一欧式空间的定义及性质ppt课件.ppt

一、欧式空间的定义及性质一、欧式空间的定义及性质1、 向量的内向量的内积积3,cos,cosV 3V在在中，内积具有下列性质：中，内积具有下列性质：对称性对称性：线性性：线性性： kk :0,0 恒恒正正性性 当当时时2、线性空间的内积、线性空间的内积 定义定义1 设设V是是R上线性空间，定义一个上线性空间，定义一个V到到R的代数运算的代数运算. V, ,V ，用用表表示示这这个个运运算算结结果果，如如果果这这个个代代数数运运算算满满足足：1.对称性：对称性：, 2) 线性性：线性性： ,;kk 3) 恒正性：恒正性： 当当0,0 时时， , 与与 则称这个代数运算为则称这个代数运算为V V的一个内积的一个内积, ,且称且称为向量为向量的内积的内积, ,实线性空间实线性空间V V叫做对这个叫做对这个内积来说的一个欧几里得空间内积来说的一个欧几里得空间.(欧氏空间欧氏空间)3、举例、举例 12(,.,),nx xx 12(,.,)nyyy 规定规定 向量空间向量空间, 成的成的( ), ( ) , f x g xC a b 我我 例例3 令令 是定义在是定义在 上一切连续实函数所上一切连续实函数所 , C a ba, b 1.欧氏空间欧氏空间V的内积具有以下基本性质的内积具有以下基本性质.( 1 ), 00 ,0aV ,V (2)证证 证证,00,0,0 (3),V kRkkkkkk 证证 1111(4),1,2,1,2,ijijmnmniijjijijijijVa bR im jnaba b 例例 12,n 是欧氏空间的是欧氏空间的n n个向量，行列式个向量，行列式设设 1112121222112,nnnnnnnG 叫做叫做12,n 的格兰姆（的格兰姆（GramGram）行列式）行列式. .证明证明: : 1,nG 1,n =0=0，必要且只要，必要且只要线性相交线性相交. .证证 必要性：必要性：1111210,0(*),0nnnnnxxx 1,nG =0=0知齐次线性方程组知齐次线性方程组由由必有非零解，设必有非零解，设 1,n 为其一组非零解则有为其一组非零解则有1,0,1,2,nijjjain 二、向量的长度、两非零向量的夹角二、向量的长度、两非零向量的夹角 定义定义2 设设是欧氏空间的一个向量，非负实数是欧氏空间的一个向量，非负实数 , 的算术根的算术根, 叫做叫做的长的长度度. 定理定理7.1.1 2,2,0kk 即即 24,4,0 于是于是2, 这就是著名的柯西这就是著名的柯西-施瓦兹不等式施瓦兹不等式. 也可表示为也可表示为, 例例 6 6 考虑例考虑例 1 的欧式空间的欧式空间 由不等式由不等式(6)推出推出,对于对于任意实数任意实数 1212,nna aa b bb有不等式有不等式 例例7 考虑例考虑例3的欧氏空间的欧氏空间Ca,b，由不等式（，由不等式（6）推出，对于定义在推出，对于定义在a,b上的任意连续函数上的任意连续函数 ),(),(xgxf有不等式有不等式 .)()()()(22bababadxxdxxdxxgxfgf（8）(8)式称为施瓦兹式称为施瓦兹(Schwarz)不等式不等式. （7 7）和（）和（8 8）在欧氏空间的不等式（）在欧氏空间的不等式（6 6）里被）里被统一统一 起来起来. . 因此通常把因此通常把(6)(6)式称为柯西式称为柯西- -施瓦兹施瓦兹不等式不等式. . 三三 向量的正交向量的正交记作记作: : 所以所以11,0mmiiiiiikk ,1,2,ikR im 证证 设设,0,1,2,iim 因为因为 , , 根据柯西根据柯西-施瓦兹不等式施瓦兹不等式, 我们有下面的三我们有下面的三角形不等式角形不等式.思考题思考题1 1：设设 , 是是 n维欧氏空间维欧氏空间V 中两个不同中两个不同的向量的向量,且且 | | 1, 22,2,2 2() 2, 证证 因为因为所以所以 证明证明: ,1. ( ,)0d (1)当当时时, ( ,)( , )dd (2)向量距离相关性质向量距离相关性质:( , )( ,)dd ( ,)()()d 证证 (3)