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高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法：|具有的性质，其中为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA），且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集）(2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1）（2）（3） BAB=A 并集 或 （1）（2）（3）ABAB=B 补集 uA （uA）A=, uAA=U, uuA=A, uAB=uAuB, u(AB)=(uA)(uB) 集合的运算律：交换律：结合律: 分配律: 0-1律：等幂律：求补律：AuA= ACuA=U uU=u=U 反演律：u(AB)=(uA)(uB) u(AB)=(uA)(uB) 第二章函数 §1函数的概念及其表示 一、映射 1映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 . 2象与原象：如果f:AB是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数 1定义：设A、B是 ，f:AB是从A到B的一个映射，则映射f:AB叫做A到B的 ，记作 . 2函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3函数的表示法有 、 、 。§2函数的定义域和值域 一、定义域：1函数的定义域就是使函数式 的集合. 2常见的三种题型确定定义域： 已知函数的解析式，就是 . 复合函数f g(x)的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域. 实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1函数yf (x)中，与自变量x的值 的集合. 2常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：观察法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法（又分为 法和 法）例如： 形如y，可采用 法； y，可采用 法或 法； yaf (x)2bf (x)c，可采用 法； yx，可采用 法； yx，可采用 法； y可采用 法等. §3函数的单调性 一、单调性 1定义：如果函数yf (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1、<x2时，都有 ，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；都有 ，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 . 若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 . 2判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为： ； ； . (2) 导数法，若函数yf (x)在定义域内的某个区间上可导，若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；若 ，则f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)g(x) 函数；2若f (x)为增(减)函数，则f (x)为 ；3互为反函数的两个函数有 的单调性；4复合函数yf g(x)是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f g(x)为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f g(x)为 . 5奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 . §4函数的奇偶性 1奇偶性： 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ，则称f (x)为奇函数；若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) . 简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2与函数周期有关的结论：已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为 ；的图象关于点中心对称或的图象关于直线 轴对称，均可以得到周期 第三章指数函数和对数函数 §1正整数指数函数 §2指数扩充及其运算性质 1正整数指数函数 函数yax(a>0，a1，xN)叫作_指数函数；形如ykax(kR，a>0，且a1)的函数称为_函数 2分数指数幂 (1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bnam，我们把b叫作a的次幂，记作b；(2)正分数指数幂写成根式形式：(a>0)；(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：_(a>0，m、nN，且n>1)；(4)0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_ 3有理数指数幂的运算性质 (1)aman_(a>0)；(2)(am)n_(a>0)；(3)(ab)n_(a>0，b>0) §3指数函数(一) 1指数函数的概念 一般地，_叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_ 2指数函数yax(a>0，且a1)的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 (0，) 性 质 过定点 过点_，即x_时，y_ 函数值 的变化 当x>0时，_；当x<0时，_ 当x>0时，_；当x<0时，_ 单调性 是R上的_ 是R上的_ §4对数(二) 1对数的运算性质 如果a>0，且a1，M>0，N>0，则：(1)loga(MN)_；(2)loga_；(3)logaMn_(nR) 2对数换底公式 logbN(a，b>0，a，b1，N>0)；特别地：logab·logba_(a>0，且a1，b>0，且b1) §5对数函数(一) 1对数函数的定义：一般地，我们把_叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_为常用对数函数；y_为自然对数函数. 2对数函数的图像与性质 定义 ylogax (a>0，且a1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 _ 值域 _ 单调性 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 共点性 图像过点_，即loga10 函数值 特点 x(0,1)时， y_；x1，)时， y_. x(0,1)时， y_；x1，)时， y_. 对称性 函数ylogax与yx的图像关于_对称 3.反函数 对数函数ylogax(a>0且a1)和指数函数_互为反函数 第四章函数应用 §1函数与方程 1.1利用函数性质判定方程解的存在 2函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标 3方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图像与x轴有_ 函数yf(x)有_ 4函数零点的存在性的判定方法 如果函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)_0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解 1.2利用二分法求方程的近似解 1二分法的概念 每次取区间的中点，将区间_，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_ 2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度) (1)确定区间a，b，使_ (2)求区间(a，b)的中点，x1_. (3)计算f(x1) 若f(x1)0，则_；若f(a)·f(x1)<0，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若f(x1)·f(b)<0，则令ax1(此时零点x0(x1，b) (4)继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yf(x)的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度 以下资料为赠送资料：滴水之中见精神主题班会教案活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：  1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：  “双手抓不起，一刀劈不开，  煮饭和洗衣，都要请它来。”  主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”  一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”  主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。  水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”  甲：如果没有水，我们人类就无法生存。  小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。  花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。  主持人：下面请听快板水的用处真叫大  竹板一敲来说话，水的用处真叫大；  洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，  煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。  栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；  鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；  采煤发电要靠它，京城美化更要它。  主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？  甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。  乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。  丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。  2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？  （1）（生）：我要节约用水，保护水源。  （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。  （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。  （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。  3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。  （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。  （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。  （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）  （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？  主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的  大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”  旁白：“那又是谁家的呢？”  主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？  甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。  乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。  主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？  齐：主动关好。  小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？  主持人：可以。  小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？  答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。  小记者：请这位同学谈谈好吗？  答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。  小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！  水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！  主持人：你们还有发言的吗？  答：有。  生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。  动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！  花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！  水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。  主持人：水伯伯，您这是干什么呢？  水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！  主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！  4.主持人：大家欢迎老师讲话！  同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。  5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。  6.活动效果：  此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵。