2022年题型锐角三角函数的实际应用. .pdf

www.1230.org 初中数学资源网二、解答题重难点突破题型三锐角三角函数的实际应用针对演练仰角、俯角问题1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD 为公益广告牌的高，DM 为楼房的高，且C、D、M 三点共线在楼房的侧面A 处， 测得点 C 与点 D 的仰角分别为45 和 37.3 ， BM15 米 根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD 的长 )(结果精确到0.1 米，参考数据：sin37.3 0.6060，cos37.3 0.7955，tan37.3 0.7618) 第 1 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网2. (2014 潍坊 )如图， 某海域有两个海拔均为200 米的海岛A 和海岛 B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100 米的空中飞行， 飞行到点 C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是 45 ，然后沿平行于AB 的方向水平飞行1.99 104米到达点D 处，在 D 处测得正前方另一海岛顶端 B 的俯角是 60 ，求两海岛间的距离AB. 第 2 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网3. (2015 丹东 10 分)如图， 线段 AB，CD 表示甲、 乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是 60 米某人站在A 处测得 C 点的俯角为37 ，D 点的俯角为48 (人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据： sin37 35， tan3734，sin48 710，tan481110) 第 3 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网4. 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成57.5 角，在离电线杆6 米处安置测角仪AB，在 A 处测得电线杆上C 处的仰角为30 .已知测角仪AB的高为1.5 米，求拉线CE 的长 (结果精确到0.01 米，参考数据：sin57.5 0.843，cos57.5 0.537，tan57.5 1.570，3 1.732 ，2 1.414)第 4 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网5. (2015 本溪 12 分)张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD 的高度，如图，山坡与水平面成30 角(即 MAN30 )，在山坡底部A 处测得大树顶端点C 的仰角为45 ，沿坡面前进20 米，到达B 处，又测得树顶端点C 的仰角为60 (图中各点均在同一平面内 )，求这棵大树CD 的高度 (结果精确到0.1 米，参考数据：31.732)第 5 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网6. 如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是AF3700 米，从飞机上观测山顶目标C 的俯角是45 ，飞机继续以相同的高度飞行300 米到 B 处，此时观测目标C 的俯角是50 ，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50 0.77， cos500.64，tan50 1.20)第 6 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网坡度、坡角问题7. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB 的坡角 BAE45 ，坝高 BE20 米汛期来临， 为加大水坝的防洪强度，将坝底从 A 处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF 的坡角 F30 ，求 AF 的长度 (结果精确到1 米，参考数据：21.414 ，31.732)第 7 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网8. (2014 山西 )如图，点A、B、C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC 表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA ，BB ，CC分别为 110 米， 310 米， 710 米，钢缆AB 的坡度 i112，钢缆 BC 的坡度 i211，景区因改造缆车线路， 需要从 A到 C 直线架设一条钢缆， 那么钢缆AC 的长度是多少米？(注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比) 第 8 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网测量问题9. (2015 云南 6 分)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与 MN 之间的 距离 )在测量时，选定河对岸MN 上的点 C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得 CAB30 ，沿河岸AB 前行 30 米后到达 B 处， 在 B 处测得 CBA60 .请你根据以上测量数据求出河的宽度(参考数据：21.41 ，3 1.73 ；结果保留整数) 第 9 题图10. (2015 遵义 8 分)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图已知 BC4 米，AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网6 米，中间平台宽度DE1 米， EN、DM、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N、M、B，EAB31 ，DF BC 于 F，CDF45 .求 DM 和 BC 的水平距离BM 的长度 (结果精确到0.1 米，参 考数据： sin310.52，cos310.86，tan310.60)第 10 题图方向角问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网11. (2015 镇江 6 分)某海域有A、B 两个港口， B 港口在 A 港口北偏西30 的方向上，距A 港口 60 海里有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东 75 方向的 C 处求该船与B 港口之间的距离即CB 的长 (结果保留根号 )第 11 题图12. (20 15 郴州 8 分)如图， 要测量 A 点到河岸BC 的距离， 在 B 点测得 A 点在 B 点的北名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网偏东 30 方向上，在 C 点测得 A 点在 C 点的北偏西45 方向上，又测得BC150 m求 A 点到河岸 BC 的距离 (结果保留整数)(参考数据：21.41 ，31.73)第 12 题图【答案】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网针对演练仰角、俯角问题1. 【思路分析 】过点A作ANCM于点N，构造 RtAND，在直角三角形中，通过所给的三角函数，建立DN的表达式，从而求出CD即可解：如解图，过点A 作 ANCM 于点 N，则 CAN45 ， DAN37.3 ， CNANBM15. 在 Rt AND 中，DN15 tan37.3 11.43.CDCNDN1511.433.6.广告牌的高度约为3.6 m. 2. 【思路分析 】首先，过点A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，易得四边形 ABFE 为矩形，根据矩形的性质，可得ABEF，AEBF.由题意可知， AEBF1100200900 米， CD1.99 104米，然后分别在RtAEC 与 RtBFD 中，利用三角函数求得 CE 与 DF 的长，继而求得两海岛间的距离AB. 解：如解图，过点A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD，交 CD 的延长线于点F.则四边形 ABFE 为矩形，ABEF，AEBF. 由题意可知AEBF1100200900(米)，CD19900(米)在 RtAEC 中， C45 ，AE900(米)，CEAEtanCAEtan45900(米)，在 RtBFD 中， BDF 60 ，BF900(米)，DFBFtanBDF900tan60 300 3(米)，ABEFCD DFCE19900300 3900(190003003)米答：两海岛之间的距离AB 是(19000 300 3)米第 1 题解图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网第 2 题解图3. 【思路分析 】本题考查三角函数的实际应用题中有角度没直角三角形，先考虑过点 C 向 AB 作垂线 CE 构造直角三角形，利用正切分别求得AB、AE，最后利用线段和差关系求解即可解：过点 C 作 CEAB 交 AB 于点 E ，则四边形 EBDC 为矩形，BECD，CEBD60 米 (2 分) 根据题意可得，ADB48 ， ACE37 . 在 RtADB 中， tan48 ABBD，则 AB tan48 BD1110 6066(米)；(5 分) 在 RtACE 中， tan37 AECE，则 AE tan37 CE34 6045(米)，(8 分) CDBEAB AE664521(米)，乙楼的高度CD 为 21 米 (10 分) 4. 【信息梳理 】第 3 题解图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网原题信息整理后信息结论在电线杆上的C 处引拉线CE、 CF固定电线杆拉线CE 和地面成57.5 角， 在离电线杆6 米处安置测角仪 ABDEC57.5 ，DB6 米AMBD 6 米，ABMD1.5 米，CMAM tan30 ，CDCMMD在 A 处测得电线杆上C 处的仰角为 30 ，已知测角仪AB1.5 米过点 A 作 AMCD，垂足为M，MAC30求拉线 CE 的长求 CE 的长CECDsin57.5 解：如解图，过点A 作 AMCD，垂足为M. AMBD6(米)，ABMD 1.5(米)在 RtACM 中， tan30 CMAM，CM AM tan30 633 2 3米CDCM MD(231.5)米，在 RtCED 中， sin57.5 CDCE，sin57.5 2 31.5CE，CE2 1.7321.50.843 5.89( 米)答：拉线 CE 的长约为5.89 米5. 解：如解图，过点B作 BECD 交 CD 延长线于点E， CAN45 ， MAN30 ， CAB15 ， CBE60 ， DBE 30 ， CBD30 ， CBD CAB ACB， CAB ACB15 ，第 4 题解图第 5 题解图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网ABBC20(米 )，(3 分) 在 RtBCE 中， CBE60 ，BC20(米)，CEBC sinCBE2032103(米)，BEBC cosCBE201210(米)，(6 分) 在 RtDBE 中， DBE 30 ，BE10(米)，DEBE tanDBE10331033(米 )，(9 分) CDCEDE10310332033 11.5( 米)答：这棵大树CD 的高度大约为11.5 米 (12 分) 6. 解：设 ECx，在 RtBCE 中， tan EBCECBE，则 BEECtanEBCECtan5056x(米)，在 RtACE 中， tan EACECAE，则 AEECtanEACECtan45x(米)，ABBEAE，30056xx，解得： x1800(米 )，这座山的高度CD DEECAF CE370018001900(米)答：这座山的高度是1900 米坡度、坡角问题7. 解：在 RtABE 中， BAE45 ，坝高 BE20 米，AEBE20 米，在 RtBEF 中， BE 20， F30 ，EFBEtan30 20 3(米 )AFEFAE2032015( 米 )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网即 AF 的长约为 15 米8. 【思路分析 】对于解直角三角形的实际应用问题，首先要考虑把要求的线段和已知线段、角放到直角三角形中求解如解图，过点A 作 AECC于点 E，交 BB于点 F，过点B 作 BD CC 于点 D.分别在 RtAFB 和 RtBDC 中根据坡度求得AF，BD 的长度，再在Rt AEC 中，根据勾股定理求得AC 的长度解：如解 图，过点A 作 AECC 于点 E，交 BB于点 F，过点 B作 BDCC于点 D. 则 AFB， BDC 和 AEC 都是直角三角形，四边形AABF，BBCD 和 BFED 都是矩形BFBB FB BB AA 310110200(米)，CDCC DC CC BB 710310400(米)i1 12，i21 1， AF2BF400(米)，BDCD400(米)又 FEBD400(米)，DE BF200(米)AEAFFE800(米)，CECDDE600(米)在RtAEC 中， AC AE2CE2800260021000(米)答：钢缆 AC 的长度为1000 米测量问题9. 【信息梳理 】原题信息整理后的信息一选定河对岸MN 上的点 C 处为桥的一端，在河岸点 A 处，测得 CAB30CAB30二沿河岸 AB 前行 30 米后到达B 处AB30 米三在 B 处测得 CBA60CBA60第 8 题解图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网四求出河的宽度过点 C 作 CDAB 于点 D，则求 CD 的长度解： 如解图，过点C 作 CDAB 于点 D，在 RtADC 中， CAB30 ，ADCDtanCABCDtan303CD，(2 分) 在 RtBCD 中， CBA60 ，BDCDtanCBACDtan6033CD，(3 分) ABADBD30 米，3CD33CD30 米， (4 分) CD153215 1.732 12.97513 米 (5 分) 答：河的宽度约为13 米. (6 分) 一题多解 ：在ABC中，CAB30，ABC60，ACB90，AB30 米，BC15 米， (2 分) 如解图，过点C作CDAB于点D，(3 分) 在 RtBCD中，CDBCsin CBD15sin60 153213 米 (5 分) 答：河的宽度约为13 米 ( 最优解 )(6 分) 10. 【信息梳理 】原题信息整理后信息结论EN、DM、 CB 分别垂直于AB，DFCB，平台 DE1 RtANE，RtCDF ，ENDM BF， EDMNtanEANENAN0.6CDF 45 CDF 为等腰直角三角形DF CFBMAB6，BC4 AN5BM， EN4BM利用ENAN0.6 ，解 BM 的值第 9 题解图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网解：设 MBx，DFCB， CDF 45 ， CDF 是等腰直角三角形，DFCF.(1 分 ) EN、DM、CB 分别垂直于AB， DFCB，四边形 ENMD 、四边形DMBF 为矩形，ENDMBF，ED MN，CFDF BMx，BC4，ENBF4x，(3 分) ANABMNMB， MNDE1，AB6，AN5x，(5 分) tanEANENAN， EAN31 ，4x5x 0.6 ，解得 x52.(7 分 ) 即 DM 与 BC 的水平距离BM 的长为52(米)(8 分) 方向角问题11. 【 思路分析 】根据方向角算出ABC 的三个内角BAC、 C、 ABC 分别为 75 、60 、45 ，要求 BC 的长，则过点A 作 BC 的垂线段得两个特殊的三角形，通过特殊角的边角关系可求出BC 的长解： BAE30 ，BFAE， ABF30 . FBC75 ， ABC FBC ABF45 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - www.1230.org 初中数学资源网 CAE45 ， BAC 75 . C60 .(1 分) 过点 A 作 ADBC，垂足为点D，在 RtADB 中， ABD 45 ，AB60，则 BDAD302.(3 分) 在 RtADC 中， C60 ，AD 302，则 CDADtan60106.(5 分) 则 BC BDDC(302106)海里 (6 分) 12. 【思路分析 】过点 A 作 ADBC 于点 D，设 ADx m用含 x 的代数式分别表示BD，CD.再根据 BDCDBC，列出方程并求解即可解：过点 A 作 AD BC 于点 D，设 ADx m. 在 RtABD 中， ADB 90 ， BAD30 ，BDAD tan30 33x.(3 分) 在 RtACD 中， ADC90 ， CAD45 ，CDAD x. BDCDBC，33xx150，x75(33) 95.即 A 点到河岸BC 的距离约为95 m(8 分 ) 第 11 题解图第 12 题解图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -