函数单调性及其极值、最值ppt课件.ppt
函数单调性及其极值、最值函数单调性及其极值、最值定理1 设函数 在 上连续，在区间),(ba)(xfy ba,内可导，（1）如果在 内 ，则 在),(ba0)( xf)(xfba,上单调增加；),(ba0)( xf)(xfba,上单调减少。（2）如果在 内 ,则 在一、函数单调性的充分条件一、函数单调性的充分条件证证),(21xx存在使得0)()()(1212fxxxfxf又因为,21xx 即012 xx, 0)()(12xfxf故)()(12xfxf所以)(xf在ba,上单调增加。（1）设在区间 内 ),(ba0)( xf,在),(ba两点21,xx21xx ,由拉格朗日中值定理且内任取即当21xx 同理可证（2）.确定函数的单调性的一般步骤：1、确定函数的定义域；2、求出使函数 并以这些点为分界点，将定义域分成若干个子区间；( )0( )fxfx 和不存在的点，3、确定 在各个子区间的符号，从而判断出 的单调性。( )fx( )f x例1 确定函数 的单调区间。32352353)(xxxf解 的定义域是)(xf),(令 ，得 ，又 处导数不存在，0)( xf1x0 x1x， 这两点将 分成三个区间，0 x),(列表分析 在各个区间的符号：)(xf x)0 ,()1 ,0(),( 1)(xf)(xf331321)(xxxxxf由表可知， 的单调增加区间为 和)(xf)0 ,(，单调减少区间为 。), 1 ( )1 ,0(例例2.2. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12解 的定义域是)(xf),(.23833238的单调性讨论xxy. 1, 10 xxy得令.0不存在，时当yx32313135) 1)(1() 1(xxxxxxxy例3).,(所给函数的定义域为 解这三个点x=1，0，1将y的定义域分为 四个子区间.),(), 1 (),1 , 0(),0 , 1(),1,(x010+不存在0+yy) 1,()0 , 1() 1 , 0(), 1 ( 所以函数的单调递增区间为 .), 1 (),0 , 1() 1 , 0(),1,(单调递减区间为 .如果F(x)满足下面的条件：. 0)(,)2(0 xFxx有时当即，有时当，为单调增加函数可知则由0)(,)(0 xFxxxF. )()(xgxf设 F(x)=f(x)g(x)其基本方法是：往往可以利用单调性证明不等式. )()(xgxf, 0)() 1 (0 xF.ee1xxx，时试证当ee)(xxF. 0) 1 ()( FxF即. 0) 1 ()( FxF即.ee 0)(1xxFxx，即，都有故对任意例4证明：，令xxFxee)(. 0) 1 (F且,),()(内连续在易知xF, 0ee)(11xxFx时，）当（，递减上的为可知函数单调 1 ,()(xF，上的为可知严格单调增加函数), 1 )(xF, 0ee)(12xxFx时，）当（二、函数极值及其求法二、函数极值及其求法1、函数极值的定义定义设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于x0的x都有 )()(0 xfxf(1) 成立，则称 为f(x)的极大值，称 为f(x)的极大值点；)(0 xf0 x(2) 成立，则称 为f(x)的极小值，称 为f(x)的极小值点.)()(0 xfxf)(0 xf0 x极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点定理2（极值的必要条件） 如果函数 在点)(xf 处可导，且在点 取得极值，则 。0 x0 x0)(0 xf0)(0 xf0 x)(xf使 的点 称为函数 的驻点。注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点. 例如 为其驻点，但是x=0不是 的极值点.0,3xxy3xy 定理定理 3 3 ( (极值第一判别法极值第一判别法) ),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左正右左正右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右正右正” ,.)(0取极大值在则xxf(4)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻域内) 的符号，依定理3判定xi是否为f(x)的极值点.), 2 , 1(kixi )(xf 由定理3判定函数极值一般步骤为：. )()()3(1kxxxfxf， 不存在的点的所有驻点和求出).()2(xf 求出(1)求函数的定义域例5 求函数 的极值。123)(32xxxf 解 的定义域是)(xf),(333111)(xxxxf令 ，得驻点 ，而 时 不存在。0)( xf1x0 x)(xf 因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：x)(xf )(xf)0 ,()1 ,0(01), 1 ( 不存在021极小值1极大值由表可知， 在 处取得极大值 ， )(xf0 x1)0(f)(xf在 处取得极小值 。1x21)(xf函数 的图形如图123)(32xxxf01x121y例例6. 6. 求函数求函数 32) 1()(xxxf的极值 .32)(xxf3132) 1(xx32531xx令,0)( xf得;52x,)(, 0无意义而xfx列表得x)(xf )(xf无意义05200极大值33. 0极小值)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)(52f解 的定义域是)(xf),(，的极大值点为，时当)(0)() 1 (00 xfxxf 定理4(判定极值的第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 则, 0)(, 0)(00 xfxf的极小值点.为时，当)(0)()2(00 xfxxf 由定理4判定函数极值一般步骤为：1、确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；2、考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；3、求出极值点处的函数值，得到极值。.638234的极值与极值点求，分条件利用判定极值的第二充xxxy. 3010 321xxxy，得驻点令xxxy128423.1216122 xxy例7所给的函数定义域为 .),(解).3)(1(4xxx016121612|1 xy012|0 xy048|3 xy,11为函数的极小值点可知x.37|1xy极小值为的相应，为函数的极大值点02x. 0|0 xy相应极小大值为.33为函数的极小值点x.45|3xy相应极小值为 函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。 可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数 在 上的最大值，)(xfba,)(xfba,最小的就是函数 在 上的最小值。三、函数的最值三、函数的最值闭区间a，b上的连续函数 最值求法：)(xf例8、求函数 在区间41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值与最小值。解) 1)(2(61266)(2xxxxxf132413331242 )(,)(,)(,)(ffff比较可知， 在 上最大值为 ，最小值)(xf4 , 3132)4(f为3) 1 (f0)( xf令 得驻点 : .,1221 xx 若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。例9 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解 如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为)2(xa)2, 0(,)2(2axxaxv令 ，得 （舍去）。又0 v2,621axax04)6( aav所以函数 在 处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的 时，所做的方盒容积最大。v6ax 61ax方盒的容积为：),6)(2(xaxav例10 制作一个容积为 的圆柱形密闭容器，V怎样设计才能使所用材料最省？ 解 如图，设容器的底面半径为 ，高为 ，rh则表面积为rhrS222), 0(,222rrVrS232)2(224rVrrVrS2rVh所以令0S ， 得驻点 32Vr hrhrV2由已知得故rrVh22所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时
