2022年函数与导数经典例题 .pdf
精品资料欢迎下载函数与导数1. 已知函数32( )4361,f xxtxtxtxR，其中tR（）当1t时，求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）当0t时，求( )f x的单调区间；（）证明：对任意的(0,),( )tf x在区间(0,1)内均存在零点【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14 分。（）解：当1t时，322( )436 ,(0)0,( )1266f xxxx ffxxx(0)6.f所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为6 .yx（）解：22( )1266fxxtxt，令( )0fx，解得.2txtx或因为0t，以下分两种情况讨论：（1）若0,2tttx则当变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下表：x,2t,2tt, t( )fx+ - + ( )f x所以，( )fx的单调递增区间是,;( )2ttf x的单调递减区间是,2tt。（2）若0,2ttt则，当x变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下表：x,t,2tt,2t( )fx+ - + ( )f x所以，( )fx的单调递增区间是,;( )2ttf x的单调递减区间是,.2tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载（）证明：由（）可知，当0t时，( )f x在0,2t内的单调递减，在,2t内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当1,22tt即时，( )f x在（ 0， 1）内单调递减，2(0)10,(1)643644230.ftftt所以对任意2,),( )tf x在区间（ 0，1）内均存在零点。（ 2）当01,022tt即时，( )fx在0,2t内单调递减，在,12t内单调递增，若33177(0,1,10.244tfttt2(1)643643230.fttttt所以( ),12tfx 在内存在零点。若3377(1,2),110.244ttfttt(0)10ft所以( )0,2tfx 在内存在零点。所以，对任意(0,2),( )tf x在区间（ 0， 1）内均存在零点。综上，对任意(0,),( )tf x在区间（ 0， 1）内均存在零点。2. 已知函数21( )32f xx，( )h xx （）设函数F(x)18f(x)x2h(x)2，求 F(x)的单调区间与极值；（）设 aR ，解关于x 的方程33lg(1)2lg()2lg(4)24f xh axhx ；（）设*nN ，证明：1( ) ( ) (1)(2)( )6f n h nhhh n本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解： （）223( )18( ) ( )129(0)F xf xx h xxxx，2( )312Fxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎下载令( )0Fx，得2x（2x舍去）当(0,2)x时( )0Fx；当(2,)x时，( )0Fx，故当0,2)x时，( )F x 为增函数；当2,)x时，( )F x 为减函数2x为( )F x 的极大值点，且(2)824925F（）方法一：原方程可化为42233log (1)log()log(4)24f xh axhx ，即为4222log (1)loglog4log4axxaxxx，且,14,xax当 14a时， 1xa ，则14axxx，即2640 xxa，364(4)2040aa，此时6204352axa ， 1xa ，此时方程仅有一解35xa 当4a时， 14x，由14axxx，得2640 xxa，364(4)204aa，若 45a，则0 ，方程有两解35xa ；若5a时，则0 ，方程有一解3x；若1a或5a，原方程无解方法二：原方程可化为422log (1)log(4)log()xhxh ax ，即2221log (1)log4log2xxax ，10,40,0,(1)(4).xxaxxxax214,(3)5.xxaax当 14a时，原方程有一解35xa ；当 45a时，原方程有二解35xa ；当5a时，原方程有一解3x；当1a或5a时，原方程无解（）由已知得(1)(2)( )12hhh nn ，1431( ) ( )666nf n h nn设数列 na的前 n 项和为nS ，且1( ) ( )6nSf n h n（*nN ）从而有111aS，当 2100k时，14341166kkkkkaSSkk又1(43)(41)16kakkkkk221(43)(41) (1)6(43)(41)1kkkkkkkk1106(43)(41)1kkkk即对任意2k时，有kak ，又因为111a，所以1212naaan 则(1)(2)( )nShhh n ，故原不等式成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精品资料欢迎下载3. 设函数axxxaxf22ln)(，0a（）求)(xf的单调区间；（）求所有实数a，使2)(1exfe对,1 ex恒成立注：e为自然对数的底数【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15 分。（）解：因为22( )ln.0f xaxxaxx其中所以2()(2)( )2axaxafxxaxx由于0a，所以( )f x的增区间为(0,)a，减区间为( ,)a（）证明：由题意得，(1)11,facac即由（）知( )1, f xe在内单调递增，要使21( )1, ef xexe对恒成立，只要222(1)11,( )faef eaeaee解得.ae4. 设21)(axexfx，其中a为正实数 . （）当34a时，求( )f x的极值点；（）若( )f x为R上的单调函数，求a的取值范围 . 【解析】（18） （本小题满分13 分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(xf求导得.)1 (1)(222axaxaxexfx（I）当34a，若.21,23,0384,0)(212xxxxxf解得则综合 ,可知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精品资料欢迎下载所以 ,231x是极小值点 ,212x是极大值点 . （ II ）若)(xf为R 上的单调函数，则)(xf在R 上不变号，结合与条件a0，知0122axax在 R 上恒成立，因此,0)1(4442aaaa由此并结合0a，知. 10a5. 已知 a，b 为常数，且a0，函数 f（x） =-ax+b+axlnx ，f（e） =2（e=271828 是自然对数的底数）。（I）求实数b 的值；（II ）求函数f（x）的单调区间；（III ）当 a=1 时，是否同时存在实数m 和 M（m0得x1, 由f(x)0得0 x1;（2）当0,( )001,( )01.afxxfxx时 由得由得综上，当0a时，函数( )f x的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为（0，1） ；当0a时，函数( )f x的单调递增区间为（0，1） ，x)21,(21)23,21(23),23()(xf+ 0 0 + )(xf极大值极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精品资料欢迎下载单调递减区间为(1,)。（III ）当 a=1 时，( )2ln,( )ln.f xxxx fxx由（ II）可得，当x 在区间1(, )ee内变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下表：x1e1(,1)e1(1, )ee( )fx- 0 + ( )f x22e单调递减极小值 1 单调递增2 又2122,( )(, )fxxeee所以函数的值域为 1，2。据经可得，若1,2mM，则对每一个,tm M，直线y=t 与曲线1( )(, )yf xxee都有公共点。并且对每一个(,)(,)tmM， 直线yt与曲线1( )(, )yf xxee都没有公共点。综上，当 a=1 时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2 ，使得对每一个,tm M，直线y=t 与曲线1( )(, )yf xxee都有公共点。6. 设函数32()2f xxaxbxa，2( )32gxxx，其中xR，a、b为常数，已知曲线( )yf x与( )yg x在点（ 2,0）处有相同的切线l。（I） 求 a、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f xg xmx有三个互不相同的实根0、x、x，其中12xx，且对任意的12,xx x，()()(1)fxg xm x恒成立，求实数m 的取值范围。【解析】 20本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分 13 分）解： （）2( )34,( )23.fxxaxb g xx由于曲线( )( )yf xyg x与在点（ 2，0）处有相同的切线，故有(2)(2)0,(2)(2)1.fgfg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载由此得8820,2,1281,5.abaaabb解得所以2,5ab，切线l的方程为20 xy（）由（）得32( )452f xxxx，所以32( )( )32 .f xg xxxx依题意，方程2(32)0 x xxm有三个互不相同的实数120,xx，故12,xx是方程2320 xxm的两相异的实根。所以194(2)0,.4mm即又对任意的12,( )( )(1)xxxf xg xm x成立，特别地，取1xx时，111()()fxg xmxm成立，得0.m由韦达定理，可得12121230,20,0.xxx xmxx故对任意的1221,0,0,0 xx xxxx有x-x则12111( )( )()()0,()()0f xg xmxx xxxxf xg xmx又所以函数12( )( ),f xg xmxxx x在的最大值为0。于是当0m时，对任意的12,( )( )(1)xx xf xg xm x恒成立，综上，m的取值范围是1(,0).4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
