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第五节 交通流体力学模拟理论 一、引言一、引言 1 1、流体动力学理论建立、流体动力学理论建立 19551955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种年，英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种流体，对一条很长的公路隧道，研究了在车流密度高的情况下流体，对一条很长的公路隧道，研究了在车流密度高的情况下的交通流规律，提出了的交通流规律，提出了流体动力学模拟理论流体动力学模拟理论。该理论运用。该理论运用流体流体动力学动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续性方程。性方程。把车流密度的变化，比拟成水波的起伏而抽象为车流把车流密度的变化，比拟成水波的起伏而抽象为车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的传播速度，以寻车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤消消散过程。散过程。因此，该理论又可称为车流波动理论。因此，该理论又可称为车流波动理论。 3物理特性物理特性流体动力学系统流体动力学系统交通流系统交通流系统连续体连续体单向不可压缩流体单向不可压缩流体单车道不可压缩车流单车道不可压缩车流离散元素离散元素分子分子车辆车辆变变 量量质量质量m速度速度v压力压力p密度密度k速度速度u流量流量q动动 量量mvku状态方程状态方程P=cmtq=ku连续性方程连续性方程运动方程运动方程0m(mv)tx0 x(ku)tk20dvcmdtmx0)(2xkdkdukdtdu交通流与流体流的比拟交通流与流体流的比拟 2 2、车流连续性方程的建立、车流连续性方程的建立 假设车辆顺次通过断面假设车辆顺次通过断面I I和和IIII的时间间隔为的时间间隔为t t，两断，两断面的间距为面的间距为x x。 车流在断面车流在断面I I的流入量为的流入量为q q，密度为，密度为k k。车流在断面。车流在断面IIII的流出量为的流出量为(q+(q+q)q)，密度为，密度为(k-(k-k)k)。 k k前面加一负号，前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。 IIIxq k 根据物质守恒定律：根据物质守恒定律：流入量流入量- -流出量流出量x x内车辆数内车辆数的变化的变化，即：，即：xkkktqqq)()(0 xqtk0 xqtkkuq 或：或：取极限可得：取极限可得：0)(xkutk又：又：故：故： 上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则随时间而增大。随时间而增大。交通流回波现象交通流回波现象 二、车流波动理论二、车流波动理论 交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样，方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样，阻止车流前进，降低车速。阻止车流前进，降低车速。 1 1、集散波的定义、集散波的定义 列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆续列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队的停车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队的车辆又陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队。车辆又陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队。 车流中密度经过了由低到高，再由高到低两个过程，车流中密度经过了由低到高，再由高到低两个过程，车流中两种不同密度部分的车流中两种不同密度部分的分界面分界面经过一辆辆车向车队经过一辆辆车向车队后部传播的现象，称为后部传播的现象，称为车流的波动车流的波动。车流波动沿道路移。车流波动沿道路移动的速度，称为动的速度，称为波速波速。 车队运行状态变化图车队运行状态变化图为在时间为在时间- -空间空间坐标系下表示的一队坐标系下表示的一队n n辆车的运行状态变辆车的运行状态变化图。图中每根曲线表示一辆车运行的时化图。图中每根曲线表示一辆车运行的时间间空间轨迹，曲线间的水平距离表示车空间轨迹，曲线间的水平距离表示车头时距，垂直距离表示车头间距，两条虚头时距，垂直距离表示车头间距，两条虚线分隔出线分隔出I I、IIII和和IIIIII三个时间三个时间空间区域。空间区域。在区域在区域I I内，车速最高而密度最低。进人内，车速最高而密度最低。进人区域区域IIII后，车速明显降低而密度明显升高。后，车速明显降低而密度明显升高。进入区域进入区域IIIIII后，速度有所回升而密度有后，速度有所回升而密度有所下降。所下降。虚线与运行轨迹的交点就是车队虚线与运行轨迹的交点就是车队密度不同的两部分的分界密度不同的两部分的分界( (对某一确定时对某一确定时刻而言刻而言) )，而虚线则表示此分界既沿车队，而虚线则表示此分界既沿车队向后一辆辆地传播下去，又沿着道路而移向后一辆辆地传播下去，又沿着道路而移动，虚线的斜率就是波速。虚线动，虚线的斜率就是波速。虚线ABAB是低密是低密度状态向高密度状态转变的分界度状态向高密度状态转变的分界，它所体，它所体现的车流波称为集结波；而现的车流波称为集结波；而ACAC是高密度状是高密度状态向低密度状态转变的分界态向低密度状态转变的分界，它所体现的，它所体现的车流波称为疏散波，两种不同的车流波可车流波称为疏散波，两种不同的车流波可统称为集散波。统称为集散波。图图5-2 车队运行状态变化图车队运行状态变化图 2 2、波速（集散波集结和消散的、波速（集散波集结和消散的速度）速度） 这个车队从速度这个车队从速度V V1 1、密度、密度K K1 1，( (对对应于车间距离应于车间距离l l1 1) )转变到速度转变到速度V V2 2、密度、密度K K2 2( (对应于车间距离对应于车间距离l l2 2) )。O O为第一辆车为第一辆车的变速点，的变速点，A A为第二辆车的变速点、为第二辆车的变速点、虚线虚线OAOA的斜率就是集散波的波速。的斜率就是集散波的波速。 设变速点设变速点A A的时刻为的时刻为t t，位置为，位置为x x，则：，则：1212ltvtvl1212vvllt（5-55-5）故集散波从第一辆车传到第二辆车所故集散波从第一辆车传到第二辆车所需时间为需时间为:图图5-3 5-3 车队前三辆车运行轨迹车队前三辆车运行轨迹txV1tV2t如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则：如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则：21212122112122111221121121211111)(kkQQkkvkvklllvlvllvlvlvllvvlvtltxW（5-65-6）波速波速:dkdQW 12121212121211)(360036003600kkVVllvvvvlltQw（5-75-7）集散波总是从前车向后车传播的，把单位时间内集散波所掠过的集散波总是从前车向后车传播的，把单位时间内集散波所掠过的车辆数称为车辆数称为波流量波流量。（5-85-8），于是有又因11ltvx 在流量在流量密度相关曲线上，集散密度相关曲线上，集散波的波速就是割线的斜率、微弱波波的波速就是割线的斜率、微弱波（流量和密度非常接近）的波速就是（流量和密度非常接近）的波速就是切线的斜率。如图所示，当车流从低切线的斜率。如图所示，当车流从低密度低流量的密度低流量的A A状态转变的高密度高状态转变的高密度高流量的流量的B B状态时，状态时，集散波的波速是正集散波的波速是正的，即波沿道路前进的，即波沿道路前进。当车流从低流。当车流从低流量高密度的量高密度的C C状态转变到高流量而密状态转变到高流量而密度较低的度较低的B B状态时，状态时，集散波的波速是集散波的波速是负的，即波沿道路后退负的，即波沿道路后退。从。从A A状态到状态到B B状态的波是集结波。而从状态的波是集结波。而从B B状态到状态到A A状状态的波是消散波，两者都是前进波。态的波是消散波，两者都是前进波。从从B B状态到状态到C C状态的波是集结波，从状态的波是集结波，从C C状态到状态到B B状态的波为消散波，两者都状态的波为消散波，两者都是后退波。是后退波。车辆波动图车辆波动图 三、车流波动理论的应用三、车流波动理论的应用 例例1 1：知某快速干道上车流速度：知某快速干道上车流速度(KM/h)(KM/h)与密度与密度( (辆辆/KM)/KM)具有：具有： 之关系。现知一列之关系。现知一列u u1 1=50KM/h=50KM/h的车流中插入一的车流中插入一u u2 2=12KM/h=12KM/h的低速车，并不能超的低速车，并不能超车而集结形成速度为车而集结形成速度为u u2 2拥挤车流。此低速车在行驶拥挤车流。此低速车在行驶2KM2KM后后离去，拥挤车队随之离散形成具有速度离去，拥挤车队随之离散形成具有速度u3=30KM/hu3=30KM/h的状态。的状态。试求试求: : 1 1拥挤车队消散的时间拥挤车队消散的时间tsts； 2 2拥挤车队持续的时间拥挤车队持续的时间tjtj； 3 3拥挤车队最长时的车辆数拥挤车队最长时的车辆数NmNm； 4 4拥挤车辆的总数拥挤车辆的总数N N； 5 5拥挤车辆所占用过的道路总长度拥挤车辆所占用过的道路总长度L L； 6 6车流速度从车流速度从VlVl降低至降低至V2V2而延误的总时间而延误的总时间T T。 Ku00256. 0547. 1103. 0解：把车流经历的疏散一密集一疏散这三个阶段的状态记为解：把车流经历的疏散一密集一疏散这三个阶段的状态记为状态状态l l、2 2、3 3，相应的流量、速度、密度分别记为，相应的流量、速度、密度分别记为QiQi，uiui，KiKi；i i1 1，2 2，3 3。则由已知车流模型可算出：。则由已知车流模型可算出： Q1=1000Q1=1000，u1=50u1=50，K1K12020 Q2=1200 Q2=1200，u2=12u2=12，K2K2100100 Q3=1500 Q3=1500，u3=30u3=30，K3K35050由状态由状态1 1转变到状态转变到状态2 2形成集结波，记其波速为形成集结波，记其波速为wlwl由状态由状态2 2转变到状态转变到状态3 3形成消散波，记其波速为形成消散波，记其波速为w2w2)/(5 . 2201001000120012121hKmKKQQw)/(6100501200150023232hKmKKQQw车辆运行时间车辆运行时间- -空间轨迹图空间轨迹图受拥挤的受拥挤的N N辆车的时间辆车的时间空空间运行轨迹线如图中的间运行轨迹线如图中的N N条条折线所示。虚线折线所示。虚线OBOB的斜率等的斜率等于于w1w1，虚线，虚线ABAB的斜率等于的斜率等于w2w2，以以xBxB、tBtB表示图中表示图中B B点的空点的空间坐标和时间坐标，其它各间坐标和时间坐标，其它各点亦然。从图看出，从点亦然。从图看出，从t0t0到到tAtA，拥挤车队愈来愈长，最，拥挤车队愈来愈长，最长时占路长度等于长时占路长度等于xA-xcxA-xc，过了时刻过了时刻tAtA，拥挤车队愈来，拥挤车队愈来愈短，到时刻愈短，到时刻tBtB拥挤完全消拥挤完全消除，很自然应把时段除，很自然应把时段tB-tAtB-tA称为消散时间称为消散时间tsts. .由于由于N N条折条折线的斜率表示车速，易得线的斜率表示车速，易得hvxtAA167.01222由图可知拥挤车队从由图可知拥挤车队从A A点开始点开始消散，所以消散，所以落在路段落在路段ACAC上的车数上的车数就是就是拥挤车队最长时的车数拥挤车队最长时的车数NmNm，它等于波，它等于波wlwl在时段在时段tc-t0tc-t0内掠内掠过的车数，根据波流量公式，可得：过的车数，根据波流量公式，可得：ssABtwttwx212)(又：又：解得：解得：httthWWtWtsAjAs353. 0186. 0)6(5 . 2167. 05 . 222211所以：所以：辆158167. 02011001501211)(1212101AAwcwmtKKVVtQttQNw1w1掠过的车辆总数就是掠过的车辆总数就是拥挤过的车辆总数拥挤过的车辆总数N N。由图可知拥挤车辆所占用过的由图可知拥挤车辆所占用过的道路总长度道路总长度L L即即ADAD长。长。 L LL LADAD2Km2Km由于表示车辆行驶轨迹的各折线是分段等距平行的，不难得由于表示车辆行驶轨迹的各折线是分段等距平行的，不难得知遭遇拥挤的那些辆车的延误构成等差级数，于是知遭遇拥挤的那些辆车的延误构成等差级数，于是总延误总延误D D的计算为的计算为: :辆335353. 02011001501211)(12121101jjwBwBwtKKVVtQtQttQNhttNDFA辆27.21250/2167. 03352例题例题2 2：一条单向道路的一端伸进学校与居住区中，在此路段：一条单向道路的一端伸进学校与居住区中，在此路段中车速限制为中车速限制为13Km/h13Km/h，对应的通行能力为，对应的通行能力为38803880辆小时，辆小时，高峰是从上游驶来的车流速度为高峰是从上游驶来的车流速度为50Km/h50Km/h，流量为，流量为42004200辆辆小时，高峰持续了小时，高峰持续了1.691.69小时，然后上游车流量降到小时，然后上游车流量降到19501950辆辆小时，速度为小时，速度为59Km/h59Km/h。是估计此路段入口的上游拥挤长。是估计此路段入口的上游拥挤长度和拥挤持续时间。度和拥挤持续时间。解：解：高峰时上游车流密度：高峰时上游车流密度： 居住区路段上的密度：居住区路段上的密度： 在这两股车流之间形成了一集结波其波速为：在这两股车流之间形成了一集结波其波速为：kmK/2981338802辆kmK/845042001辆)/(495. 1298843880420012121hKmKKQQw车辆运行时间车辆运行时间- -空间轨迹图空间轨迹图kmK/335919503辆这是一后退波，表示居这是一后退波，表示居住区路段入口处向上游住区路段入口处向上游形成一列密度为形成一列密度为298 298 辆辆KmKm的拥挤车流队列的拥挤车流队列 。图中图中t tF F-t-tH H=t=tE E-t-t0 0=1.69=1.69，则则t tE E=1.69=1.69小时，小时，OFOF为为W1W1的轨迹。在的轨迹。在F F处高峰流消处高峰流消失，出现流量为失，出现流量为19501950辆辆小时，速度为小时，速度为59Km/h59Km/h的低峰流。的低峰流。)/(283. 729833388019502hKmw集结波波速：集结波波速：它的轨迹为它的轨迹为FGFG根据时间根据时间- -空间轨迹图可获得如下方程组：空间轨迹图可获得如下方程组：FRRERRERxxVttWtttt11)()(69. 1)(KmWtxxtttVWRFRRER453. 2495. 1641. 1)(049. 0641. 150,495. 1111小时，小时，带入方程组，解得：将即拥挤流向上游延长的距离为即拥挤流向上游延长的距离为2.453km2.453km，共，共包含车辆为：包含车辆为：2.4532.453298298731731辆辆。集结波。集结波W2W2推进到推进到G G的历时为：的历时为：小时337. 0283. 7453. 22wxxtttFRRGs小时978.1641.1337.0Gt则拥挤持续的时间为：则拥挤持续的时间为：例例3 3：某信号灯交叉口的一条进口道上，车流服从：某信号灯交叉口的一条进口道上，车流服从V-KV-K线性模线性模型，饱和车头时距为型，饱和车头时距为2s2s，停车排队的车头空距为，停车排队的车头空距为8m8m，到，到达流量为达流量为720720辆辆h h，红灯时长，红灯时长48.1s48.1s，绿灯足够长，求停，绿灯足够长，求停车排队最远至几米车排队最远至几米? ?解：利用解：利用例例1 1中的公式，可算出停车排队达到的最远距离为中的公式，可算出停车排队达到的最远距离为 根据题设条件计算上式中各个量：根据题设条件计算上式中各个量：jWAsjWBjKQttKQtKNL11)(hQm/18002/3600辆kmKj/1258/1000辆hkmKQVjmf/6 .57125/ )18004(/4则：则：KKKVVVjff4608. 06 .57所以所以K-VK-V关系为关系为：由已知条件，得：由已知条件，得：hstA013361.01 .48111212111011kkVkkVVQjw04)(42222mjjjjmQQKKKKKKKKQQ即kmQQKKmj/088.14)180072011 (1255 . 0)11 (5 . 01辆hkmKV/11.514608. 06 .5711hQw/497.811088.141125111.551辆得及由jmfjfKQVKKKVQ4)1 (求式中的求式中的K1K1、V1V1：解得：解得：则：则：又：又：sjswkkVQ1102hKKhkmVVjsfs/5 .625 . 0/8 .285 . 0辆，hQw/36005 .62112518 .282辆hQQQttWWWAs003888. 0497.8113600497.811013361. 0121式中：式中：VsVs为饱和流量所对应的为饱和流量所对应的车速，车速，ksks为对应密度。于是：为对应密度。于是：辆141WBQtN拥挤过的车辆总数：拥挤过的车辆总数：mkmKNLj112112. 012514停车排队最远距离：停车排队最远距离：htttASB01725. 0003888. 001336. 0