2021届八省联盟·湖北新高考适应性测试卷(一)数学试题及答案解析.docx

八省联盟·湖北新高考适应性测试卷（一）高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.( )( )3+ ai 1-i = b - 2i, ÎR（a ba + bi =1.已知，i 为虚数单位），则复数（）1517A.B.4C.D.5，则= x | x2 -5x + 4 £ 0= | = 2 +1, ÎZA B =（2.已知集合 A， B x x kk） 2,4 1,3 2,3 1,2,3,4A.B.C.D.3.现把 5 名扶贫干部分到 3 个村庄，每个村庄至少分一人，其中甲、乙二人必需分在一起，则不同的分配方案共有（）A.24 种B.30 种C.36 种D.48 种2，则（）× MP = MP4.已知平面上三个不同的点 M，F，P，若 MFPM PFPM MFC. PM× PF < 0PM × PF > 0D.A.B.5.如果 3 个正整数按照自身顺序或者经过调整顺序可以组成一个等比数列，则称这3 个数为一组“等比数”( ) ( )1,2,44,2,1视为一组“等比数”）.从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 个不同的数，则这（如：与3 个数构成一组“等比数”的概率为（）1115A.B.C.D.42282184: mx + y - m -1= 0:被圆C x4 2 4 0+ y - x + y - =6.直线l22所截得的弦的长度的最小值为（）A.4B.5C.6D.3 pp()æèö÷ø>< <= sin wx +j w 0,0 j7.将函数 y的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象ç26( )( )= 2cos x= sinw j+=Î0,p,上有两个不同交点 x a ，的函数解析式是 y2 ，若 yx图象与 y a图象在 x1( )x ,a ，则 x+ x的值为（）212pA. 或34pp 4pp 4pp或p或pB.C. 或D. 或333331 1< blog a + log b < -8.“ a”是“”的（）3 331ab3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.9.下列说法正确的是（）( )A.函数 f x= l g（x + ax -1）一定有最小值2p öpæ= tan 4x -B.函数 y÷ 的最小正周期为ç32èø( )( )( ) ( )-¥,-1 0,1和= -x + 2x +1C.已知函数 f x，则函数 f x 的单调递增区间是2= 2y = 2的图象关于 y 轴对称D.在同一坐标系中函数 y10.下列结论正确的有（与x- x）( )( )( )£ -2 = 0.23，则 P xx 1,sx 4 0.772£ =A.若随机变量N， P1æö( ) B 10,3 -1 =19B.若随机变量 X÷ ，则 D Xç3èø= bx +10.8= 4= 50= 9.8，则bC.已知回归直线方程为 y，且 x， yD.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是 3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为220 < a < b a +b =1，11.设，则下列结论正确的是（）114120 < b - a <a < a + b< a + b <1A.B.22C. ab 最大值为D.22212.已知曲线C: x x - y y =1，则下列结论正确的是（） y = xA.曲线 C 的渐近线为( ) ( )1,0-1,0，B.曲线 C 与 x 轴的交点为( ) ( ), yB x , y<<C. A x，是曲线 C 上任意两点，若 x x ，则 y y11221212( ),t- £ 2D.若 P s 是曲线 C 上任意一点，则 s t三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.- ABCABC AC BC，PA = 2 AC = 2，= 6， BC ，则三棱锥13.在三棱锥 P中， PA 平面，若P - ABC 外接球的表面积为_.( )5()的展开式中，所有项均可写成 kx y k R a b N 的形式，则当 ab 取最大值时，+ 2yÎ , , Î14.二项式 xabx y 的项的系数 k 的值为_.（用数字作答）ab15.在我国东南沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少的受到台风的侵袭.所谓的台风，是指一种热带气m/s 至 41.4m/s旋，在气象学上，按世界气象组织定义指气旋中心持续风力在 12 级到 13 级（风速在 32.7）的热带气旋称为台风.因为台风风力大，并且还会带来暴雨，往往会给经过地区带来较大损失.在某海滨城市km处，台km/hA 附近海面有一台风正以 20的速度向西北方向移动，据监测台风中心 B 在该城市正东 40风半径为 30_小时.km，台风侵袭的范围为距台风中心 30 km圆形区域，则城市 A 受该台风侵袭的持续时间为16.孙子算经是我国南北朝时期（公元5 世纪）的数学著作.在孙子算经中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三， Î 1,500求这个整数.设这个整数为 a，当 a时，则符合条件的所有 a 的和为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）( )在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b cA a C .2 - cos = cos（1）求角 A 的大小；= 2 6= 4 ，求ABC的面积.（2）若a，c18.（本小题满分 12 分）2a212( )( )( ),Sy = 2 + p pÎRa =n=+ ÎS t t R 这三个n在点 n在函数的图象上； ax+1n+1a- annn+1n条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答. aSa = 2 ，_，其中nÎN1在数列中， 为其前 n 项和，*.nn a（1）求的通项公式；na b =nbTn（2）令)下，求数列的前 n 项和 .( )(a +1 a +1nnnn+1注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（本小题满分 12 分）产品质量是企业的生命线，为提高产品质量，企业非常重视产品生产线的质量，某企业引进了生产同一种产品的 A，B 两条生产线，为比较两条生产线的质量，从A，B 生产线生产的产品中各自随机抽取了100 件产品进行检测，把产品等级结果和频数制成了如右的统计图.（1）有多大的把握认为一级品与生产线有关？（2）生产一件一级品可盈利100 元，生产一件二级品可盈利 50 元，生产一件三级品则亏损 20 元，以频率估计概率.分别估计 A，B 生产线生产一件产品的平均利润；你认为哪条生产线的利润较为稳定？并说明理由.()n ad -bc2K =n = a + b + c + d附：2，.( )( )( )( )a + b c + d a + c b + d临界值表：( )0.100.050.0255.0240.0106.6350.0057.8790.0012k2.7063.84110.82820.（本小题满分 12 分）S - ABCDABCDSA ABCD BC = 2AB = 2平面 ， ，如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，ÐABC = 60° SE = 2ED，SC，F 为的中点. （1）求证： BF 平面 ACE ；- AC - E（2）当 SA长为何值时，二面角S21.（本小题满分 12 分）的大小为 45°.( ): y = -20,1的距离之差为 1.设点 E 的轨迹为曲线 C.已知点 E 到直线l的距离与点 E 到点 F（1）求曲线 C 的方程；( ), yPN ，切点分别为 M，N，求（2）若 P x为直线 l 上任意一点，过点 P 作曲线 C 的两条切线 PM ，00点 F 到直线 MN 的最大距离.22.（本小题满分 12 分）1( )已知函数 f x= x x + a - ln x.2( )f x 的单调性；= 0（1）若a，讨论函数( )（2）求函数 f x 的极值点.八省联盟·湖北新高考适应性测试卷（一）·高三数学参考答案、提示及评分细则( )( )3+ ai 1-i = b - 2i( )3+ a + a -3 i = b - 2i3+ a = b且1.C，即，根据复数相等的充要条件，得a -3 = -2，解得a =1，b = 4 ，所以 a + bi = a + b = 1+16 = 17 .故选 C.22= x |1< x £ 4 A B = 1,32.B 易知 A，又 B 为全体奇数集，所以.故选 B.3.C 把甲、乙二人当作一人看待，相当于把4 人分到三个村庄，分组方法数为C2 ，分配方法数为 A3 ，根43= 36种分配方案.故选 C.据分步乘法计数原理，共有C24A33( )= MP + PF × = + × = + × =22， 所 以 MF MP MP PF MP MP PF MP MP ， 所 以4.A因 为 MF PF × MP = 0，所以 PM PF.故选 A.( ) ( )= 841,2,41,3,9， ，5.C 从 9 个数中任取 3 个不同的数，有C种情况；其中，构成一组等比数的有394 1( ) ( )2,4,84,6,9= =共 4 种情况，故这 3 个数构成一组等比数的概率P，.故选 C.84 21( )( )A 1,1，圆 C 的方程化为标准方程为-1 + y -1= 06.A l 的方程可化为 m x，所以 l 过定点( ) ( )( )x - 2+ y +1= 9 ，显然点1,1在圆内，当 l 与22AC 垂直时被圆 C 截得的弦的长度最小 .因为( )( ) ( )2AC = 1- 2+ 1+1= 5 ，所以弦的长度的最小值为2 9 - 5 = 4 .故选 A.22p öpæ= 2cos x = cos 2x +1= sin 2x +17.D 反向思考：y，将其图象向右平移 个单位，再向下平移12ç÷26èøp pöppé æùæö÷ø= sin 2 x -+÷+1-1= sin 2x +，又w > 00 <j <，个单位，所得图象的函数解析式是 y，ê çúç6262ë èøûèpp2pp4pw 2 j =+ =+ =或 x x所以，.根据图象可知，两交点关于 x或 x对称， x x1.故66333212选 D.1 11 111log a + log b < -log a - log b < -log a - < log b -， 所 以8.B由， 得， 令3 33 33a3b313333abab31( )( ) ( )( ) ( )，因为函数 f x 为0,+¥ 上的单调递增函数，所以0 < a < b；反f x = log x - ，则 f a< f b3x3之则不然.故选 B.( )( )2( )( ) ( )f x = lg x -1，= 0f x = lg x -12 -1Î 0,+¥R值域为 ，故9.CD 对于 A，当aA 错误；时，2，此时xp对于 B，该函数最小正周期为 ，故 B 错误；4ì- + 2 +1, ³ 0( )( )x2xx| x | = -x + 2 | x | +1=对于 C， fí，所以由二次函数的图象可知，函数f x 的单调2-x - 2x +1,x < 0î2( ) ( )-¥,-10,1，故 C 正确；递增区间是和= 2y = 2的图象关于 y 轴对称，命题正确.故选 CD.对于 D，在同一坐标系中，函数 y与x- x( ) ( )x 2x 4 1 0.77 0.23=，故 A 正确；£ - = P ³ = -10.AC 对于 A， P 1 2 20=10´ ´ =20( )对于 B， D X( )D 3X -1 = ´3 = 20，所以2，故 B 不正确；3 3 99( )对于 C，回归直线方程经过点 x, y，将 x= 4= 50 代入求得b = 9.8， y ，故 C 正确；31+ x£ 3时，中位数为 3，此时对于 D，设丢失的数据为 x，则这组数据的平均数为，众数为 3，当 x731+ x31+ x+ 3 = 6= -10；当3 < < 5+ 3 = 2x= 4³ 5；当 x 时，解得 xx时，中位数为 x，此时，解 得 x7731+ x+ 3 =10=18.所以所有可能 x 的值和为-10 + 4 +18 =12，故 D 不正确.中位数为 5，此时故选 AC.，解得 x710 < a < b a +b =1，0 < a < < b <111.BD 由，则.2112- < -a < 0< b <1，所以0 < - <1b a ，所以 A 错误；对 A，由于，21< b Þ1< 2b Þ a < 2ab < a + b2 ，所以 B 正确；对 B，222 1æ a +b ö£= <（当且仅当a b 时取“=”），由于a b ，所以“=”不可取，所以 C 错误；对 C， ab ç÷24èø( )a + b122+ b >=<a ，b b a b a b ，所以 D 正确.故选 BD.< Þ + < + =1对 D，因为a，又a2222222()()- y y =1- =1 ³ 0, ³ 0+ =1 > 0, < 012.ACD 由 x x， 知 曲 线 C 由 xyxy， xyxy，2222()y - x =1 x < 0, y < 0 三部分组成（两边为双曲线的一部分，中间为圆的一部分，如图所示），两边部分22( )= x1,0，故 B 错误；由图可知 C 正确；为双曲线，其渐近线为 y，故 A 正确；曲线 C 与 x 轴的交点为s - t= x£1£1- £ 2，所以 s t ，故 D 正确.故选由图可知点 P 到 y的距离d，所以ACD.2 13.12p设球的半径为 R，由题意知 R2 = 12 ，所以球的表面积为12pPA+AC+BC.222+ b = 5，且 a,bÎN，则或或或a = ，b =05a = b =，14a =2，b =3a = 3，14.40 或 80 由题意知，ab = 2 或 a = 4，b =1或 a = 5 ，b = 0 .只有当 a = 2，b = 3 或 a = 3，b = 2 时， ab 取得最大值，故此时2 C = 80 2 C = 40含 xy3 的项的系数是 335或含 xy2 的项的系数是 225.23km ，在ABPPB = x，则15.1 设台风中心 B 的东北方向上存在点 P 到城市 A 的距离为 30中，设PA = PB + AB - 2PB× ABcos 45°，即30 = x + 40 - 2´40xcos 45°，化简得 x2- 40 2x + 700 = 0222222，()- 4+ x = 40 2= 700- =，所以 x xx x+1x x ，= 20 ，即CD = 20km1 2其两根 x ，x 满足 x2，x x121122122CD=1（小时），即城市 A 受台风侵袭的持续时间为 1 小时.所以时间t20= 3m + 2 = 5n + 3， m,nÎN*3m = 5n +1m = 5k，n 不存在；当m = 5k +1，16.8184 由题设a，则.当= 5k + 2 n = 3k +1，满足题意；当m = 5k + 3，n 不存在；当m = 5k + 4，n 不存在；故，n 不存在；当m749215 a =15k +8Î 1,500 ，所以- £ k <15Î， k Z ，所以k = 0,1,2,×××,32，共 33 个数.且这些数组成以33´328 为首项，15 为公差的等差数列，所以这 33 个数的和为33´8+´15 = 8184.2()2sin B -sinC cos A = sin AcosC17.解：（1）由题意可得， ( )2sin Bcos A = sin AcosC + sinC cos A = sin A+C = sin B.1( )psin B ¹ 0，cos =，AÎ 0,=p ， A.A2334´csin A22（2）由正弦定理得sinC =，2 62a2p öpæÎ 0,又C çC =÷，所以，34èøp p+ppp p62æçèö÷ø+所以sin B = sin(A+ C) = sin= sin cos + cos sin =，3 434344116 + 2= acsin B = ´2 6 ´4´= 6+ 2 3.所以 S224ABC= 2 + p18.解：（1）选择：由题意知，Sn+1，n³ 2= -时， a S S= 2.当 nnnnn-1( )= 2=1时也满足上式，所以a = 2 nÎN因为 a，所以n*.n1n2a2=- 2 = 0选择：由a，得 a2n+1a ana2，na - an+1n+1nn+1n(所以 a)()+ a a - 2a = 0> 0，所以a + > 0，所以a= 2a ，因为aan+1nn+1nn+1n+1nnn= 2又 a，1( ) = 2 nÎN所以 a 成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以a* .nnn1( )= S + t t ÎR选择：a，2nn111( )S + t ，与 a = S + t t ÎR 相减得a - a = a ，³ 2=当 n时， a222n-1n-1nnnn-1n( )= 2a n ³ 2所以 a因为 ann-1( ) = 2a = 2 nÎNn，所以 a 成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以*.n1n( )= 2 nÎN（2）由（1）知 a* ，nn 211nb = ( )( )=-所以所以，2 +1 2 +1 2 +1 2 +1nnn+1nn+111111111æçèö æö æö÷øæçèö÷øT =n-+-+-+ +-÷ ç÷ ç2 +1 2 +12 +1 2 +12 +1 2 +12 +1 2 +1ø èø è22334nn+111111111=-+-+-+ +-2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +12 +1 2 +122334nn+111= -3 2 +1.n+119.解：（1）根据已知数据可建立列联表如下：一级品非一级品合计100100200A 生产线B 生产线合计2035558065145()200´(20´65-35´80)n ad -bc22K =» 5.643 > 5.0242，( )( )( )( )a + b c + d a + c b + d55´145´100´100所以有 97.5%的把握认为一级品与生产线有关.1 3 1（2）A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为 ， ， .5 5 5记 A 生产线生产一件产品的利润为 X，则 X 的取值为 100，50，20，其分布列为100502015351572 1， ， .B 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为20 5 4记 B 生产线生产一件产品的利润为 Y，则 Y 的取值为 100，50，20，其分布列为10050207251420 131721( ) E X( )( )( )=100´ + 50´ + -20 ´ = 46 E Y =100´ + 50´ + -20 ´ = 50； .5552054故 A，B 生产线生产一件产品的平均利润分别为46 元、50 元.131( ) () () ()= 100- 46 ´ + 50- 46 ´ + -20- 46 ´ =1464 D X222；555721( ) ()2() ()2D Y = 100-50 ´ + 50 -50´ + -20 -50 ´ = 2100 .22054( ) ( )< D Y因为 D X，所以 A 生产线的利润更为稳定.20.（1）证明：取SE 的中点 G，连接 FG .连接 BD交 AC 于点 N，连接 FD交CE 于点 M，连接MN .因为 F 为 SC 的中点，G 是 SE 的中点，所以 FGCE.= 2ED ，所以 E 为GD又 SE的中点，所以 M 为 FD的中点，易得 N 为 BD的中点，所以 BFMN.Ì因为 MN 平面AEC BF Ë，AEC平面，所以 BF 平面 ACE .= 2AB = 2 ÐABC = 60°， ，由余弦定理得（2）解：因为 BC1AC2= BC2+ AB2- 2BC × ABcos60 = 4 +1- 2´2´1´ = 3，°2= 3.所以 AB AC .所以 AB分别以 AB， AC ， AS 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，( ) ( )( )( )( ) ( )S 0,0, t， ， C= t t > 0A 0,0,00, 3,0-1, 3,0= 0, 3,0，所以 AC ，设 SA，则， D( ) ( )æö112 2 3 tAE = AD + DE = AD + DS = -1, 3,0 + 1,- 3,t = ç- , ÷ .ç÷333 3 3èøì0× AC =ïm( )= x, y, z设平面 ACE 的法向量为m，则 í，× AE = 0ïîmì3y = 0ï( )= 2= ,0,2即 í，令 z得 x t ，所以m t .22 3t- x +y + z = 0ïî 333m×nt( )= 1,0,0 所以cosám,nñ =因为平面 SAC 的法向量为n| m | n |t2 +4 21t2- AC - Em n| cosá , ñ |= 2= -2或t （舍）.由于二面角 S大小为 45°，所以，即，解得t2+ 4 2t2= 2S - AC - E的大小为 45°.故当 SA时，二面角( )21.解：（1）依题意，点 E 到直线l y¢: = -1的距离等于点 E 到点 F 0,1的距离，( )> 0py p .¢= 2则点 E 的轨迹是以 F 为焦点以直线l 为准线的抛物线.设其方程为 x2p由题意，=1，解得 p = 2.2= 4y所以曲线 C 的方程是 x2( ) ( ), yN x , y（2）设切点分别为M x，.1122( )( )， 代 入 x, yy - y = k x - x= 4y ， 整 理 得设 过 曲 线 C 上 点 M x的 切 线 方 程 为21111()x - 4kx + 4 kx - y = 0，211( )()D = -4k - 4´4 kx - y = 02，11x= 4yk =1又因为 x21，所以.21( )x ( )xx2, y- =x x ，即 y-=x-1从而过曲线 C 上点 M x的切线方程为 y y112241111( )xx214x, y=-=-x y .又切线过点 P x，所以得 yx0，即 y1122000001( )xx224, y=-同理可得过点 N x的切线为 yx，2222( )xx22x, y=-=-x y .又切线过点 P x，所以得 yx0，即 y22242000002 ( ) ( )x( ), yN x , y=x y ，即-0x x = 2 y + y即点 M x，均满足 y.21122000( )= 2 y + y故直线 MN 的方程为 x x0.0( ), y: = -2为直线l y 上任意一点，又 P x00( )= 2 y - 2x = 0= 2.故 x x0对任意 成立，所以令x，得 y0( )0,2从而直线 MN 恒过定点.( )0,1又曲线 C 的焦点 F 的坐标为，所以点 F 到直线 MN 的最大距离为 1.( )( )0,+¥22.解：（1）函数 f x 的定义域为.( )( )11x x2 -1 2 +1( )，则 f x x( )¢x ， f x= 0= - ln= 2 -=若 a2x.22x2x112( )( )¢令 f x> 0，得 x>æ¢；令 f x< 00 < <，得x，211öæ,+¥ö( )0,故函数 f x 在区间ç÷上单调递减，在ç÷上单调递增.22èøèø1( )( )Î 0,+¥.= x | x + a | - ln x（2）由于 f x， x211 4 + 2 -12( )时， f x x( )¢x ， f xxax2x³ 0= + - lnx a= 2 + -=（i）当 a2ax，22x-a + a + 4-a - a + 4( )¢令 f x22= 0，得 x=> 0 x =，< 0（舍去），4412( )( )f ¢ x < 0( )( )f ¢ x > 0时， ，Î 0,xxÎ x ,+¥所以当 x时，；当11-a + a + 4( ) ( )( )( )上单调递增，所以 f x 的极小值点为20,xx ,+¥所以 f x 在上单调递减，在.4111ìï-x - ax - ln x,0 < x < -a2ï21( )< 0=（ii）当 a时， f x íïx + ax - ln x, x ³ -a2ïî2 1 -4x - 2ax -1( )2当0 < x < -a¢时， f xx a= -2 - -=.2xD = 4 -16，2x( )¢令 f x= 0ax-4 - 2 -1= 0，得 x2，记a2( )( ) ( )( ) ( )D £ 0-2 £ a < 0时， f ¢ x £ 0f x0