档题.11.2019 年 11 月 18 日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔 10 年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，z的 26 个字母（不论大小写）ì x +1(xÎ N *，x £ 26，x不能被2整除)ïï2依次对应 1，2，3，26 这 26 个自然数通过变换公式：y = í，()xï+13 xÎ N ，x £ 26，x能被2整除*ïî2625+1® +13 =16p : 25 ®=13，即 变换成 m将明文转换成密文，如6，即 f 变换成y.若按上述规定，22若王华收到的密文是ukweat ，那么原来的明文是（）fujianpuxianputianfuxianD.A.B.C.【答案】C【解析】【分析】= 21分别得出u 、 w 对应的自然数，将 y、 y= 23代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案. x +1xy= 21，则=21或13 21+ =，解得：=x 41(舍)， x 16 即uu【详解】 对应的自然数为 21，即22对应的明文为 p ，故排除 A，D；x +1x= 23+13 = 23=，解得： = (舍)，x 45w=x 20 w，即 对应的对应的自然数为 23，即 y 23 ，则或22明文为t ，故排除 B；故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.( ) ( )( )( ) ( )f x > k x -1f ' x - f x = 2ex f 0，= -112.已知对任意实数 x 都有，若，则k 的取值范围是（）æB. çèö÷øæ1，4eèöæ1，4eèö÷ø( )1，+ ¥32321232，4eA.C. ç÷D. çø【答案】D【解析】分析】( )f x( ) ( )= e 2x -1x( )> < =x 1,x 1 x 1和 三种=f x首先根题意构造函数 F x，并且求得函数，再讨论ex情况，参变分离后讨论k 的取值范围.( )f x( )=【详解】设 F x，ex( ) ( )( ) ( )¢f x e f x e-¢ -f x f x( )¢F xxx=2( )，exe2x( )f x( )( ) ( )F x = 2x + c= 2x + c Þ f x = e 2x + c，即，xex( )f 0 = c = -1，( ) ( ) f x = e 2x -1x，( ) ( ) ( ) ( )f x > k x -1 Þ e 2x -1 > k x -1不等式x ( )x( )éêë- ùe 2x 1e 2xx-1当 x>1时， k <，即k <ú，x -1x -1ûmin( )2x -3xe 2x -1( )ex( )-x 2x 32( )设 g x =x¢= ×g x e=×>， x 1，x( ) ( )x -1x -1-122xæ 3 ö( )( )xÎ 1,¢ <g x 0 g x，当ç÷ 时，单调递减，è 2 øæ 3ö( ) ( )¢ >g x 0 g x， 单调递增，xÎç,+¥÷ 时，当è 2øæ 3 ö33当 x=时，函数取得最小值， g ç ÷ 4e ，=22è 2 ø>当 x 1时，3 ，k < 4e2( )x( )éêë- ùe 2x 1e 2xx-1<1时， kk >，即当 x>úx -1x-1ûmax( )2x -3xe 2x -1( )g x eex( )-x 2x 32( )设 g xx¢= ×=×<， x 1 ，=x，( ) ( )x -1x -1-122x( )( )¢ >g x 0 g x，< 0当 x时，单调递增，( )( )¢ <当0，< x <1时， g x 0 g x单调递减，( )( )g xg 0取得最大值，=1，x = 0 时，x <1>时， k 1，( )f 1 e 0=1时，= >恒成立，当 x综上可知：1< k < 4e23 .故选：D【点睛】本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利( )( ) ¢ ( ) ( )f x xf x+ ¢，用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，=xf x( ) ¢( ) ( )( )æ f x ö xf ¢ x - f x( ) ¢，x f x( )( )= 2xf x + x f ¢ xç÷22xx2èø ( ) ¢ ( ) ( )( )(x) æ f x ö f ¢ x - f x，( ) ¢( ) ( )e f x = e f x + f x¢=.ç÷xexexèø二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）=1+ 3i13.已知复数 z 满足iz（i 为虚数单位），则复数_.z =【答案】3+i【解析】【分析】1+ 3i=先化简 z，再求 .zi1+ 3i i + 3i2 -3+ i= 3-i【详解】 zii2-1z = 3+i.故答案为：3+i【点睛】本题考查复数的化简，共轭复数，属于简单题型.2x - y ³ 0ìïx，y³ 0íy= x + 2y的取值范围是_.14.已知满足，则 zïx + y -3 £ 0î 0，5【答案】【解析】【分析】= 0首先作出不等式表示的可行域，再令 zz = x + 2y 的取值范围.作出初始目标函数，通过平移直线求得函数的最大值，求【详解】首先画出不等式组表示的可行域，如图DOAB，= 0+ 2y = 0令 z，画出初始目标函数x，然后平移到点 取得最大值B2x - y = 0ìx =1,y = 2，í，解得：îx + y -3 = 0 z =1+ 2´ 2 = 5.max ( )0,0= 0 + 2´0 = 0，当目标函数过点时，取得最小值，zmin 0,5 z = x + 2y的取值范围是. 0,5故答案为：【点睛】本题考查线性规划，意在考查画图，数形结合分析问题的能力，属于基础题型.P- ABC 中，ÐABC = 60° ÐPBA = ÐPCA = 90°，15.在三棱锥棱锥 P，点 到底面 ABC的距离为P，若三2- ABC6的外接球表面积为 p ，则 AC 的长为_.3【答案】【解析】【分析】PN 平面 ABC 垂足为点 N ，连 接 NB, NC，由条件可知 AN 是四边形 ABNC外接圆的直径，并作出几= 60o，求出 AC 的长.,AN = 2何体外接球的球心，并且求出，根据同弦所对的圆周角相等，可知 ANCÐ【详解】 PN 平面ABC,垂足为点 N ，连接 NB NC ，PN AB, PB AB ， AB Ì平面 PBN ， BN 平面 PBN ，AB BNAC CN，同理ABNC外接圆的直径，AN是四边形取 AN 的中点 M ，即 M 是四边形 ABNC外接圆的圆心，作OM 平面ABC，则OA = OB = OC = ON= OP过 PN 的中点 作 PN 的垂线，交OM 于点O，则ONH OA= OB = OC = ON = OP，O-是三棱锥 P ABC外接球的球心，62S = 4 Rp2 =6p， =R，OM=,223 1- =1,2 2 AM = R -OM =22 AN = 2，即底面外接圆的直径是 2，Q ÐABC = 60o，ÐANC = 60o，3 AC =´ AN = 3.2故答案 ： 3【点睛】本题考查几何体的外接球问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，一般几何体的外接球问题关键是确定球心，也可利用补体求解，若是几何体可以补成长方体或正方体，可以转化为正方体或长方体的外接球问题.p16.在锐角V ABCA，B，C 所对的边分别为a，b，cO V =，点 为 ABC 外接圆的圆心，A中，角，且3uuuruuuruuurlmlmAO = AB + AC ，则的最大值为_.1【答案】9【解析】 【分析】( ) ( )uuur首先变形 AOuuur uuuruuur uuuruuuruuur uuurOB OC ，两边平方后，得到()AOlml m- -lm+= OB -OA + OC -OA=，得到 1()= + -l ml m lm ，最后利用基本不等式求lm 1- -2的最大值22【详解】Q DABC是锐角三角形，DABC在的内部，Ol m0 < , <1( ) ( )uuuruuur uuuruuur uuurlmAO = OB -OA + OC -OAuuuruuur uuur()l mlm1- - AO = OB + OC ，()uuuruuur uuuruuurOB2uuuruuur uuur()AOl mlmlm×OC 2 OB OC2lm1- -= OB + OC2=+222两边平方后2pQ A =,3uuur uuur uuur= BO = COÐBOC =120 ，且 AO，o()l ml m lm 1- -= + -222( )lml m1+3 = 2 +l mQ 0 < , <1，lmlm，1+3 ³ 4= t设 lm，1³1（舍）或t£，3t - 4t +1³ ，解得：t23119lmlm££ Þ3即，1lm的最大值是 .91故答案为：9【点睛】本题考查向量加，减和数量积运算的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题的( ) ( )uuuruuur uuuruuur uuuruuuruuur uuur(1)l m l m- - AO = OB + OC，然后lmAO = OB -OA + OC -OA关键的关键转化是，整理后得到lm再两边平方求的最大值.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分sin Acos B 2c -b17.在V ABCA B C 所对的边分别为a b c，已知， ， ， ，=中，内角.sin Bcos Ab（1）求 A；= 5 S=10 3= 3DB，求CD（2）设b，D.若 在边上，且ABAD的长.VABCp【答案】（1） ；（2） 31 .3【解析】【分析】sin Acos B 2sin C -sin B12=，再化简求得cos A =（1）根据正弦定理变换互化为sin Bcos A，求角 A；sin B= 8 D（2）根据面积求 AB， ADC 中，根据余弦定理求CD 的长.sin Acos B 2c -b=【详解】（1）因为，sin Bcos Asin Acos B 2sin C -sin Bb=由正弦定理可得，sin Bcos Asin B化简得：sin AcosB = 2sin Ccos A-cos Asin B所以sin AcosB + cos Asin B = 2sin C cos A，( )，sin A+ B = 2sin C cos A.即( ) ( )sin A+ B = sin -C = sinCp又因为 A+ B + C = p ，所以.则sinC = 2sin C cos A.1因为0 < C <cos =p ，所以sin¹ 0 ，所以A.C2p因为0 < A <=p ，所以 A.3115 34p= AB× AC ×sin A = ´5´ AB´sin =AB ，（2）因为 S223VABC5 34AB =10 3 ，即 AB= 8，因为SV=10 3，所以ABC3= 3DB，即 AD= 6AB ，所以 AD .因为 AD4p在VACD中， AC = 5，AD= 6， =，A3 = AC + AD - 2AC × AD×cos A由余弦定理得：CD2，2212 = 25+ 36 - 2´5´6´ =31，则CD2所以CD = 31 .【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题. n= -2nbb a1b a .= + 3， = 6 + 2a18.设数列的前 项和为 S ，且 S n2，为正项等比数列，且n134nnn ab的通项公式；（1）求数列和nn1 c =ncn（2）设，求的前 项和 .Ta ×log bnnn+12n+1na = 2n - 3 b= 2T =n【答案】（1），2n-1 ；（2）.2n +1nn【解析】【分析】 q，设公比为 ，b S a（1）首先已知 求 ，再设数列b的首项bq2=3b，求数列的通项公式；nnn1b1n1c =（2）由（1）可知 ( )( )，再利用裂项相消法求和.2n -1 2n +1n= n - 2n=1时，a1= S = -1【详解】（1）由 S2，得当n，1n( ) ( )n n n ，= -1 - 2 -1 = - 4 + 3³ 2当 n时， Sn22n-1a= S - S = 2n -3³ 2所以当 n时，nnn-1a = -1也满足此式.1a = 2n - 3 .n所以b = a + 3 = 2，b = 6a + 2 = 32又，1134 ( )q q > 0bb因为为正项等比数列，设的公比为.nn bq = =16= 4，23q，即所以b1= b ×q = 2×4 = 2所以bn-1n-12n-1.n1( )a = 2 n +1 -3 = 2n -1，b = 2（2）因为2 +1 .nn+1n+1111c =n=所以( )( )( )a log b2n -1 ×log 22n -1 2n +12n+1n+12n+12111æö÷=-ç2 2n -1 2n +1èøT = c + c + c + cn所以123n11 1 1 1 111æö÷ø= 1- + - + - +-ç23 3 5 5 72n -1 2n +1è11næö=1-=.ç2n +1÷ 2n +12èøn=所以T.2n +1n【点睛】本题考查已知数列的前n 项和 S ，求通项公式，以及数列求和，已知考查基本方法和计算计算能nìS=1na = í力，属于基础题型，1，一般求和的方法包括：1.公式法求和，2.分组转化法求和，3.S - Sn ³ 2nînn-1裂项相消法求和，4.错位相减法求和，5.倒序相加法求和，6.规律求和法.ABCD的边长为2 2 ，以 AC 为折痕把VACD19.如图，正方形折起，使点 到达点 的位置，且D PPA = PB .（1）证明：平面 PAC 平面ABC；uuuruuur8()= PA 0 < i <1，且三棱锥 A BMN 的体积为 ，求l 的值.-l（2）若是的中点，设 PNPCM9 1【答案】（1）证明见解析；（2） .3【解析】【分析】PO，BO 由条件证明 PO， AC, PO OB；（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取 AC 中点O，连结1= S3894=V× BO =S=（2）利用等体积转化V，解得，由面积公式解得l 的值.3A-BMNB-AMNVAMNVAMN【详解】，BO解：（1）取 AC 中点O，连结 PO.因为 PC= PA，所以 PO AC.1在VPOB=中， PO OB= 2，ACPB PA= 2 22= PO +OB则 PB2，22 OB所以 PO，I OB = OAC、OB Ì面 ABC，又 AC，且 ABC所以 PO 面，Ì PAC又 PO 面PA