振动和波习题课(级)ppt课件.ppt

# 逆时针旋逆时针旋转为正角。转为正角。# 顺时针旋顺时针旋转为负角。转为负角。旋转矢量的端点在旋转矢量的端点在X轴上的投影点作轴上的投影点作简谐振动简谐振动&1、2象限象限 v0 xO0AA tXOX1A2AOX2AO1A反相反相同相同相X1A2AO 振动振动2比振动比振动1超前超前 6.6.谐振动的动力学特征谐振动的动力学特征:f=-kx:f=-kx* 无阻尼自由振动的弹簧振子作无阻尼自由振动的弹簧振子作简简谐振动谐振动,其固有圆频率为其固有圆频率为kmoxXf mk 2020202020 VxkmVxA 8. 已知简谐振动的初始条件已知简谐振动的初始条件(x0 、v0)，求，求A和和 求出求出A A后，再作旋转矢量图，由后，再作旋转矢量图，由x x0 0 、v v0 0画出旋转矢画出旋转矢量的位置而求出初位相量的位置而求出初位相 212mvEk 动能动能:7.简谐振动的能量简谐振动的能量 212kxEp 势能势能: :221kAEEEpk 简谐振动能量简谐振动能量: 动能和势能的变化频率是振动频率的两倍动能和势能的变化频率是振动频率的两倍22020212121kAkxmvE 9.9.同频同方向谐振动合成后仍然是同频率的简谐同频同方向谐振动合成后仍然是同频率的简谐振动振动 )cos( tAx cos2212221AAAAA22112211cosAcosAsinAsinAtg) (21之间之间、必在必在 , 2, 1, 02kk 1 ）（21AAA 振动加强振动加强; 此时有此时有 = 1= 2X1A2AA, 2, 1, 0) 12(kk 2 ）（|21AAA 振动减弱振动减弱2A1AXA 与振幅大的分振动的初相相同与振幅大的分振动的初相相同10. 10. 描述波动的几个物理量描述波动的几个物理量( (波长波长 ; ;波的周期波的周期T;T;波速波速u)u)uXy1 2 3 4 560T Tu u 11、平面简谐波的波动方程的推导、平面简谐波的波动方程的推导&将将 t t 理解为已知点振动了的时间，求出任一点理解为已知点振动了的时间，求出任一点实际振动的时间，以此代替已知点振动方程中的实际振动的时间，以此代替已知点振动方程中的t t就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。&照抄已知点的振动方程，再将任一点振动超前照抄已知点的振动方程，再将任一点振动超前于或落后于已知点振动的位相补上，就得任一点于或落后于已知点振动的位相补上，就得任一点的振动方程，即为波动方程。（超前就的振动方程，即为波动方程。（超前就“”，落后就落后就 “ ” 。）。）) cos( tAyP例例: :如图，已知如图，已知P P点的振动方程：点的振动方程： yXpuO)uxt (cosAyx(2t cosAy）或或x1 12 2、t t 时刻的波形图时刻的波形图波线上两质点之间的位波线上两质点之间的位相差相差 t+ 时时 t tuyXuO t时刻时刻x1x2)(21221xx 13、x一定时的振动曲线一定时的振动曲线yOt14. 速度的旋转矢量速度的旋转矢量X01 12 2V VuXy01 12 2例例:如图如图,画出该时刻画出该时刻VX之间之间的关系图的关系图y(v)y(v)AV15.15.波形图上能量极值点波形图上能量极值点 波形图上任意一点的动能与势能值时刻相等，波形图上任意一点的动能与势能值时刻相等，在在平衡位置动能与势能同时达到最大，而在谷峰位平衡位置动能与势能同时达到最大，而在谷峰位置动能与势能同时达到最小值（为零）。置动能与势能同时达到最小值（为零）。XY能量极能量极大大能量极大能量极大 能量极能量极小小 能量极能量极小小1616、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。面就是新的波阵面。1717、相干条件：、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，两波源应满足：振动方向相同，频率相同，位相差恒定。频率相同，位相差恒定。 在在P P点引起的合振动的振幅为：点引起的合振动的振幅为： 1r2r1S2Sp18、波的干涉波的干涉 cos2212221AAAAA)(2)(2112rr 极值条件极值条件加强。加强。 A A221Ak 减弱。减弱。）（ A A1221Ak . , 2 , 1 , 0k&若波在两种不同介质中传播若波在两种不同介质中传播S1S2r1r22 1 )22()(221112rr A A、产生驻波的条件：、产生驻波的条件：振幅相等振幅相等的两的两列波除了列波除了满足满足相干条件相干条件外，还必须在同一直线上沿外，还必须在同一直线上沿相反相反方向方向传播，叠加后所形成的波叫驻波。传播，叠加后所形成的波叫驻波。19. 驻波驻波) cos()2cos(221txAyB. 求出求出驻波的表达式驻波的表达式：) 2cos2cos2coscos ( C. 位相位相：相邻两个波节之间的相邻两个波节之间的各点是同位相的；一个波节两各点是同位相的；一个波节两侧的对应点是反相的。侧的对应点是反相的。yxo)x2tcos(Ay11)x2tcos(Ay22 （1）波腹即为干涉相长处）波腹即为干涉相长处1222 xk2D. 波腹与波节位置波腹与波节位置 相邻两个波腹或相邻两个波节之间的相邻两个波腹或相邻两个波节之间的距离为半个波长。距离为半个波长。（2 2）波节即为干涉相消处。）波节即为干涉相消处。）（1k21222 x2020、半波损失、半波损失&当波当波从波疏从波疏媒质垂直入射媒质垂直入射到波密到波密媒质界媒质界面上反射时，面上反射时，在反射点在反射点，入射波和反射波的，入射波和反射波的位相相反（即位相相反（即有半波损失有半波损失）, , 形成波节。形成波节。&当波当波从波密从波密媒质垂直入射媒质垂直入射到波疏到波疏媒质界媒质界面上反射时，面上反射时，在反射点在反射点，入射波和反射波的，入射波和反射波的位相相同（即位相相同（即无半波损失无半波损失）, , 形成波腹。形成波腹。& 能形成驻波的两列波，其振幅相同，传播方能形成驻波的两列波，其振幅相同，传播方向相反，若已知其中一列波的波动方程为向相反，若已知其中一列波的波动方程为则另一列波的波动方程必可设为则另一列波的波动方程必可设为)4x2 tcos(Ay1)x2 tcos(Ay24x22则若若XL处是波节处是波节则4L22若若XL处是波腹处是波腹04L22则 例例1. 1. 如图所示，质量为如图所示，质量为m m的物体由劲度系数的物体由劲度系数为为k k1 1和和k k2 2的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨上作微小振动，则系统的振动频率为上作微小振动，则系统的振动频率为 mk1k2mkk2121结果提示提示: :等效并联弹簧等效并联弹簧 k=k1+k2k=k1+k2例例2.2.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为弹性力在半个周期内所作的功为 (A)kA(A)kA2 2 (B) (B) (C)(1/4)kA(C)(1/4)kA2 2 (D)0(D)0221kA D 例例3. 图中画出一向右传播的简谐波在图中画出一向右传播的简谐波在t时刻的波形时刻的波形图，图，BC为波密介质的反射面，波由为波密介质的反射面，波由P点反射，则反点反射，则反射波在射波在t时刻的波形图为时刻的波形图为 x-APByCOx-AP(B)x-AP(A)x-AP(C)x-AP(D)OOOO y y y yB 1. 一弹簧一弹簧振子作简谐振动，振幅为振子作简谐振动，振幅为A，周期为，周期为T，其运动方程用余弦函数表示若其运动方程用余弦函数表示若t = 0时，时， (1)振子在负的最大位移处，则初相为振子在负的最大位移处，则初相为_;(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为振子在平衡位置向正方向运动，则初相为_(3)振子在位移为振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相处，且向负方向运动，则初相为为_ - /2 /32.两个质点两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同第一个质点的振动方程为周期相同第一个质点的振动方程为x1 = Acos( t + )当第一个质点从相对于其平衡当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处则第二个质点的振动方程为在最大正位移处则第二个质点的振动方程为(A) (B) (C) (D) )21 cos(2 tAx)21 cos(2 tAx)23 cos(2 tAx)cos(2 tAxBB4. 一简谐振动曲线如图所示则振动周期是一简谐振动曲线如图所示则振动周期是(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (D) 2.00 s x (cm) t (s) O 4 2 1 3. 一质点作简谐振动，其振动方程为一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24 (SI)，试用旋转矢量法求出质，试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到点由初始状态运动到x = -0.12 m，v 0的状态所需的状态所需最短时间最短时间t )3121cos( t结果结果:)(667.032/st5. 一系统作简谐振动，周期为一系统作简谐振动，周期为T，以余弦函数，以余弦函数表达振动时，初相位为零。在表达振动时，初相位为零。在 范围范围内，系统在内，系统在t = _ 时动能和势能相等。时动能和势能相等。Tt210 T/8或或3T/8解：解：用旋转矢量法解用旋转矢量法解6得由速度的旋转矢量图 6. 用余弦函数描述一谐振子的振动，若其速度用余弦函数描述一谐振子的振动，若其速度-时间关系曲线如图所示，求振动的初相位。时间关系曲线如图所示，求振动的初相位。v(m/s)t(s)-vm-0.5vm07. 7. 在一轻弹簧下端悬挂在一轻弹簧下端悬挂m m0 0 = 100g = 100g砝码时，弹簧伸砝码时，弹簧伸长长8 cm8 cm现在这根弹簧下端悬挂现在这根弹簧下端悬挂 m m =250g=250g的物体，的物体，构成弹簧振子将物体从平衡位置向下拉动构成弹簧振子将物体从平衡位置向下拉动4 cm4 cm，并给以向上的并给以向上的21 cm/s21 cm/s的初速度（令这时的初速度（令这时t t =0) =0)选选x x轴向下轴向下, , 求振动方程的数值式求振动方程的数值式 O x 解：解：k = m0g / l ) 25.1208. 08 . 91 . 0 11s7s25. 025.12/ mk cmxA 5cm)721(4/v2222020 54cos )64. 07cos(05. 0tx(SI)XO = 0.64 rad8.一质点在一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过运动通过A点时作为计时起点点时作为计时起点( t = 0 )，经过，经过2秒后秒后质点第一次经过质点第一次经过B点，再经过点，再经过2秒后质点第二次经秒后质点第二次经过过B点，若已知该质点在点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速两点具有相同的速率，且率，且AB = 10 cm. 求求 (1)质点的振动质点的振动方程方程; (2) 质点在质点在A点处的速率点处的速率 v A Bx 43)( cmA 25cos/5 )(434cos(1025 )1(2SItx smA/1093.3)43sin(10254sin 22 v (2) 4 , 422-2 t xABOt = 0t = 2 st = 4 s 解：解： t 时刻时刻x处质点的振动位移处质点的振动位移 波从坐标原点传至波从坐标原点传至x处所需时间处所需时间x处质点比原点处质点滞后的振动相位处质点比原点处质点滞后的振动相位 ；)/(cosuxtAy )/cos(uxtA 9. 一平面简谐波的表达式为一平面简谐波的表达式为 其中其中x /u表示表示 ； x/ u表示表示 y表示表示 10.一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度u沿沿x轴正方向传播，在轴正方向传播，在t = t时波形曲线如图所示则坐标原点时波形曲线如图所示则坐标原点O的振的振动方程为动方程为(A) (B) (C) (D) 2)(cos ttbuay2)(2cos ttbuay2)(cos ttbuay2)(cos ttbuay x u a b y O A 11.一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为方程分别为 其合成运动的运动方程为其合成运动的运动方程为x = _ )31 cos(1 tAx )35 cos(2 tAx ) cos(3 tAx 0 12. 一简谐波沿一简谐波沿x轴负方向传播，波速为轴负方向传播，波速为1 m/s，在，在x轴上某质点的振动频率为轴上某质点的振动频率为1 Hz、振幅为、振幅为0.01 mt =0时该质点恰好在正向最大位移处若以该质点时该质点恰好在正向最大位移处若以该质点的平衡位置为的平衡位置为x轴的原点求此一维简谐波的表达轴的原点求此一维简谐波的表达式式 (SI) )(2cos01. 0:xty 结果结果13. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在变形量发生在 : (A) 媒质质元离开其平衡位置最大媒质质元离开其平衡位置最大位移处位移处 (B) 媒质质元离开其平衡位置媒质质元离开其平衡位置( )处处(A是振动振幅是振动振幅) (C) 媒质质元在其平衡位置处媒质质元在其平衡位置处 (D) 媒质质元离开其平衡位置媒质质元离开其平衡位置 处处.2/2AA21CS1S2(3/4)14.14.如图所示如图所示, , 两相干波源两相干波源S S1 1与与S S2 2相距相距3 3 /4/4， 为为波长设两波在波长设两波在S S1 1 S S2 2连线上传播时，它们的振幅连线上传播时，它们的振幅都是都是A A，并且不随距离变化已知在该直线上在，并且不随距离变化已知在该直线上在S S1 1左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的4 4倍倍, ,则两波源应满足的相位条件是则两波源应满足的相位条件是超前超前 /2 S1的相位比的相位比S2的相位的相位ABP30 cm40 cm15. 图中图中A、B是两个相干的点波源，它们的振动相是两个相干的点波源，它们的振动相位差为位差为 （反相）（反相）A、B相距相距 30 cm，观察点观察点P和和B点相距点相距 40 cm，且，且 若发自若发自A、B的两波在的两波在P点处最大限度点处最大限度地互相削弱，求波长最长能是多少地互相削弱，求波长最长能是多少 ABPB结果：结果：cm10 k10 max (b) t y 0 x y -A A O P t=T/4 (a) t=0 16. 图图(a)示一简谐波在示一简谐波在t = 0和和t = T / 4（T为周期）为周期）时的波形图，试在图时的波形图，试在图(b)上画出上画出P处质点的振动曲处质点的振动曲线线 xOPL 17. 如图，一平面简谐波沿如图，一平面简谐波沿Ox轴传播，波动表达轴传播，波动表达式为式为 (SI)，求，求 (1) P处质处质点的振动方程点的振动方程 ; (2) 该质点该质点的速度表达式与加速度表达式的速度表达式与加速度表达式 )/ (2cos xtAyT/2TA解答图解答图解：解：(1) 振动方程振动方程 )/(2cos LtAyp)/(2sin2 LtAvp(2)速度表达式速度表达式 )/(2cos 422 LtAap加速度表达式加速度表达式 18. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为：振动方程分别为：)314cos(10521 tx（SI）（SI）)614sin(10322 tx画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程.)32t 4cos(103)2161t 4cos(103)61t 4sin(103x2222 2O1)314cos(102221 txxx（SI）19. 一平面简谐波以波速一平面简谐波以波速u=0.5m/s沿沿x轴负方向传轴负方向传播播, t=2s时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示, 求波动方程求波动方程.x(m)y(m)o0.512u)m)(2xt2cos(5 . 0y 波动方程为波动方程为:20. A，B是简谐波波线上距离小于波长的点已是简谐波波线上距离小于波长的点已知，知，B点振动的相位比点振动的相位比A点落后点落后 ，波长为，波长为 = 3 m，则，则A，B两点相距两点相距L = _m 310.5 21. 在一竖直轻弹簧下端悬挂质量在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m=5g的小球的小球,弹簧伸长弹簧伸长 L=1cm而平衡而平衡.经推动后经推动后,该小球在竖直该小球在竖直方向作振幅为方向作振幅为A=4cm的振动的振动,求求:(1) 小球的振动周小球的振动周期期; (2)振动能量振动能量.解题思路解题思路: mg=kL k 221kAE kmT 22 22. 一横波沿绳子传播一横波沿绳子传播,其波的表达式其波的表达式为为(1)求此波的振幅求此波的振幅,波速波速,频率和波长频率和波长.(2)求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度.(3)求求x1=0.2m处和处和x2=0.7m处二质点振动的位相差处二质点振动的位相差.(SI) ) 2 100cos(05. 0 xty )(均均为为零零A 21 21 )( 与与依依次次分分别别为为D 21 )( 均均为为C 21 )( 均均为为B 21 21 )(与与依依次次分分别别为为 E23. 图图1表示表示t=0 t=0 时的余弦波的波形图时的余弦波的波形图, ,波沿波沿X X轴正方轴正方向传播向传播; ; 图图2 2为一余弦振动曲线为一余弦振动曲线. .则图则图1 1中所表示的中所表示的X=0X=0处振动的初位相与图处振动的初位相与图2 2所表示的振动的初位相所表示的振动的初位相uXy0图图1ty0图图2(D)24. S1 , S2 为振动频率为振动频率,振动方向均相同的两个点波振动方向均相同的两个点波源源,振动方向垂直纸面振动方向垂直纸面,两者相距两者相距(3/2 ) ( 为波长为波长)如图如图.已知已知S1的初位相为的初位相为(1/2) .(1)若使射线若使射线S2 C上各点由两列波引起的振动均干上各点由两列波引起的振动均干涉相消涉相消,则则S2 的初位相应为的初位相应为_.(2)若使若使S1 S2 连线的中垂线连线的中垂线MN上各点由两列波引上各点由两列波引起的振动均干涉相消起的振动均干涉相消,则则S2 的初位相应为的初位相应为_S1S2CMN(1/2) (3/2) 25一列平面简谐波在媒质中以波速一列平面简谐波在媒质中以波速u = 5 m/s沿沿x轴轴正向传播，原点正向传播，原点O处质元的振动曲线如图所处质元的振动曲线如图所示示 (1) 求解求解x = 25 m处质元的振动方程处质元的振动方程 (2) 求解求解t = 3 s时的波形曲线方程时的波形曲线方程 SI )2121cos(1022 tyot (s)42Oy (cm)2SI )321cos(102225 tySI )10/cos(1022xy 作业机械振动（二）作业机械振动（二）44： 两质点沿水平两质点沿水平x x轴线作相同频率和相同振轴线作相同频率和相同振幅的简谐振动，平衡位置都在坐标原幅的简谐振动，平衡位置都在坐标原点它们总是沿相反方向经过同一个点，点它们总是沿相反方向经过同一个点，其位移其位移x x的绝对值为振幅的一半，则它们的绝对值为振幅的一半，则它们之间的相位差为之间的相位差为_ 3/2补充（一）补充（一）12. 如图所示，一平面简谐波沿如图所示，一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波长为轴负方向传播，波长为 ，若，若P处质点的振动方处质点的振动方程是程是 ，则该波的表达式是，则该波的表达式是_；P处质点处质点_时刻的振动状时刻的振动状态与态与O处质点处质点t1时刻的振动状态相同时刻的振动状态相同xyLOP)2/t2cos(AyP2)(2cosLxtAykLt1k = 0，1，2, 只写只写 也可以也可以)/(1Lt 补充（二）补充（二）13. 一平面简谐波沿一平面简谐波沿Ox轴传播，波动轴传播，波动表达式为表达式为 ，则，则x1 = L处介质处介质质点振动的初相是质点振动的初相是_；与；与x1处处质点振动状态相同的其它质点的位置是质点振动状态相同的其它质点的位置是_； 与与x1处质点速度大小相同，但方向相反的其它各处质点速度大小相同，但方向相反的其它各质点的位置是质点的位置是_)/(2cosxtAy/2 LkL( k = 1，2，3，)，2/)1k2(L( k = 0, 1，2，)4.驻波表达式为驻波表达式为 ，位于，位于x1= 3/8 m的质元的质元P1与位于与位于x2 = 5/8 m处的质元处的质元P2的的振动相位差为振动相位差为_txAy100cos2cos026、一质点沿、一质点沿x轴作简谐振动，其角频率轴作简谐振动，其角频率 = 10 rad/s试分别写出以下两种初始状态下的振动方试分别写出以下两种初始状态下的振动方程程(1) 其初始位移其初始位移x0 = 7.5 cm，初始速度，初始速度v0 = 75.0 cm/s； (2) 其初始位移其初始位移x0 =7.5 cm，初始速度，初始速度v0 =-75.0 cm/s 解：振动方程解：振动方程 x = Acos( t+ ) (1) t = 0时时 x0 =7.5 cmAcos v0 =75 cm/s=-Asin 由上两个方程得由上两个方程得 A =10.6 cm = - /4 x =10.610-2cos10t-( /4) (SI) (2) t = 0时时 x0 =7.5 cmAcos v0 =-75 cm/s=-Asin 由上两个方程得由上两个方程得 A =10.6 cm， = /4 x =10.610- -2cos10t+ +( /4) (SI) 27、一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如、一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为图所示，则此简谐振动的三个特征量为 A =_； =_ =_ x (cm)t (s)105-101471013O10cm( /6) rad/s /3