2.2微分中值定理.doc

考研高等数学基础班讲义2.2 微分中值定理一、罗尔定理设函数满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）.则至少存在一点，使得.几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线包括点A和点B.条件（2）说明曲线在A，B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线不包括点A和B条件（3）说明曲线在端点A和B处纵坐标相等。结论说明曲线在A点和B点之间不包括点A和B至少有一点，它的切线平行于轴。注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式（1）（加法）（2）（加法）（3）（函数加导数）【例1】设在上连续，在内可导，且，试证：必存在，使。证在上连续，在上连续，且有最大值和最小值,于是；，故。由连续函数介值定理可知，至少存在一点，使得因此，且在上连续，内可导，由罗尔定理得出必存在，使得。【例2】设在上连续，在内可导，且.求证：存在使证由积分中值定理可知，存在，使得得到对在上用罗尔定理（三个条件都满足），故存在，使【例3】（07）设函数，在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得。分析：令在连续，在可导，在题设条件下，要证存在，。已知，只需由题设再证，。证明：由题设，。若，取，则。若，不妨设，则，由，对分别在和用罗尔定理，使得。再对用罗尔定理，使得，即。二、拉格朗日中值定理设函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导。则存在，使得或写成有时也写成这里相当或都可以，可正可负。几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间包括点A和点B是连续曲线。条件（2）说明曲线不包括点A和点B是光滑曲线。结论说明曲线在A、B之间不包括点A和点B至少有一点，它的切线与割线AB是平行的。推论1若在内可导，且，则在内为常数。推论2若在内皆可导，且，则在内，其中为一个常数。推论3 设，在上连续，在内可导，则（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当时的特殊情形，就是罗尔定理）【例1】设不恒为常数的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点，使得.证由题意可知存在使得如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使，因此，必有，使得成立.【例2】设，证明对任意，恒有证不妨假设，由拉格朗日中值定理有，从而可知，单调减少，于是这样由两式可知因此，成立.【例3】(04)设，证明.分析：即证，符合拉格朗日中值定理。证明：令，在上用拉格朗日中值定理得，其中。注意到，则在单调下降，因此。 解法二 引入辅助函数，利用函数单调性三、柯西中值定理设函数和满足：（1）在闭区间上皆连续；（2）在开区间内皆可导且。则存在使得（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）几何意义：考虑曲线的参数方程，点，点曲线上是连续曲线，除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线。值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，,用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。【例1】设在上连续，内可导，且，证明：存在，使证考虑柯西中值定理（待定）最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲证的结论变形，两式比较，看出令即可.类似地，欲证，则取即可四、泰勒定理（泰勒公式）定理1（皮亚诺余项的阶泰勒公式）设在处有阶导数，则有公式其中称为皮亚诺余项。前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的，所以对常用的初等函数如（为实常数）等的阶泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的阶泰勒公式）设在包含的区间内有阶导数，在上有阶连续导数，则对，有公式其中（在与之间）称为拉格朗日余项上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。当时，也称为阶麦克劳林公式。如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。【例1】设函数在上二阶可导，且，.求证：存在，使得证先把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式再把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式在上面两个公式中皆取则得两式相减，得，于是因此亦即证明存在，使。用泰勒公式求极限【例1】求.解（当时）原式2.2.9