江苏省徐州市2021届高三9月月考模拟测试数学试题(WORD版含解析).docx

江苏省徐州市 2021 届高三月考模拟测试数学试题2020.9一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(2+3i)z =13zz，则复平面内表示 的点位于（1若复数 满足）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限=2已知集合 = log ( -1) < 0，则C A （）Axx2R(-¥,1B.2,+ ¥)(-¥,1) (2,+¥)D.(-¥,1 2,+¥)A.C.| x | ln | x |(x) =3函数 f的图象大致为（）x4A.B.C.D.DABCC4在中，内角 A ， B ， 的对边分别是a ，b ，c ，外接圆半径为 R ，若1bsin B - asin A = asin CDABC2 sin (1- cos 2 )2cosB =（A ，则，且的面积为 RB）21A.1B.1C.3D.43245在DABC中， AB = 4 AC = 2 ÐBAC = 60°，点 D 为BC边上一点，且 D 为BC边上靠近C 的三等分点，则 AB× AD =（）A.8B.6C.4D.2a(2x + 3x +1)( -1)6已知的展开式中各项系数之和为 0，则该展开式的常数项是（）25x2A -10B - 7C10D9( )是定义域在 R 上的偶函数，且 ( ) ( ) ( )3，f x = x7已知函数+1 = -1 ，当 Î 0,1 时，f xf xf xx1 5éù( )f x则关于 的方程x= cos 在 - , 上所有实数解之和为（）xêú2 2ëûA1B3C6D78已知 A ， B ， 为球 的球面上的三个定点，ÐABC= 60° ，AC O= 2 ， P 为球 的球面CO V上的动点，记三棱锥 -P ABC的体积为 ，三棱锥 - 的体积为 ，若 的最大值为O ABC V 1V12V23，则球 的表面积为（）O16643ABCD6992二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。12öæ(x) = 1+9关于函数 fç÷下列结论正确的是（）x è ex -1øyA图像关于 轴对称B图像关于原点对称( )-¥,0( )f x恒大于 0C在上单调递增D1 1<a b10已知下列四个条件，能推出成立的有Ab0aB0abCa0bDab011已知ln - - + 2 = 0 ， + 2 - 2ln 2 - 6 = 0 ，记 M = (x - x ) + (y - y ) ，则()x x yx2y2211121212165145A 的最小值为B当 最小时， x =MM24512C 的最小值为D当 最小时 =M xM521,x > 0ìïsgn(x) = 0, x = 012已知符号函数í下列说法正确的是（）ï-1,x < 0î= sgn(x)x >1,sgn(ln x) =1A函数 y是奇函数（） B对任意的的值域为(-¥,1)Î , ×sgn( )x R x xxe ×sgn( - x)C函数 yxD对任意的三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13已知向量 a，b 的夹角为 45º，若 a=(1，1)，|b|=2，则|2a+b|=_log x， x >1，ìí14已知函数 (x) =2(-2)=_f则 fî f (x + 3)，x £1，315在平面直角坐标系 xOy 中，过点(1, 0) 的一条直线与函数(x) =的图像交于 ，P Qfx -1 两点，则线段PQ 长的最小值是与圆C : x = 4y相切且与抛物线 交于不同的两222点,则实数t 的取值范围是_明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 10 分)3为钝角，而且2的大小；的值18(本小题满分 12 分)( )( )a ,S nÎ NS2x - y -1 = 0* 在直线 上nnna是等比数列，并求其通项公式；n（2）设直线 x a 与函数2 的图象交于点 A ，与函数=2nn BObnnnnnnnEFDCOAB20(本小题满分 12 分) x2y2: y = kx +1+ =1A, B0) 交于不同的两点 ，O 为坐标已知直线 l与曲线 :(a > 0,b >Ca b22原点= 1, | OA |=| OB |（1）若k，求证：曲线C 是一个圆；y2:+ x =1×，是否存在一定点Q ，使得QA QB 为定值？若存在，求（2）若曲线C24出定点Q 和定值；若不存在，请说明理由21(本小题满分 12 分)如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD，其中 BMN 是半径为 1 百2p米的扇形，ÐABC = 管理部门欲在该地从M 到 D 修建小路：在弧 MN 上选一点 P3, NPPQ 问：点 P 选择在何处时，才能使（异于 M两点），过点 修建与 BC 平行的小路得修建的小路与 PQ 及QD 的总长最小？并说明理由MP22(本小题满分 12 分)sin x(x) =已知函数 fx= f (x) ( , f ( )在（1）求曲线 y处的切线方程；22x2(x) >1-（2）求证： f；6ln(1+ x)（3）求证：当0 < x £1.1时， f x( )>x江苏省徐州市 2021 届高三月考模拟测试 数学参考答案一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D 2D 3A 4D 5A 6D 7D 8B二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。9. ACD10.ABD11AB12ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。( ) ( )-¥,-3 È 0,+¥162 52 61314215四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1231´8´ 3 = ´3´8´sin B17（1）由三角形面积可知，2 分4 分223，又因为 B是锐角，所以 B sin B =ÐÐ =23= AB + BC - 2AB ´ BC ´cos B = 64 + 9 - 24 = 49（2）由（1）可知AC= 7，222所以AC 6 分AB + AC - BC64 + 49 -9 13222又因为cos A =2AB´ AC2´8´714 ， 8 分113cos A+ 3cos B = 3´ + 7´ = 8因此AC 10 分214( ),S2 - -1 = 0上，所以 a S2x - y -1 = 018(1)点 a 在直线nnnn=12 - -1 = 0. =1.当n 时， a Sa.2 分111³ 22-1 = 0-S当n 时， an-1n-1a( )= 2, n ³ 2 .= 2a , ，得 a.4 分nnn-1an-1 = 2 ,所以数列 a 为首项为 1，公比为 2 的等比数列. a.6 分n-1nnb OA OB= 4 +(n -1)4 =n×4 .=×(2 ,4 ), B (2 ,n -1)（2）A-1-1-1 .7 分n-1n-1n-1nnnnnnnnT =1+ 2×4 + 3×4+ n×4n-21n4T = 1×4 + 2×4 + +（n -1)×4 + n×4.9 分2n-1nn-3T =1- n×4 + (4 + 4 + 4 + + 4n-1n23)3 ，得n4(1- 4 )11 1n-1=1- n×4 +=1- n×4 + (4 - 4) = - + ( - n)4nnnn1- 433 3 1 3n -1T = +所以.12 分n99nz又由题知EO面ABCD，ACÌ 面ABCD， EOAC，EFDC而EOBD=O，且EO，BDÌ 面BED， AC面BEDOABy ACCF5 分（2）解：由（1）知AOBO，OEAO，OEBO，于是以O 为坐标原点，OA，OB，OE 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图设AB=AE=2 在菱形ABCD 中，BAD=60º， AO= 3 ，BO=12233 AB =(- ，1，0)，3BE3=(0，-1，1)，BC =(- ，-1，0)7 分又由EF = AB ， 可解得F(- ，1，1)，于是BF =(- ，0，1) 8 分331111得则由n 11y + z = 0，3311令y =1，则x = - ， z =1，即n =( - ，1，1)10 分í113113ïî113同理可得平面BCF 的法向量n =( ，-1，1)231712×121故二面角E-BC-F 的平面角的余弦值为 12 分7lC1122 Q |=|OA OB| +=+即：x12y12x2y2x12+y2=x2+y222122-=-Q , 在 上A Bx2x2y2y2C1x 22y 221x 2y 22b2+= 1，+= 1112a2a2b2a2两式相减得： x - x = (y - y )222212b212ab22= 1 即： =a2 b2曲线 是一个圆C5 分3317æçèö÷（2）存在定点 0， ，不论 k 为何值，= 为定值.QA×QB864ø理由如下：假设存在点( )Q x y,，设交点为 ( , ), ( , ) ，A x y B x y001122ì y = kx +1( )ï由得，+ 4kx+ 2 -3 = 0íïk2x2y2+ x =12î 4-2k-3+ x =, x x =，x1+ 4k + 422k21 2直线 : = +1恒过椭圆内定点（0,1），故D > 0 恒成立.l y kx8 分QA×QB=（x - x , y - y )（× x - x , y - y )10102020( )( )=（x - x )（× x - x )+ y - y y - y10201020()()= x x - x (x + x )+ x + kx +1- y kx +1- y2(1 2)01201020( ) ( ) ( )= 1+ k x x + ék 1- y - x ù x + x + x + 1- y2220ëû1 2-300120( )-2k( )( )2= 1+ k+ ék 1- y - x ù+ x + 1- y220ëûk + 4k + 420020( )( )-3 1+ k - 2ék 1- y - x ù k2ëû( )=+ x + 1- y00220k + 420()22y - 5 k + 2x k - 3( )2+ x + 1- y002k2+ 400ì x =0ï173 æ 9 ö2 33= .0当时，即 = 0, = 时 × = +í-3x0yQA QBç ÷4 8è ø2y -5 =8640ïî401733æö故存在定点 0， ，不论 k 为何值， × = 为定值.12 分QA QBç÷864èø BCPQQ BC垂足为Q ，21.解：连接 BP ，过 P 作 PP1垂足为 ，过 作Q1112p2pæö÷øq 0 q< <,MP =-q，ÐPBP =设ç133è p0 <q <D，在 Rt PBP 中， PP= sinq,BP ，= cosq若若若2111pq= sinq,BP ，= cosq=，则 PP121p2p( )qPP = sinq, BP = cos p -q = -cosq< <，则，23113= 2 - cos -qsinq 4 分 PQ332 33在 RtDQBQ=中，QQ PP= sinq,CQ =sinq,CQ =sinq,311112 33DQ = 2 -sinq6 分2p2pæö( )qq 4 cosq- + -< <3 sinq 0 q=-所以总路径长 f， 8 分ç÷33èøpæö÷ø( )¢ q = sinq - 3 cosq -1= 2sin q -1 1 0 分fç3èpp( )( )< 0q¢ q = 0,q = ，当0 <q <¢令 f时， f，22p当2p( )> 0q 1 1 分q< <f ¢时，23pq=所以当时，总路径最短2 BC答：当 BP时 ， 总 路 径 最 短 1 2 分xcos x -sin x4¢( ) =¢( ) = -22（1）因为 f x又因为 f，所以 fx2222 2( ) =442y - = - (x - ) = - x +，所以切线方程为，2 22244= - x +即 y3 分2x2sin xx2f (x) >1- Û>1-（2）6xx6sin xx22=1->0>1-(x)注意到 f与 y都是偶函数，因此只需证明 x时成立，6x6x3即sin x > x -成立即可5 分6x3x2设 g(x) = sin x - x +， x³ 0g¢(x) = cos x -1+，则6 分62 x2设 h(x) = cos x -1+¢( )，则 h xsin0，因此( )h x在 x 时递增，因³ 0= x -x ³2此 h(x) ³ h(0) = 0恒成立0³g(x) ³ g(0) = 0x = 0，且等号只在从而可知 g(x)在 x时递增，因此成立xsin xx23> 0时，sin - + > 0x x，即>1-8 分因此当 x6x6ln(1+ x)sin x ln(1+ x)（3）当0 < x £1.1时， f x( )sin x > ln(1+ x)>Û>Ûxxxx3由（2）可知，当0 < x £1.1sin时， x恒成立，因此只需证明当0 < x £1.1> x -6x3x - > ln(1+ x)时，即可，0 £ x £1.110 分6x3g(x) = x - ln(1+ x)设，则6x1xxx(2 - x - x ) x(1- x)(2 + x)222¢( ) =1- -g x=- =，2 1+ x 1+ x 22(1+ x)2(1+ x)因此当0 £ x £1， g(x)递增；1£ x £1.1，g(x)递减 11 分1.136又因为 g(0) = 0 ， g(1.1)=1.1- ln 2.1，而且1.131.131.1->1.1-= 0.8338652.1 =19.4481 2.7 =19.683又因为，所以432.1 < 2.7 < e，4333342.1< eln 2.1< = 0.75，从而从而，因此4g(1.1)> 0.8338 - 0.75 > 0 因此可知，当0 < x £1 .1， g(x) > 0恒成立，x3x - > ln(1+ x)即12 分6p0 <q <D，在 Rt PBP 中， PP= sinq,BP ，= cosq若若若2111pq= sinq,BP ，= cosq=，则 PP121p2p( )qPP = sinq, BP = cos p -q = -cosq< <，则，23113= 2 - cos -qsinq 4 分 PQ332 33在 RtDQBQ=中，QQ PP= sinq,CQ =sinq,CQ =sinq,311112 33DQ = 2 -sinq6 分2p2pæö( )qq 4 cosq- + -< <3 sinq 0 q=-所以总路径长 f， 8 分ç÷33èøpæö÷ø( )¢ q = sinq - 3 cosq -1= 2sin q -1 1 0 分fç3èpp( )( )< 0q¢ q = 0,q = ，当0 <q <¢令 f时， f，22p当2p( )> 0q 1 1 分q< <f ¢时，23pq=所以当时，总路径最短2 BC答：当 BP时 ， 总 路 径 最 短 1 2 分xcos x -sin x4¢( ) =¢( ) = -22（1）因为 f x又因为 f，所以 fx2222 2( ) =442y - = - (x - ) = - x +，所以切线方程为，2 22244= - x +即 y3 分2x2sin xx2f (x) >1- Û>1-（2）6xx6sin xx22=1->0>1-(x)注意到 f与 y都是偶函数，因此只需证明 x时成立，6x6x3即sin x > x -成立即可5 分6x3x2设 g(x) = sin x - x +， x³ 0g¢(x) = cos x -1+，则6 分62 x2设 h(x) = cos x -1+¢( )，则 h xsin0，因此( )h x在 x 时递增，因³ 0= x -x ³2此 h(x) ³ h(0) = 0恒成立0³g(x) ³ g(0) = 0x = 0，且等号只在从而可知 g(x)在 x时递增，因此成立xsin xx23> 0时，sin - + > 0x x，即>1-8 分因此当 x6x6ln(1+ x)sin x ln(1+ x)（3）当0 < x £1.1时， f x( )sin x > ln(1+ x)>Û>Ûxxxx3由（2）可知，当0 < x £1.1sin时， x恒成立，因此只需证明当0 < x £1.1> x -6x3x - > ln(1+ x)时，即可，0 £ x £1.110 分6x3g(x) = x - ln(1+ x)设，则6x1xxx(2 - x - x ) x(1- x)(2 + x)222¢( ) =1- -g x=- =，2 1+ x 1+ x 22(1+ x)2(1+ x)因此当0 £ x £1， g(x)递增；1£ x £1.1，g(x)递减 11 分1.136又因为 g(0) = 0 ， g(1.1)=1.1- ln 2.1，而且1.131.131.1->1.1-= 0.8338652.1 =19.4481 2.7 =19.683又因为，所以432.1 < 2.7 < e，4333342.1< eln 2.1< = 0.75，从而从而，因此4g(1.1)> 0.8338 - 0.75 > 0 因此可知，当0 < x £1 .1， g(x) > 0恒成立，x3x - > ln(1+ x)即12 分6