2022年高一上学期《函数单调性的证明》练习题 .pdf

高一上学期函数单调性的证明练习题第1页共 14页高一上学期函数单调性的证明练习题1函数 y=fx对于任意 x、yR，有 fx+y=fx+fy1，当 x0 时，fx1，且 f3=4，则Afx在 R上是减函数，且 f1=3 Bfx在 R上是增函数，且f1=3Cfx在 R上是减函数，且 f1=2 D fx在 R上是增函数，且f1=22已知函数 y=fx在 0，+上为增函数，且fx0 x0 试判断 Fx=在0，+ 上的单调性并给出证明过程3已知函数 y=fx在 0，+上为减函数，且fx0 x0 ，试判断 fx=在0，+上的单调性，并给出证明过程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第2页共 14页4已知函数 fx对任意 x，yR，总有 fx+fy=fx+y ，且当 x0 时，fx0，f1=1求 f0 ；2求证： fx在 R上是减函数；3求 fx在 3，3 上的最大值和最小值5函数 fx对任意 a，bR ，有 fa+b=fa+fb1，且当 x0 时，fx1求证： fx是 R 上的增函数；假设 f4=5，解不等式 f3m2m32名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第3页共 14页6函数 fx对任意的 a，bR，都有 fa+b=fa+fb1，并且当 x0 时，fx11求证： fx是 R上的增函数；2假设 f4=5，解不等式 f3m2m237函数 fx对任意的 a、bR，都有 fa+b=fa+fb1，并且当 x0 时，fx11求证： fx是 R上的增函数；2假设 f2=3，解不等式 fm23名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第4页共 14页8已知定义在R上的函数 fx满足： fx+y=fx+fy+1，当 x0 时，fx 1；求： f0的值，并证明 fx在 R上是单调增函数；假设 f1=1，解关于 x 的不等式； fx2+2x+f1x49定义在 R 上的函数 y=fx对任意的 x、yR，满足条件： fx+y=fx+fy1，且当 x0 时，fx11求 f0的值；2证明：函数 fx是 R上的单调增函数；3解关于 t 的不等式 f2t2t1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第5页共 14页10定义在 R上的函数y=fx 对任意的 x，yR，满足条件： fx+y=fx+fy2，且当 x0 时，fx21求 f0的值；2证明：函数 fx是 R上的单调增函数；3解不等式 f2t2t32011已知 fx是定义在 R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，yR都满足 fx?fy=fx+y 1求 f0的值，并证明对任意的xR ，有 fx0；2设当 x0 时，都有 fxf0 ，证明： fx在， +上是减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第6页共 14页高一函数单调性的证明练习题参考答案与试题解析1函数 y=fx对于任意 x、yR，有 fx+y=fx+fy1，当 x0 时，fx1，且 f3=4，则Afx在 R上是减函数，且 f1=3 Bfx在 R上是增函数，且f1=3Cfx在 R上是减函数，且 f1=2 D fx在 R上是增函数，且f1=2【分析】 先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，再由f3=f1+f21=f1+f1+f111=4，解出 f1 【解答】 解：设 x1x2，则 fx1fx2=fx1x2+x2fx2=fx1x2+fx21fx2=fx1x2111=0，即 fx1fx2 ，fx为增函数又f3=f1+f21=f1+f1+f111=3f12=4，f1=2故选： D2已知函数 y=fx在 0，+上为增函数，且fx0 x0 试判断 Fx=在0，+ 上的单调性并给出证明过程【分析】 首先，设 x1，x20，+ ，且 x1x2，然后根据函数 fx的单调性进行证明即可【解答】 解：函数 Fx=为0，+上减函数，证明如下：任设 x1，x20，+且 x1x2，y=fx在 0，+上为增函数，fx1fx2 ，fx10，fx20，Fx1Fx2=，fx1fx2 ，fx2fx10，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第7页共 14页fx10，fx20，fx1?fx20，Fx1Fx20，即 Fx1Fx2 ，则 Fx为 0，+上的减函数3已知函数 y=fx在 0，+上为减函数，且fx0 x0 ，试判断 fx=在0，+上的单调性，并给出证明过程【分析】 首先，设 x1，x20，+ ，且 x1x2，然后，比较大小，从而得到结论【解答】 解：函数为0，+上增函数，证明如下：任设 x1，x20，+且 x1x2，y=fx在 0，+上为减函数，fx1fx2 ，fx10，fx20，=，fx1fx2 ，fx2fx10，fx10，fx20，fx1?fx20，gx1gx20，为0，+上的增函数4已知函数 fx对任意 x，yR，总有 fx+fy=fx+y ，且当 x0 时，fx0，f1=1求 f0 ；2求证： fx在 R上是减函数；3求 fx在 3，3 上的最大值和最小值【分析】 1令 x=y=0? f0=0；2令 y=x 即可证得 fx=fx ，利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第8页共 14页结合已知即可证得fx是 R上的减函数；3利用 fx在 R 上是减函数可知fx在 3，3 上也是减函数，易求f3=2，从而可求得 fx在 3，3 上的最大值和最小值【解答】 解： 1令 x=y=0，则 f0=0；2令 y=x，则 fx=fx ，在 R上任意取 x1，x2，且 x1x2，则x=x2x10，y=fx2fx1=fx2+fx1=fx2x1x2x1，x2x10，又x0 时，fx0，fx2x10，即 fx2fx10，由定义可知函数 fx在 R上为单调递减函数3fx在 R上是减函数，fx在 3，3 上也是减函数又 f3=f2+f1=f1+f1+f1=3=2，由 fx=fx可得 f3=f3=2，故 fx在 3，3 上最大值为 2，最小值为 25函数 fx对任意 a，bR ，有 fa+b=fa+fb1，且当 x0 时，fx1求证： fx是 R 上的增函数；假设 f4=5，解不等式 f3m2m32【分析】 设实数 x1x2，则 x2x10，利用已知可得 fx2x11再利用已知可得 fx2=fx2x1+x1=fx2x1+fx111+fx11=fx1即可；令 a=b=2，以及 a=b=1，解得 f2=3，f1=2，不等式 f3m2m32化为 f3m2m3f1 ，由1可得： fx在 R上是增函数可得 3m2m31，解得即可【解答】 解： 证明：设 x1x2，则 x2x10，当 x0 时，fx1，fx2x11又函数 fx对任意 a，bR都有 fa+b=fa+fb1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第9页共 14页fx2=fx2x1+x1=fx2x1+fx111+fx11=fx1 ，fx2fx1 ，fx在 R上是增函数；令 a=b=2，则 f22=f2+f21=5，解得 f2=3，再令 a=b=1，则 f11=f1+f11=3，解得 f1=2不等式 f3m2m32化为 f3m2m3f1 由1可得： fx在 R上是增函数3m2m31，解得m1不等式 f3m2m32 的解集为，1 6函数 fx对任意的 a，bR，都有 fa+b=fa+fb1，并且当 x0 时，fx11求证： fx是 R上的增函数；2假设 f4=5，解不等式 f3m2m23【分析】 1先任取 x1x2，x2x10由当 x0 时，fx1得到 fx2x11，再对 fx2按照 fa+b=fa+fb1 变形得到结论2由 f4=f2+f21 求得 f2=3，再将 f3m2m23 转化为 f3m2m2f2 ，由 1中的结论，利用单调性求解【解答】 解： 1证明：任取 x1x2，x2x10fx2x11fx2=f x1+x2x1=fx1+fx2x11fx1 ，fx是 R上的增函数2f4=f2+f21=5，f2=3f3m2m23=f2 又由 1的结论知， fx是 R上的增函数，3m2m22，3m2m40，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第10页共 14页1m7函数 fx对任意的 a、bR，都有 fa+b=fa+fb1，并且当 x0 时，fx11求证： fx是 R上的增函数；2假设 f2=3，解不等式 fm23【分析】 1先任取 x1x2，x2x10由当 x0 时，fx1得到 fx2x11，再对 fx2按照 fa+b=fa+fb1 变形得到结论2由 f2=3，再将 fm23 转化为 fm2f2 ，由 1中的结论，利用单调性求解【解答】 解： 1证明：任取 x1x2，x2x10fx2x11fx2=f x1+x2x1 =fx1+fx2x11fx1 ，fx是 R上的增函数2f2=3fm23=f2 又由 1的结论知， fx是 R上的增函数，m22，m4解不等式 fm23 的解集为：， 4 8已知定义在R上的函数 fx满足： fx+y=fx+fy+1，当 x0 时，fx 1；求： f0的值，并证明 fx在 R上是单调增函数；假设 f1=1，解关于 x 的不等式； fx2+2x+f1x4【分析】 根据已知条件中，：fx+y=fx+fy+1，当 x0 时，fx1；令 x=y=0，即可求出 f0的值，在 R上任取 x1x2，则 x1x20，根据 fx1=f x1x2+x2 ，结合已知条件，即可判断函数的单调性； 假设 f 1 =1， 则我们易将关于 x 的不等式；f x2+2x +f 1x 4 化为 f x2+x+1f3 ，结合 I的结论，可将原不等式化为一个一元二次不等式，进而得到答案【解答】 解： 令 x=y=0fx+y=fx+fy+1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第11页共 14页f0=f0+f0+1f0=1，在 R上任取 x1x2，则 x1x20，当 x0 时，fx 1，fx1x2 1则 fx1=f x1x2+x2 ，=fx1x2+fx2+1fx2 ，fx在 R上是单调增函数由 f1=1 得：f2=3，f3=5，则关于 x 的不等式； fx2+2x+f1x4 可化为关于 x 的不等式； fx2+2x+f1x+15，即关于 x 的不等式； fx2+x+1f3 ，由的结论知 fx在 R上是单调增函数，故 x2+x+13，解得： x2 或 x1，故原不等式的解集为：， 2 1，+ 9定义在 R 上的函数 y=fx对任意的 x、yR，满足条件： fx+y=fx+fy1，且当 x0 时，fx11求 f0的值；2证明：函数 fx是 R上的单调增函数；3解关于 t 的不等式 f2t2t1【分析】 1用赋值法分析：在fx+y=fx+fy1 中，令 x=y=0可得： f0=f0+f01，解可得 f0的值，即可得答案；2用定义法证明：设x1x2，则 x1=x2+x1x2 ，且 x1x20，结合题意可得fx1=f x1x2+x2 =fx2+fx1x21，作差可得 fx1fx2=fx1x21，分析可得 fx1fx20，由增函数的定义即可得证明；3根据题意，结合函数的奇偶性与f0=1 可得 2t2t0，解可得 t 的取值范围，即可得答案【解答】 解： 1根据题意，在 fx+y=fx+fy1 中，令 x=y=0可得： f0=f0+f01，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第12页共 14页解可得： f0=1，2证明：设 x1x2，则 x1=x2+x1x2 ，且 x1x20，则有 fx1=f x1x2+x2 =fx2+fx1x21，即 fx1fx2=fx1x21，又由 x1x20，则有 fx1x21，故有 fx1fx2=fx1x210，即函数 fx为增函数；3根据题意， f2t2t1，又由 f0=1 且函数 fx为增函数，则有 2t2t0，解可得 0t10定义在 R上的函数y=fx 对任意的 x，yR，满足条件： fx+y=fx+fy2，且当 x0 时，fx21求 f0的值；2证明：函数 fx是 R上的单调增函数；3解不等式 f2t2t320【分析】 1由题意 y=fx 对任意的 x，yR，关系式成立， 采用赋值法， 可得 f0的值；2利用定义证明其单调性3利用单调性及 f0的值，求解不等式即可【解答】 解：由题意：函数y=fx定义在 R上 对任意的 x，yR满足条件： fx+y=fx+fy2，令 x=y0，由 fx+y=fx+fy2，可得： f0=f0+f02，解得： f0=2故 f0的值为： 22证明：设 x1x2，x1、x2R，则 x2x10，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第13页共 14页由1可得 fx2x12因为对任意实数任意的x，yR，都有 fx+y=fx+fy2，所以 fx2=fx2x1+x1=fx2x1+fx12fx1所以函数 fx是 R上的单调增函数3解：由 1 2可知函数 fx是 R上的单调增函数且f0=2；不等式 f2t2t320，变形得 f2t2t32，转化为 f2t2t3f0 故得： 2t2t30解得：，所以原不等式的解集是1， 11已知 fx是定义在 R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，yR都满足 fx?fy=fx+y 1求 f0的值，并证明对任意的xR ，有 fx0；2设当 x0 时，都有 fxf0 ，证明： fx在， +上是减函数【分析】 1令 x=y=0，代入 fx?fy=fx+y即可得到 f0的方程，解之即可求得 f0 ，再有 x= +，即可证得对任意的xR，有 fx0；2设 x1，x2R且 x1x2，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性【解答】 解： 1可得 f0?f0=f0f00f0=1又对于任意又，fx02设 x1，x2R 且 x1x2，则 fx1fx2=f x1x2+x2 fx2=fx2 fx1x21x1x20fx1x2f0=1fx1x210对 fx20fx2f x1x21 0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 高一上学期函数单调性的证明练习题第14页共 14页fx1fx2故 fx在 R上是减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -